专题13 等差数列 - 2026年湖南省对口招生考试《数学必刷题》（原卷版+解析版）

2026年湖南省对口招生《数学必刷题》 专题13 等差数列 1、 【考点导读】 理解等差数列的定义、通项公式及前 n 项和公式。 二、【真题精练】 题型一、等差数列的定义、通项公式 1．（2025·湖南·真题T05）在等差数列中，，，则公差（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式即可得解. 【详解】因为在等差数列中，，， 所以，即，解得. 故选：D. 2．（2024·湖南·真题T02）已知数列的通项公式为，若，则（ ） A. 15 B. 17 C. 20 D. 34 【答案】B 【解析】 【分析】将代入通项公式中即可求解. 【详解】因为，， 所以，解得. 故选：B. 3．（25-26高三上·湖南·一模）已知数列为等差数列，且与的等差中项为，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】利用等差中项的性质结合已知条件即可求解. 【详解】因为为等差数列且与的等差中项为， 所以，即，解得. 故选：B. 4．（24-25高三下·湖南·模拟预测）在等差数列中，，则公差等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件列出首项和公差的方程组求解即可. 【详解】由题意得，解得． 故选：A. 5.（2023·湖南·真题T15）设等差数列的前n项和为．若，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题目条件列方程求出，用等差数列前n项和公式写出，进而求出其最值. 【详解】因为为等差数列，， 由等差中项可得，，又， 可得，解得， 所以， 所以当时，取最小值为. 故答案为：. 6．（25-26高三上·湖南湘潭·一模）已知数列满足，，则_____. 【答案】 【分析】根据等差数列的概念及等差数列的通项公式可求解. 【详解】由，可得, 所以数列是以首项，公差的等差数列， 所以. 故答案为： 7．（24-25高三下·湖南长沙·模拟预测）在等差数列中，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】因为， 所以. 从而. 故选：B. 题型二、等差数列的前 n 项和公式 8．（24-25高三下·湖南永州·二模）在等差数列中，，，则该数列前项和最大时，（   ） A．5 B．5或6 C．6 D．6或7 【答案】B 【分析】求出等差数列的通项公式，研究数列是递增数列还是递减数列，即可求解. 【详解】由题意知在等差数列中，，， 所以， 解得，， 所以， 当时，即，解得， 所以当为5或6时，前项和最大． 故选：B. 9．（24-25高三下·湖南·三模）在数列中，已知，则该数列的前9项和（ ） A．18 B．36 C．72 D．90 【答案】C 【分析】根据题意得出数列为等差数列，结合等差数列的性质及求和公式即可得解. 【详解】因为，即，所以数列是公差为的等差数列， 则. 故选：. 10.（2022·湖南·真题T17）已知等差数列满足，. （1）求； （2）设数列的前项和为，问：，，是否成等比数列？请说明理由. 【答案】（1）19 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据求公差，再根据通项公式求. （2）先根据等差数列前项和公式求，，，再根据等比数列的特征判断是否成等比数列. 【小问1详解】 因为是等差数列，， 即，， ∴. 【小问2详解】 因为等差数列的前项和为，， 所以， ， ， ∵，即， ∴，，，成等比数列. 11．（25-26高三上·湖南·一模）在等差数列中，，公差． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和，并求出的最大值． 【答案】(1) (2)，有最大值64 【分析】（1）首先求出首项，再根据等差数列的通项公式求解即可. （2）根据等差数列的前n项和以及二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以，解得， ． 因此，数列的通项公式为． （2）因为， 所以． 故当时，有最大值64． 12．（24-25高三下·湖南常德·二模）已知等差数列的公差，，且成等比数列 (1)求的通项公式; (2)设，求数列的前n项和， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比中项及等差数列的通项公式，列方程组可得，据此可求解； （2）由（1）可得数列为等比数列，采用分组求和法可得结果. 【详解】（1）因为成等比数列， 所以，即. 化简得：．由于，故． 所以，所以. 所以通项公式为：． （2）由（1）知，， 因为，所以数列是以首项，公比的等比数列. 所以数列的前n项和为： ， 即． 13．（24-25高三下·湖南·模拟预测）在等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出等差数列的公差，再由等差数列的通项公式求解即可； （2）先表示出数列的通项公式，再由等差数列的前n项和公式计算即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为在等差数列中，， 可得，解得， 所以． （2）由（1）可得，， 所以，， 因为， 所以数列是首项，公差的等差数列， 故数列的前项和． 14．（24-25高三下·湖南·一模）在等差数列中，.求： (1)数列的通项公式； (2)数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式列方程组求解即可. （2）根据等差数列的前项和公式求值即可. 【详解】（1）已知为等差数列，设公差为， 由，得， 解得， 所以. （2）由（1）可得，，， 则 . 15．（24-25高三下·湖南·三模）在等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前100项和． 【答案】(1) (2)50 【分析】（1）根据题意，结合等差数列的前n项和公式，及等差数列的性质，求出，继而求得公差和首项，即可求解； （2）根据题意，结合数列的通项公式，先表示出数列的通项公式，利用分组并项求和法，即可求解. 【详解】（1）因为等差数列中，， 又，所以， 所以， 所以公差，首项， 所以数列的通项公式； （2）由（1）知， 所以， 所以 . 三、【考点演练】 【考点1】等差数列的定义、通项公式 16．在等差数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等差数列的通项公式结合，求出即可. 【详解】在等差数列中，，， 所以. 故选：C. 17．在等差数列7，10，13，…中，，则 （   ）． A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】C 【分析】观察等差数列得到数列的通项为，令，即可求解. 【详解】观察等差数列7，10，13，， 得到，，则通项， 若，令， 解得， 故选：C. 18．已知是公比为的等比数列，且，，成等差数列，则（    ） A．或 B．1 C． D．－2 【答案】A 【分析】运用等比数列和等差中项的性质求解即可. 【详解】因为，，成等差数列， 所以有， 又已知是公比为的等比数列， 所以， 可得， 所以或. 故选：A. 19．等差数列3，8，13，的公差______；通项公式______. 【答案】 【分析】利用等差数列的定义与通项公式即可得解. 【详解】第一空：公差； 第二空：通项公式. 故答案为：； 20．已知在等差数列中，且，则数列的前项和_________． 【答案】 【分析】由等差数列的性质及等差数列前项和公式即可得解. 【详解】由等差数列的性质可得: . 所以. 故答案为:. 【考点2】等差数列的前 n 项和公式 21．已知等差数列中，前项和为，且. (1)求通项公式； (2)当为何值时，最小？并求这个最小值. 【答案】(1) (2)当时，最小，最小值为. 【分析】（1）根据计算出等差数列的首项和公差，进而求得数列的通项公式； （2）代入首项和公差求出，然后计算最小值. 【详解】（1）因为， 所以， 则， 又因为， 解得， 所以数列的通项公式为：. （2）因为 ， 所以当时，最小，最小值为. 22．在等差数列中，． (1)求的通项公式； (2)若数列的前项和，求的值． 【答案】(1). (2)5或6. 【分析】（）设出等差数列的公差，根据列出方程求出公差即可得解. （）将代入等差数列的前项和公式即可得解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由得， 解得， 由等差数列的通项公式得 所以的通项公式为． （2）因为数列的前项和， 又等差数列的前项和公式为， 所以， 解得或， 所以的值为5或6． 23．已知数列是等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列{}的前n项和为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据等差数列通项公式求出的值，进而可得通项公式； （2）由（1）得数列{}的通项公式，再根据数列的特点，求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为， 所以，解得， . （2）由（1）可知，所以数列{}的前项和为， . 24．已知数列为等差数列，， (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，若，求n． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的性质和通项公式即可解得. （2）根据等差数列前项和公式代入即可解得. 【详解】（1）数列为等差数列，公差 故 （2）∵等差数列的前n项和为， ∴ ∴ 25．等差数列中，，． (1)求的通项公式； (2)若，求的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的项，求得等差数列的首项和公差，即可求得通项式. （2）求得的通项式，再根据等比数列的求和公式求解. 【详解】（1）∵是等差数列，且，， ∴令的首项为，公差为，即，. 即可得到，. 故的通项公式为. （2）依题意，. 故是首项为4，公比为16的等比数列， 故. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年湖南省对口招生《数学必刷题》 专题13 等差数列 1、 【考点导读】 理解等差数列的定义、通项公式及前 n 项和公式。 二、【真题精练】 题型一、等差数列的定义、通项公式 1．（2025·湖南·真题T05）在等差数列中，，，则公差（ ） A. B. C. D. 2．（2024·湖南·真题T02）已知数列的通项公式为，若，则（ ） A. 15 B. 17 C. 20 D. 34 3．（25-26高三上·湖南·一模）已知数列为等差数列，且与的等差中项为，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．（24-25高三下·湖南·模拟预测）在等差数列中，，则公差等于（   ） A． B． C． D． 5.（2023·湖南·真题T15）设等差数列的前n项和为．若，，则的最小值为______． 6．（25-26高三上·湖南湘潭·一模）已知数列满足，，则_____. 7．（24-25高三下·湖南长沙·模拟预测）在等差数列中，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型二、等差数列的前 n 项和公式 8．（24-25高三下·湖南永州·二模）在等差数列中，，，则该数列前项和最大时，（   ） A．5 B．5或6 C．6 D．6或7 9．（24-25高三下·湖南·三模）在数列中，已知，则该数列的前9项和（ ） A．18 B．36 C．72 D．90 10.（2022·湖南·真题T17）已知等差数列满足，. （1）求； （2）设数列的前项和为，问：，，是否成等比数列？请说明理由. 11．（25-26高三上·湖南·一模）在等差数列中，，公差． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和，并求出的最大值． 12．（24-25高三下·湖南常德·二模）已知等差数列的公差，，且成等比数列 (1)求的通项公式; (2)设，求数列的前n项和， 13．（24-25高三下·湖南·模拟预测）在等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 14．（24-25高三下·湖南·一模）在等差数列中，.求： (1)数列的通项公式； (2)数列的前项和. 15．（24-25高三下·湖南·三模）在等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前100项和． 三、【考点演练】 【考点1】等差数列的定义、通项公式 16．在等差数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 17．在等差数列7，10，13，…中，，则 （   ）． A．30 B．31 C．32 D．33 18．已知是公比为的等比数列，且，，成等差数列，则（    ） A．或 B．1 C． D．－2 19．等差数列3，8，13，的公差______；通项公式______. 20．已知在等差数列中，且，则数列的前项和_________． 【考点2】等差数列的前 n 项和公式 21．已知等差数列中，前项和为，且. (1)求通项公式； (2)当为何值时，最小？并求这个最小值. 22．在等差数列中，． (1)求的通项公式； (2)若数列的前项和，求的值． 23．已知数列是等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列{}的前n项和为，求． 24．已知数列为等差数列，， (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，若，求n． 25．等差数列中，，． (1)求的通项公式； (2)若，求的前n项和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $