专题19 双曲线 - 2026年湖南省对口招生考试《数学必刷题》（原卷版+解析版）

2026年湖南省对口招生《数学必刷题》 专题19 双曲线 1、 【考点导读】 理解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程和性质。 二、【真题精练】 题型一、双曲线的定义及标准方程 1．（24-25高三下·湖南长沙·模拟预测）双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线方程得到，即可求解. 【详解】双曲线化为标准式为， 所以， 得到，即离心率. 故选：D. 2．（24-25高三下·湖南株洲·模拟预测）实轴长为8，焦点坐标为的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件可得，然后根据焦点的位置求得答案. 【详解】因为实轴长为8，焦点坐标为， 所以，，所以， 因为焦点在轴上，所以此双曲线的标准方程为. 故选：B. 3．（24-25高三下·湖南长沙·模拟预测）已知方程表示双曲线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线标准方程的特点列出不等式即可得解. 【详解】因为方程表示双曲线， 则，解得， 所以的取值范围是， 故选：． 4．（24-25高三上·湖南怀化·模拟预测）焦点在x轴上，实轴长为8，虚半轴长为3的双曲线标准方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出参数，进而求出双曲线的标准方程. 【详解】根据焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为. 由实轴长为8，所以.根据虚半轴长为3，所以. 所以双曲线的标准方程为. 故选：B. 5．（22-23高三·湖南长沙·模拟预测）双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的方程可得，，所以，又因为双曲线的焦点在轴上，进而得到双曲线的焦点坐标． 【详解】由题意可得：，，所以. 又因为双曲线的焦点在轴上， 所以双曲线的坐标为． 故选：D． 6．（22-23高三·湖南·三模）“”是“方程表示焦点在x轴上的双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】B 【分析】由双曲线的焦点位置判断m，n的正负继而判断充分性与必要性即可. 【详解】若， 则当时， 方程表示焦点在y轴上的双曲线， 所以“”推不出“方程表示焦点在x轴上的双曲线”，故充分性不成立. 若方程表示焦点在x轴上的双曲线， 则有， 即，故必要性成立. 故“”是“方程表示焦点在x轴上的双曲线”的必要不充分条件. 故选:B. 7．（22-23高三·湖南·一模）若双曲线的渐近线方程是，焦点为，则双曲线标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线渐近线方程和焦点坐标求得，即可求解. 【详解】∵双曲线的渐近线方程是， 题目已知，双曲线的渐近线方程是，焦点为， ∴双曲线的焦点在轴上，且，即，， 又，代入， 得到，解得，， 所以双曲线方程为. 故选：D. 8．（20-21高三下·湖南·二模）若双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据直线被圆截得的弦长公式，可得圆心到渐近线的距离，进而可得，再根据双曲线离心率的公式可求解. 【详解】由于对称性，不妨设双曲线的一条渐近线方程为， 圆的方程可化为， 可知圆心坐标为，半径. 设圆心到渐近线的距离为，则有 ，解得. 所以，即. 所以. 故选：C 9．（2324高三·湖南·一模）双曲线的焦距为是（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】D 【分析】由双曲线方程确定焦距即可. 【详解】由题设，则焦距为. 故选：D 10．（25-26高三上·湖南湘潭·一模）双曲线的焦点为，，若双曲线上一点到焦点的距离为4，则点到焦点的距离为_____. 【答案】20 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】双曲线中，解得. 因为双曲线上一点到焦点的距离， 所以，解得或（舍去）. 故答案为：20. 11．（24-25高三下·湖南湘潭·三模）双曲线的一条渐近线方程为，则_____. 【答案】 【分析】根据题意结合双曲线的渐近线方程即可得解. 【详解】双曲线，则，且焦点在轴上， 双曲线的一条渐近线方程为， 可得， 解得， 故答案为：. 12．（24-25高三下·湖南·模拟预测）若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则k的取值范围是________. 【答案】 【分析】由双曲线方程的标准形式列不等式求解即可. 【详解】方程表示焦点在y轴上的双曲线， 则，解得， 则k的取值范围是. 故答案为：. 题型二、双曲线标准方程和性质 13．（23-24高三下·湖南·对口/高职单招）已知双曲线的一个焦点为，离心率为2． (1)求双曲线的方程； (2)设点，直线与双曲线相交于两点，证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）由焦点和离心率，可求出，再由求出，进而写出双曲线的方程； （2）设，联立双曲线和直线方程，由韦达定理得，再由向量垂直的坐标表示证明即可. 【详解】（1）双曲线的一个焦点为，离心率为2 则，得，又， 双曲线的方程为； （2） 直线与双曲线相交于两点， 由，得， 设，则 ， ， = ，所以． 14．（24-25高三下·湖南·三模）已知双曲线的对称轴为坐标轴，对称中心为坐标原点，两个焦点分别为，． (1)若双曲线的渐近线方程为，且双曲线经过点，求该双曲线的标准方程； (2)若双曲线的虚轴的一个端点为M，且，求该双曲线的离心率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按焦点在轴与轴分类讨论，根据渐近线方程和点在双曲线上求出，即可写出标准方程. （2）由得出，再根据求出离心率即可. 【详解】（1）当双曲线焦点在轴时，设双曲线方程为， 双曲线的渐近线方程为，所以，即， 因为双曲线经过点， 所以，解得，所以， 所以双曲线的标准方程是． 当双曲线焦点在轴时，设双曲线方程为， 双曲线的渐近线方程为，所以，即， 因为双曲线经过点， 所以，此方程无解，不符合题意， 综上，双曲线的标准方程是． （2） 设双曲线的实半轴为，虚半轴为，半焦距为， 若双曲线的虚轴的一个端点为M，且， 由题意，， 由双曲线的对称性可知，， 于是，， 所以 因此，双曲线的离心率． 15．（24-25高三下·湖南·一模）已知双曲线的顶点、焦点分别与椭圆的焦点、顶点重合. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知为双曲线的两个顶点，若是直线与双曲线相交所得线段的中点，求的面积. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）首先确定椭圆的顶点和焦点的坐标，进而确定双曲线方程； （2）联立双曲线方程和直线方程，由根与系数关系确定点的坐标，进而求解的面积. 【详解】（1）在椭圆中，左右顶点为，焦点为， 双曲线，焦点在轴上， 已知双曲线的顶点、焦点分别与椭圆的焦点、左右顶点重合， 则，， 所以双曲线的标准方程为. （2）若是直线与双曲线相交所得线段的中点， 设，则中点的坐标为， 联立方程 消去，整理得， 根据根与系数的关系，得， 所以， 所以， 因为的底边在轴上，所以高，底， 所以. 三、【考点演练】 【考点1】双曲线的定义及标准方程 16．已知双曲线（）的一条渐近线为，则它的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据已知渐近线方程求出的值，然后根据离心率公式计算出结果. 【详解】已知双曲线方程为， 则该双曲线的渐近线方程为，且， 已知双曲线的一条渐近线为，即， 所以，解得， 因为，，则，所以， 则离心率. 故选：A. 17．已知双曲线，若双曲线和双曲线有相同的渐近线，且双曲线经过点，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两双曲线渐近线相同设出双曲线的方程，再将已知点代入方程求解. 【详解】∵双曲线和双曲线有相同的渐近线， ∴设双曲线， ∵双曲线经过点，∴， ∴双曲线的方程为，即. 故选：C. 18．已知双曲线方程为，则双曲线的焦距为（   ）． A．7 B．1 C．14 D．2 【答案】C 【分析】由双曲线标准方程求出的值，进而可得焦距. 【详解】在双曲线中，可得，， 则，可得， 故双曲线的焦距为. 故选：C. 19．已知双曲线的左右焦点分别为，，点P为双曲线右支上一点，且，的周长为10，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合双曲线的定义求得的长度，从而求得的值，进而求得双曲线的渐近线即可得解. 【详解】由题，双曲线的左右焦点分别为，， 所以，，因为，所以， 因为的周长为10， 所以，所以有，所以 双曲线内有，所以， 所以渐近线方程为. 故选：A. 20．是双曲线上一点，是双曲线的两个焦点，且，则的值为（   ） A．1 B．33 C．1或33 D．0 【答案】B 【分析】由双曲线的定义及几何性质即可得解. 【详解】由双曲线方程知， ，则. ∵是双曲线上一点， ∴， 又， ∴或. 又， ∴. 故选：B. 21．双曲线的方程是，那么它的焦距是（   ） A．5 B．10 C． D． 【答案】D 【分析】已知双曲线方程求a，b，c，进而可求焦距. 【详解】双曲线的方程是， ，， ， 焦距：. 故选：D． 【考点2】双曲线标准方程和性质 22．若方程表示双曲线，则实数k的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的方程特征即可求解. 【详解】若方程表示双曲线， 则有， 故选：D 23．下列方程中，以为渐近线的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线方程，得到，即可求得各选项中双曲线方程的渐近线方程. 【详解】可以化为. 选项A中，中，，，渐近线方程为，故错误. 选项B中，，，，渐近线方程为，故正确. 选项C中，，，，渐近线方程为，故错误. 选项D中，，，，渐近线方程为，故错误. 故选：B. 24．已知双曲线方程，，为两焦点，过作直线交双曲线的同一支于，两点，若，则的周长是（    ） A． B． C．16 D． 【答案】D 【分析】结合双曲线定义解题即可. 【详解】易知双曲线中，不妨将看做双曲线左焦点， 则由双曲线的定义可知：，， 即，， 则的周长为：. 故选：. 25．已知双曲线的右焦点为，过左焦点且倾斜角为的直线交双曲线于两点. (1)求直线的方程和双曲线的标准方程； (2)求线段的长度. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据焦点坐标求出，进而求得，从而求得双曲线方程；根据题意得到双曲线的左焦点坐标，再利用直线的倾斜角求出斜率，最后用点斜式求出直线的方程即可； （2）先联立直线和双曲线方程，结合韦达定理求出，再利用弦长公式求解即可. 【详解】（1）由可知， 所以双曲线方程为， 由双曲线的左焦点为，直线的倾斜角为， 所以直线的方程为：，即. （2）设， 联立， 所以，即， 由韦达定理可知， 所以， 而. 11．双曲线：的离心率是，点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)设斜率为的直线与交于，两点，若与圆相切，求证：. 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】(1)根据点在双曲线上可得，由可求，进而求得，代入双曲线的方程可得结果. （2）设直线的方程为，根据直线与圆相切，得出，联立直线与双曲线的方程，得出，，将以上各式代入，即可得出，从而得证. 【详解】（1）由题知，得， . 故双曲线方程是. （2）设直线的方程为， 与圆相切，，即      ———① 由，得， 设，，则 ，，又， 故 ， 由①式可知， 故 【点睛】关键点点睛：本题采用设而不求的解题方法，将直线方程代入双曲线方程整理后，应用韦达定理求出，，并结合直线与圆相切，得出的代入计算出的值为0，从而得证． 12．已知双曲线C：． (1)求双曲线C的焦点坐标及渐近线方程； (2)已知直线l过点，且与双曲线C交于A，B两点，若A，B两点关于点P对称，求直线l的方程． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由双曲线方程求出、、，并根据焦点位置写出焦点坐标和渐近线方程； （2）由题意设出直线方程，与双曲线联立，消元，利用韦达定理可得的表达式.根据点是线段AB的中点，可得的值，列式可求解. 【详解】（1）由已知可知 双曲线的焦点在x轴上，其中，， 所以， 从而，，. 故双曲线的焦点坐标为； 渐近线方程为即； （2）由A，B两点关于点P对称可知： 点是线段AB的中点.       设，， 由中点坐标公式有. 若直线的斜率不存在时， 则A，B两点不可能关于点P对称，     故直线的斜率一定存在，设直线方程为．     由可得 . 由题知且   ① , 即， 解得. 经检验符合①式. 故直线l的方程为，即. 13．已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，且. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设直线与双曲线C相交于M，N两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可得，再根据离心率，可求得，进而得，据此可求解； （2）设，，由韦达定理可得的值，根据弦长公式，可求得，利用点到直线的距离公式，求出到直线的距离，据此可求解. 【详解】（1）由，可得， 由离心率为，可得， 解得， 所以. 所以双曲线C的标准方程为； （2）将直线与双曲线方程联立，可得 ，消元、整理可得 设，，显然有. 则， 所以 ， 又因为到直线的距离为， 所以. 14．已知双曲线的渐近线方程为，且双曲线经过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)经过该双曲线的左焦点与x轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，求的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为，再将点代入计算即可. （2）先由（1）求出的双曲线方程求出左焦点的坐标，因直线过左焦点与轴垂直，即两点的横坐标与左焦点的横坐标相同，再算出两点的纵坐标，即可知道. 【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为，即， 所以可设双曲线的方程为， 则，解得. 因此双曲线的标准方程为，即. （2）在双曲线中，因为，， 所以双曲线的左焦点为. 当时，，解得. 因此，. 三、证明题 15．已知双曲线的标准方程为 ． （1）写出双曲线的实轴长，虚轴长，离心率，左、右焦点、的坐标； （2）若点在双曲线上，求证：． 【答案】详见解析 【分析】（1）根据双曲线的标准方程，求得a和b的值，即可求得答案； （2）根据直线斜率求得，从而可得. 【详解】(1)由，可得：，， 所以离心率为，左、右焦点分别为,； (2)因为,,, 所以，所以 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年湖南省对口招生《数学必刷题》 专题19 双曲线 1、 【考点导读】 理解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程和性质。 二、【真题精练】 题型一、双曲线的定义及标准方程 1．（24-25高三下·湖南长沙·模拟预测）双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·湖南株洲·模拟预测）实轴长为8，焦点坐标为的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·湖南长沙·模拟预测）已知方程表示双曲线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·湖南怀化·模拟预测）焦点在x轴上，实轴长为8，虚半轴长为3的双曲线标准方程为（  ） A． B． C． D． 5．（22-23高三·湖南长沙·模拟预测）双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（22-23高三·湖南·三模）“”是“方程表示焦点在x轴上的双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 7．（22-21高三·湖南·一模）若双曲线的渐近线方程是，焦点为，则双曲线标准方程是（    ） A． B． C． D． 8．（20-21高三下·湖南·二模）若双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D．2 9．（23-24高三·湖南·一模）双曲线的焦距为是（    ） A． B． C．5 D．10 10．（25-26高三上·湖南湘潭·一模）双曲线的焦点为，，若双曲线上一点到焦点的距离为4，则点到焦点的距离为_____. 11．（24-25高三下·湖南湘潭·三模）双曲线的一条渐近线方程为，则_____. 12．（24-25高三下·湖南·模拟预测）若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则k的取值范围是________. 题型二、双曲线标准方程和性质 13．（23-24高三下·湖南·对口/高职单招）已知双曲线的一个焦点为，离心率为2． (1)求双曲线的方程； (2)设点，直线与双曲线相交于两点，证明：． 14．（24-25高三下·湖南·三模）已知双曲线的对称轴为坐标轴，对称中心为坐标原点，两个焦点分别为，． (1)若双曲线的渐近线方程为，且双曲线经过点，求该双曲线的标准方程； (2)若双曲线的虚轴的一个端点为M，且，求该双曲线的离心率． 15．（24-25高三下·湖南·一模）已知双曲线的顶点、焦点分别与椭圆的焦点、顶点重合. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知为双曲线的两个顶点，若是直线与双曲线相交所得线段的中点，求的面积. 三、【考点演练】 【考点1】双曲线的定义及标准方程 16．已知双曲线（）的一条渐近线为，则它的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 17．已知双曲线，若双曲线和双曲线有相同的渐近线，且双曲线经过点，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 18．已知双曲线方程为，则双曲线的焦距为（   ）． A．7 B．1 C．14 D．2 19．已知双曲线的左右焦点分别为，，点P为双曲线右支上一点，且，的周长为10，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 20．是双曲线上一点，是双曲线的两个焦点，且，则的值为（   ） A．1 B．33 C．1或33 D．0 21．双曲线的方程是，那么它的焦距是（   ） A．5 B．10 C． D． 【考点2】双曲线标准方程和性质 22．若方程表示双曲线，则实数k的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 23．下列方程中，以为渐近线的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 24．已知双曲线方程，，为两焦点，过作直线交双曲线的同一支于，两点，若，则的周长是（    ） A． B． C．16 D． 25．已知双曲线的右焦点为，过左焦点且倾斜角为的直线交双曲线于两点. (1)求直线的方程和双曲线的标准方程； (2)求线段的长度. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $