专题20 抛物线 - 2026年湖南省对口招生考试《数学必刷题》（原卷版+解析版）

2026年湖南省对口招生《数学必刷题》 专题20 抛物线 1、 【考点导读】 理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程和性质。 二、【真题精练】 题型一、抛物线的定义及标准方程 1．（25-26高三上·湖南郴州·一模）已知抛物线方程为，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将抛物线方程化为标准式，结合开口向上的抛物线，其准线方程为，即可解得. 【详解】抛物线方程化为标准式为， 所以，即准线方程为. 故选：D. 2．（24-25高三下·湖南株洲·模拟预测）点到抛物线的准线的距离是（   ） A． B． C．9 D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的标准方程确定准线方程，即可得出点到准线的距离. 【详解】已知抛物线，其中，且焦点在轴正半轴上，所以准线在轴负半轴上， 所以准线方程为， 则点到的距离为， 故选：D. 3．（24-25高三下·湖南·三模）已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在y轴上，且抛物线C上一点到焦点的距离为7，则抛物线C的标准方程是_______． 【答案】 【分析】根据题意设出抛物线方程结合抛物线的定义列出方程即可得解. 【详解】抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线C上一点，抛物线的开口向下， 设抛物线的标准方程是， 则，解得， 所以抛物线的标准方程是， 故答案为：. 4．（24-25高三下·湖南长沙·模拟预测）垂直于轴的直线交抛物线于两点，且，则该抛物线的焦点到直线的距离是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先根据直线垂直于轴，以及交抛物线的弦长，得到交点坐标和直线方程，结合抛物线方程得到焦点坐标和准线方程，即可求解. 【详解】因为直线垂直于轴，交抛物线于两点，且， 所以， 代入抛物线，即，故直线为， 抛物线的焦点为，准线为， 即抛物线的焦点到直线的距离是， 故选：D 5．（24-25高三上·湖南怀化·模拟预测）抛物线方程为，焦点坐标为 _____ . 【答案】 【分析】根据抛物线的焦点坐标公式即可求解. 【详解】抛物线方程为，所以，所以焦点坐标为，即. 故答案为：. 6．（22-23高三·湖南长沙·模拟预测）抛物线的准线方程为________． 【答案】． 【分析】化抛物线方程为标准式，求得，则准线方程可求． 【详解】由，得， ，即， 则抛物线的准线方程为． 故答案为：． 题型二、抛物线的性质 7．（24-25高三下·湖南·模拟预测）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，且，则直线的斜率_______． 【答案】或 【分析】根据题意，过两点分别作准线的垂线，垂足设为，结合抛物线的定义可得，，过点作直线垂直于轴，交的延长线于点，在中，易得，继而得到，结合抛物线的对称性可知直线的倾斜角为或，继而求得直线的斜率. 【详解】 由抛物线方程易知，焦点坐标为，准线方程为． 过两点分别作准线的垂线，垂足设为， 由抛物线的定义易知，． 过点作直线垂直于轴，交的延长线于点， 在中，， 所以． 根据对称性，直线的倾斜角为或， 所以直线的斜率或． 故答案为：或. 8．（24-25高三下·湖南·一模）已知第一象限内一点在抛物线上，且点到抛物线准线的距离为2，则__________. 【答案】 【分析】先由抛物线求得其准线方程，进而求得，再将点代入抛物线方程，从而得解. 【详解】因为抛物线的准线为， 所以点到抛物线准线的距离为，解得， 再将点代入，得，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 9．（23-24高三下·湖南永州·一模）经过抛物线的焦点且与平行的直线方程为______． 【答案】； 【分析】根据平行直线求斜率，根据直线上一点求点斜式方程. 【详解】∵直线与平行， ∴直线的斜率， 又∵抛物线的焦点为， 故设直线的点斜式方程为， 整理得：， 故答案为: . 10．（21-22高三·湖南·一模）抛物线上一点到它准线的距离为2，且到此抛物线顶点的距离等于到它的焦点的距离，则此抛物线的焦点坐标是_________. 【答案】 【分析】利用数形结合，结合抛物线的几何性质及即可求解. 【详解】抛物线上一点到它准线的距离为2， 设点，则， 又因为到此抛物线顶点的距离等于到它的焦点的距离， 可知， 所以，则， 所以，解得， 所以焦点坐标为. 故答案为：. 11．（22-23高三·湖南·二模）已知是抛物线上一点,抛物线的焦点是,的延长线交轴于点.若是线段的中点，则___________. 【答案】 【分析】由抛物线的焦点坐标,线段的中点坐标公式,两点间的距离公式即可得解. 【详解】    如图所示. 因为. 所以. 设. 因为点为中点,设. . 整理得. 所以. 因为点在抛物线上. 所以. . 故答案为:. 12．（24-25高三下·湖南·模拟预测）已知顶点在坐标原点，开口向上的抛物线经过点． (1)求抛物线的标准方程； (2)过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先设抛物线的标准方程，代入点即可求解. （2）先根据题意，设出直线的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理，以及抛物线焦点弦的性质即可求解. 【详解】（1）由题意，可设抛物线的标准方程为， 将点代入抛物线方程，得，解得， 所以抛物线的标准方程为. （2）由题意得，直线的斜率存在，且过， 设直线的方程为， 联立方程，则， 由韦达定理可得， 所以，， 所以， 所以为定值． 13．（24-25高三下·湖南常德·二模）已知抛物线的焦点为，抛物线与直线的一个交点的横坐标为 ． (1)求抛物线的方程； (2)抛物线的焦点为，准线为，是抛物线位于第一象限内的一点，过点作的垂线，垂足为，若直线 的倾斜角为，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线与直线的交点坐标求参数，进而得到抛物线的方程. （2）通过准线性质确定点的坐标，结合直线斜率与倾斜角的关系求出点的坐标，最后利用抛物线定义可得的长度. 【详解】（1）直线与抛物线联立，得，解得或． 由题意，故，所以抛物线方程为. （2）由（1）知抛物线的焦点，准线方程为． 设，垂足．直线的斜率为， 计算得：， 代入抛物线方程计算可得，即． 根据抛物线定义可得． 14．（24-25高三上·湖南·二模）已知抛物线的焦点坐标为． (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线相交于两点，且为的中点，求的面积． 【答案】(1). (2)． 【分析】（）利用抛物线的焦点坐标求出值即可得解. （）设出直线方程，将设直线代入中，利用韦达定理和中点坐标公式求出值，代入弦长公式求出的距离，结合点到直线的距离公式及三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）由抛物线的焦点坐标为，所以， 所以抛物线的方程为． （2）由题可得直线的斜率存在，设直线， 代入得， 设点， 由韦达定理可得， 由的中点为 可得，则，解得， 所以直线，即， 把代入，得， 则，由弦长公式得， 又点到直线的距离为， 所以的面积． 15．（23-24高二下·湖南·模拟预测）抛物线 的图像经过点． (1)求抛物线F的方程； (2)若圆C以抛物线F的焦点为圆心，且与直线相切，求圆C的一般式方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，将已知点代入抛物线方程，即可求出p的值，继而求出抛物线方程； （2）根据题意，先求出抛物线焦点坐标，结合点到直线的距离公式求出圆的半径，即可求出圆的标准方程，结合圆的标准方程和一般式方程的转化，即可求解. 【详解】（1）因为抛物线 的图像经过点， 所以，解得， 所以抛物线F的方程为； （2）由（1）知抛物线F的方程为， 所以焦点坐标为， 即圆C的圆心坐标为， 又圆C与直线相切， 所以圆心到直线的距离， 所以圆C的半径也是1， 所以圆C的标准方程为,化为一般式方程是. 三、【考点演练】 【考点1】抛物线的定义及标准方程 16．若抛物线的焦点坐标为，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】将抛物线方程化为标准方程后，根据焦点坐标可求解. 【详解】将抛物线化为标准方程为：， 因为抛物线C的焦点坐标为，所以，即. 故选：B 17．已知抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离为8，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义求解即可. 【详解】抛物线的焦点为 ，准线为. 由抛物线定义，横坐标为 6 的点到焦点的距离等于到准线的距离， 即 ，解得. 故选：B. 18．若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则抛物线的准线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆焦点坐标、抛物线焦点与准线关系求解即可. 【详解】椭圆中，故左焦点为. 由抛物线焦点与准线的关系得准线方程为. 故选：B. 19．顶点在原点，以坐标轴为对称轴且过点的抛物线的方程是（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据焦点的位置设出抛物线的标准方程，再将已知点代入方程求解. 【详解】若焦点在轴上，设抛物线的方程为， 把点代入得，解得， 故抛物线的方程为； 若焦点在轴上，设抛物线的方程为， 把点代入得，解得， 故抛物线的方程为， 综上，抛物线的方程为或， 故选：A． 20．过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知条件设出抛物线方程，再将点代入即可求解. 【详解】依题意设抛物线方程为， 因为抛物线过点，所以，解得， 所以抛物线方程为， 故选：C． 21．下列方程中，表示抛物线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的标准方程即可求解. 【详解】抛物线的标准方程是或， 据此可知，只有C选项表示抛物线， 故选：C 【考点2】抛物线的性质 22．已知抛物线的准线为，过点的直线与抛物线交于，两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)设为坐标原点，判断直线与是否垂直，并说明理由. 【答案】(1) (2)直线与垂直，理由见解析 【分析】（1）由抛物线的准线方程求得，即可得出抛物线的标准方程； （2）联立直线的方程与抛物线的方程，通过计算向量与的内积是否为来判断直线与是否垂直. 【详解】（1）由准线方程，得，． 抛物线C的标准方程为． （2）直线与垂直，理由如下： 设，，则，， 当直线的斜率存在时，设直线，即， 由，消元得. ，，， 由题意，异号，即，. ，故直线与垂直. 当直线的斜率不存在时，直线，此时两个交点分别为，， ， ，故直线与垂直. 综上所述，直线与垂直. 23．已知抛物线的焦点． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知抛物线上的点和直线，求到直线的距离最小的点M的坐标． 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据焦点坐标求出值即可得解. （）设出点坐标，结合点到直线的距离公式即可得解. 【详解】（1）抛物线的焦点， 则，解得， 故抛物线C的标准方程为. （2）设抛物线上点， 点到直线的距离为， 当时，分子取得最小值3，此时距离最小为，此时点的坐标为. 故到直线的距离最小的点的坐标为. 24．已知抛物线（为常数，）的焦点与椭圆的右焦点重合，过点的直线与抛物线交于两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线的斜率为1，求. 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）先求出椭圆的右焦点坐标，再根据抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，求出抛物线的标准方程即可； （2）先表示出直线的方程，再联立方程求出弦长即可. 【详解】（1）因为椭圆的右焦点为， 所以，所以，即， 所以抛物线的标准方程； （2）由（1）可知，直线的方程为， 联立方程，得， 设， 所以， 所以. 25．已知抛物线的焦点为. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线相交于两点，且为的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用焦点求抛物线的标准方程即可. （2）设出两点的坐标，利用点是线段的中点，以及两点在抛物线上，即可求解. 【详解】（1）已知抛物线的焦点为， 则 ，解得. 所以抛物线的方程为. （2）设 因为在抛物线上，则 由得：， 即 因为为的中点，所以， 直线的斜率， 由可得， 所以直线的方程为， 整理得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年湖南省对口招生《数学必刷题》 专题20 抛物线 1、 【考点导读】 理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程和性质。 二、【真题精练】 题型一、抛物线的定义及标准方程 1．（25-26高三上·湖南郴州·一模）已知抛物线方程为，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·湖南株洲·模拟预测）点到抛物线的准线的距离是（   ） A． B． C．9 D． 3．（24-25高三下·湖南·三模）已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在y轴上，且抛物线C上一点到焦点的距离为7，则抛物线C的标准方程是_______． 4．（24-25高三下·湖南长沙·模拟预测）垂直于轴的直线交抛物线于两点，且，则该抛物线的焦点到直线的距离是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（24-25高三上·湖南怀化·模拟预测）抛物线方程为，焦点坐标为 _____ . 6．（22-23高三·湖南长沙·模拟预测）抛物线的准线方程为________． 题型二、抛物线的性质 7．（24-25高三下·湖南·模拟预测）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，且，则直线的斜率_______． 8．（24-25高三下·湖南·一模）已知第一象限内一点在抛物线上，且点到抛物线准线的距离为2，则__________. 9．（23-24高三下·湖南永州·一模）经过抛物线的焦点且与平行的直线方程为______． 10．（21-22高三·湖南·一模）抛物线上一点到它准线的距离为2，且到此抛物线顶点的距离等于到它的焦点的距离，则此抛物线的焦点坐标是_________. 11．（22-23高三·湖南·二模）已知是抛物线上一点,抛物线的焦点是,的延长线交轴于点.若是线段的中点，则___________. 12．（24-25高三下·湖南·模拟预测）已知顶点在坐标原点，开口向上的抛物线经过点． (1)求抛物线的标准方程； (2)过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，求证：为定值． 13．（24-25高三下·湖南常德·二模）已知抛物线的焦点为，抛物线与直线的一个交点的横坐标为 ． (1)求抛物线的方程； (2)抛物线的焦点为，准线为，是抛物线位于第一象限内的一点，过点作的垂线，垂足为，若直线 的倾斜角为，求线段的长度． 14．（24-25高三上·湖南·二模）已知抛物线的焦点坐标为． (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线相交于两点，且为的中点，求的面积． 15．（23-24高二下·湖南·模拟预测）抛物线 的图像经过点． (1)求抛物线F的方程； (2)若圆C以抛物线F的焦点为圆心，且与直线相切，求圆C的一般式方程． 三、【考点演练】 【考点1】抛物线的定义及标准方程 16．若抛物线的焦点坐标为，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 17．已知抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离为8，则（   ） A． B． C． D． 18．若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则抛物线的准线方程是（   ） A． B． C． D． 19．顶点在原点，以坐标轴为对称轴且过点的抛物线的方程是（   ） A．或 B． C．或 D． 20．过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 21．下列方程中，表示抛物线的是（    ） A． B． C． D． 【考点2】抛物线的性质 22．已知抛物线的准线为，过点的直线与抛物线交于，两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)设为坐标原点，判断直线与是否垂直，并说明理由. 23．已知抛物线的焦点． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知抛物线上的点和直线，求到直线的距离最小的点M的坐标． 24．已知抛物线（为常数，）的焦点与椭圆的右焦点重合，过点的直线与抛物线交于两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线的斜率为1，求. 25．已知抛物线的焦点为. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线相交于两点，且为的中点，求直线的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $