专题21 直线与圆锥曲线 - 2026年湖南省对口招生考试《数学必刷题》（原卷版+解析版）

2026年湖南省对口招生《数学必刷题》 专题21 直线与圆锥曲线 1、 【考点导读】 1.理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程和性质。 2.理解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程和性质。 3.理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程和性质。 4.能运用直线和圆的知识解决有关实际问题。 二、【真题精练】 题型一、直线与圆锥曲线 1.（2025·湖南·真题T19）已知椭圆的一个顶点为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，求直线的斜率. 2.（2024·湖南·真题T20）已知双曲线的一个焦点为，离心率为2． （1）求双曲线的方程； （2）设点，直线与双曲线相交于两点，证明：． 3.（2023·湖南·真题T20）已知抛物线C：的焦点为，过点F的直线l交C于A，B两点． （1）求抛物线C的标准方程及其准线方程； （2）设E为C的准线与y轴的交点，直线AE，BE的斜率分别为，，证明：． 4.（2022·湖南·真题T20）已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，且. （1）求双曲线C的标准方程； （2）设直线与双曲线C相交于M，N两点，求的面积. 5.（2021·湖南·真题T20）已知椭圆经过点，且离心率为． （1）求椭圆C的标准方程. （2）设直线与椭圆相交于两点，求的值． 6．（24-25高三下·湖南·模拟预测）设椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，椭圆上一点到两个焦点的距离之和为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知过点且倾斜角的直线与椭圆交于两点，点为椭圆上任意一点，求的最大面积． 7．（24-25高三下·湖南郴州·三模）已知椭圆（）的离心率为，且椭圆经过点． (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的左焦点作斜率为1的直线l交椭圆于A，B两点，为C的右焦点，求的面积． 8．（24-25高三下·湖南·三模）已知双曲线的一条渐近线方程是，且过点. (1)求双曲线的标准方程： (2)若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A与B，且（其中O为原点），求k的取值范围. 9．（24-25高三下·湖南·模拟预测）已知椭圆C:的左、右焦点分别为、，上顶点为P，长轴长为4，若为正三角形. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点，斜率为的直线与椭圆相交M，N两点，求MN的长. 10．（24-25高三下·湖南永州·二模）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于，两点，双曲线的右焦点为，求的面积． 11．（24-25高三下·湖南·二模）已知抛物线和直线. (1)若抛物线和直线有两个交点，求的取值范围； (2)若，且直线与抛物线有两个交点，线段的垂直平分线交轴于点，求的面积的取值范围. 12．（23-24高二下·湖南·模拟预测）已知双曲线的焦距为4，离心率． (1)求双曲线C的标准方程； (2)经过双曲线C右焦点且倾斜角为的直线l与双曲线C相交于两点，求的值． 13．（23-24高三上·湖南·一模）设椭圆的右顶点为，上顶点为．已知椭圆的离心率为，． (1)求该椭圆的标准方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，求的大小． 14．（23-24高三下·湖南怀化·一模）已知椭圆的离心率为，右焦点为 (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求的值． 15．（22-23高三·湖南·一模）已知抛物线C：的焦点为，直线与抛物线C交于M，N两点. (1)求抛物线C的标准方程； (2)求的面积. 三、【考点演练】 【考点1】直线与圆锥曲线 16．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为6，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线与椭圆交于两点，且点为线段的中点，求直线的方程. 17．已知椭圆：的一个焦点坐标为，其离心率 (1)求椭圆E的方程； (2)若过点的直线l交椭圆E于两点，且点P恰为弦的中点，求直线l的方程. 18．已知椭圆的焦点和，离心率． (1)求椭圆的方程； (2)设点在椭圆上，且，求的面积． 19．已知点在双曲线上，且双曲线的渐近线的方程为． (1)求双曲线的方程； (2)若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点，求实数的值． 20．已知椭圆的左、右焦点分别为，B为短轴的一个端点，且. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线与椭圆C相交于两点，且，求的值. 21．双曲线C与椭圆有公共的焦点，且过点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设是双曲线上一点且，求的面积. 22．已知椭圆的左、右焦点分别为，且过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点，倾斜角为的直线与椭圆相交于两点，求的长． 23．已知椭圆的一个焦点为，离心率． (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线与椭圆C相交于两点，若的中点，求直线的方程． 24．已知椭圆，离心率，焦距为，右顶点，上顶点． (1)求椭圆的标准方程； (2)求坐标原点O到直线的距离d； (3)已知双曲线的左右焦点为，双曲线上有一点P满足，求． 25．已知椭圆的离心率为，长轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)已知过点且斜率为1的直线与椭圆相交于两点，求弦长. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年湖南省对口招生《数学必刷题》 专题21 直线与圆锥曲线 1、 【考点导读】 1.理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程和性质。 2.理解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程和性质。 3.理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程和性质。 4.能运用直线和圆的知识解决有关实际问题。 二、【真题精练】 题型一、直线与圆锥曲线 1.（2025·湖南·真题T19）已知椭圆的一个顶点为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，求直线的斜率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合顶点坐标，求得a的值，结合离心率求得c的值，结合得关系，求得，继而求得椭圆的标准方程. （2）根据题意，将椭圆方程和直线方程联立方程组，结合韦达定理和中点坐标公式，求得点M的坐标，结合斜率公式，即可求解. 【小问1详解】 因为椭圆的一个顶点为，可知， 又离心率，得， 根据椭圆性质得， 因此椭圆方程为 【小问2详解】 由（1）知，椭圆C方程为， 所以，消元化简整理得， 设，两点坐标为，点M坐标为， 所以，， 所以，， 所以中点坐标为， 所以,即直线的斜率为. 2.（2024·湖南·真题T20）已知双曲线的一个焦点为，离心率为2． （1）求双曲线的方程； （2）设点，直线与双曲线相交于两点，证明：． 【答案】（1）； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由焦点和离心率，可求出，再由求出，进而写出双曲线的方程； （2）设，联立双曲线和直线方程，由韦达定理得，再由向量垂直的坐标表示证明即可. 【小问1详解】 双曲线的一个焦点为，离心率为2 则，得，又， 双曲线的方程为； 【小问2详解】 直线与双曲线相交于两点， 由，得， 设，则 ， ， = ，所以． 3.（2023·湖南·真题T20）已知抛物线C：的焦点为，过点F的直线l交C于A，B两点． （1）求抛物线C的标准方程及其准线方程； （2）设E为C的准线与y轴的交点，直线AE，BE的斜率分别为，，证明：． 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由焦点为，求出，进而写出抛物线的方程和其准线方程. （2）设，直线l为，联立直线l与抛物线方程，通过韦达定理来证明即可. 【小问1详解】 因为抛物线的焦点为，则， 所以抛物线C的标准方程为，准线方程为. 【小问2详解】 当直线l斜率不存在时，与抛物线仅有一个交点，不满足题意， 当直线l斜率存在时，又直线l过点， 可设直线l方程，联立抛物线C方程可得 ，整理得， 设，则， 直线AE，BE的斜率分别为，，点， 所以 . 4.（2022·湖南·真题T20）已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，且. （1）求双曲线C的标准方程； （2）设直线与双曲线C相交于M，N两点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，再根据离心率，可求得，进而得，据此可求解； （2）设，，由韦达定理可得的值，根据弦长公式，可求得，利用点到直线的距离公式，求出到直线的距离，据此可求解. 【小问1详解】 由，可得， 由离心率为，可得， 解得， 所以. 所以双曲线C的标准方程为； 【小问2详解】 将直线与双曲线方程联立，可得 ，消元、整理可得 设，，显然有. 则， 所以 ， 又因为到直线的距离为， 所以. 5.（2021·湖南·真题T20）已知椭圆经过点，且离心率为． （1）求椭圆C的标准方程. （2）设直线与椭圆相交于两点，求的值． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）由椭圆的标准方程,离心率公式即可得解. （2）由直线与椭圆的位置关系,韦达定理,向量内积的坐标表示即可得解. 【小问1详解】 因为椭圆经过点,且离心率为. 所以 解得 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设. 所以. 联立方程得. 所以. 所以 所以. 6．（24-25高三下·湖南·模拟预测）设椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，椭圆上一点到两个焦点的距离之和为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知过点且倾斜角的直线与椭圆交于两点，点为椭圆上任意一点，求的最大面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设椭圆的方程为，再由椭圆定义和离心率公式列方程组求出的值即可. （2）由点斜式得直线方程为，再将直线方程与椭圆方程联立，并由韦达定理得，再由弦长公式求出，再设，根据直线与椭圆相切求出的值，并由两平行线之间的距离公式计算出直线和直线之间的距离，即的高的最大值，由此即可求出的最大面积. 【详解】（1）由焦点在轴上，可设椭圆的方程为， 由椭圆上一点到两个焦点的距离之和为，离心率为， 得，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）由已知得，直线的斜率为， 则直线的方程为，即， 联立方程， 根据韦达定理，得， 弦长， 设直线和直线平行且与椭圆相切，则， 联立方程， 则，解得， 所以直线的方程为， 因为直线和直线之间的距离， 所以当时，， 所以的最大面积. 7．（24-25高三下·湖南郴州·三模）已知椭圆（）的离心率为，且椭圆经过点． (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的左焦点作斜率为1的直线l交椭圆于A，B两点，为C的右焦点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的离心率以及椭圆过点求解即可. （2）根据直线的点斜式得到直线l，与椭圆的方程联立得到A，B两点坐标，再根据三角形的面积公式求解. 【详解】（1）∵椭圆（）的离心率为， ∴，又，所以. 又因为椭圆经过点，则， 结合，解得，． 故椭圆的方程为； （2）椭圆的左焦点，右焦点，设，， 则直线的方程为. 联立，整理得，解得或， 当时，；当时，， 所以的面积． 8．（24-25高三下·湖南·三模）已知双曲线的一条渐近线方程是，且过点. (1)求双曲线的标准方程： (2)若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A与B，且（其中O为原点），求k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用双曲线的渐近线方程假设双曲线的方程，再代入点即可得解； （2）根据题意，联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理与向量内积的坐标表示求得的取值范围，从而得解. 【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线方程是， 所以设双曲线的方程为， 又双曲线过点，则，解得， 所以双曲线的方程为. （2）依题意，联立直线与双曲线，得， 消去，得， 直线与曲线C恒有两个不同的交点A和B， ，解得且， 设点，，则，， ， 因为，， 即，解得， 综上，，即 则k的取值范围为. 9．（24-25高三下·湖南·模拟预测）已知椭圆C:的左、右焦点分别为、，上顶点为P，长轴长为4，若为正三角形. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点，斜率为的直线与椭圆相交M，N两点，求MN的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知求椭圆的参数，即可得椭圆方程； （2）由题设直线为，联立椭圆方程求交点坐标，再利用弦长公式求解即可； 【详解】（1）因为椭圆的长轴长为4，为正三角形； 所以，解得； 所以椭圆的标准方程为； （2）由（1）可知，， 所以该直线为， 联立，消去并整理得， 解得，即为点横坐标， 所以. 10．（24-25高三下·湖南永州·二模）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于，两点，双曲线的右焦点为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可设双曲线的方程为，将点代入，求得即可； （2）解法一：将直线代入双曲线的方程，由韦达定理和弦长公式求得，再求出点到直线的距离，由求得结果； 解法二：将直线代入双曲线的方程，设，，由韦达定理求得，设与轴交于点，由求得结果． 【详解】（1）根据题意可设双曲线的方程为，， 将点代入中，得，解得， 所以双曲线的方程为，即． （2）解法一：由（1）知，双曲线的方程为， 将直线代入中，整理得． 设，，由韦达定理可得，， 所以， 因为双曲线的标准方程为，所以双曲线的右焦点为， 又因为点到直线的距离， 所以． 解法二：因为双曲线的标准方程为，所以双曲线的右焦点为， 由（1）知，双曲线的方程为， 将直线代入中，整理得． 设，，由韦达定理可得，， 所以． 设与轴交于点，因为点在上，所以， 则． 11．（24-25高三下·湖南·二模）已知抛物线和直线. (1)若抛物线和直线有两个交点，求的取值范围； (2)若，且直线与抛物线有两个交点，线段的垂直平分线交轴于点，求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，根据抛物线和直线有两个交点，得到，即可求解. （2）先求得弦长，再根据中点坐标公式得到线段的中点坐标，即可得到线段的垂直平分线方程，进而得到点坐标，计算点到垂直平分线距离，即可求解. 【详解】（1）由得， 将其代入中得， 所以， 因为抛物线和直线有两个交点，所以，解得. 因此，的取值范围是. （2）    设点，，则由方程， 可得，， ， ， 所以， 因为， 所以线段的中点坐标为，即， 因为直线斜率为 所以线段的垂直平分线直线方程为， 即，当时，，则， 该直线与轴的交点到直线的距离， 所以的面积， 因为，所以，， 因此的面积的取值范围是. 12．（23-24高二下·湖南·模拟预测）已知双曲线的焦距为4，离心率． (1)求双曲线C的标准方程； (2)经过双曲线C右焦点且倾斜角为的直线l与双曲线C相交于两点，求的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据题意，结合双曲线的焦距和离心率，即可求出a和c的值，继而求出的值，即可求解； （2）根据题意，先求出焦点坐标和直线的斜率，结合点斜式方程求出直线的方程，与双曲线方程联立方程组，结合韦达定理和弦长公式，即可求解. 【详解】（1）因为双曲线的焦距为4， 所以， 又离心率，即， 所以， 所以， 所以双曲线C的标准方程为； （2）由（1）知， 所以双曲线C的右焦点为， 又直线l的倾斜角为，所以直线l的斜率， 所以直线l的方程为， 所以，消元化简得， 设，则， 所以弦长. 13．（23-24高三上·湖南·一模）设椭圆的右顶点为，上顶点为．已知椭圆的离心率为，． (1)求该椭圆的标准方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，，且椭圆的离心率为，则，结合，即可求出； （2）由（1）得椭圆的标准方程，再与直线方程列式子，解出，，再根据弦长公式，即可求出. 【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，则由已知有 又因为，所以， 由题意得，，所以，解得， 故椭圆的标准方程为 （2）设点的坐标分别是. 由，消去，得， 所以，， 由弦长公式. 14．（23-24高三下·湖南怀化·一模）已知椭圆的离心率为，右焦点为 (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率和焦点坐标求参数的值，从而得解； （2）将直线与椭圆方程联立，得到点坐标，进而得到点的坐标，再根据题意得到. 【详解】（1）离心率为， 右焦点为，所以， 根据， 所以椭圆的标准方程. （2）将直线代入椭圆方程，得到：， 化简可得， 则，即， 设，，根据韦达定理，， 则， 所以线段的中点的坐标， 因为点在圆上， 所以，解得. 15．（22-23高三·湖南·一模）已知抛物线C：的焦点为，直线与抛物线C交于M，N两点. (1)求抛物线C的标准方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标即可求解. （2）联立直线与抛物线的方程，结合弦长公式以及点到直线的距离，代入三角形面积公式中即可求解. 【详解】（1）抛物线C：的焦点为， 所以，即，故抛物线C的标准方程为； （2）设点，， 把直线方程即代入中，得， 于是，， 则， 又因为点到直线MN：的距离， 所以的面积. 三、【考点演练】 【考点1】直线与圆锥曲线 16．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为6，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线与椭圆交于两点，且点为线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据椭圆的性质及离心率公式求出的值即可得解. （）设出点的坐标，利用中点坐标公式得出，，将分别代入椭圆方程中得出直线斜率，结合直线的点斜式方程即可得解. 【详解】（1）由已知得，，， ，， ，焦点在轴上， 椭圆的标准方程为. （2）设，，点为线段的中点， 则，， 将，分别代入椭圆方程中得， 相减得：， ，. 故直线的方程为，即. 17．已知椭圆：的一个焦点坐标为，其离心率 (1)求椭圆E的方程； (2)若过点的直线l交椭圆E于两点，且点P恰为弦的中点，求直线l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点坐标和离心率公式确定的值，再由的关系求出的值即可. （2）设点，点，再由中点坐标公式和斜率公式求值即可. 【详解】（1） 椭圆E的一个焦点坐标为， 所以，因为，所以， 所以 则椭圆E的方程为 （2） 设点，点 代入椭圆E的方程，得 两式相减，得 故， 点为弦的中点， ，直线l的斜率， 故直线l的方程为 即. 18．已知椭圆的焦点和，离心率． (1)求椭圆的方程； (2)设点在椭圆上，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的焦点位置确定椭圆方程的形式，再结合焦点坐标和离心率求出方程中的参数即可； （2）先根据椭圆的定义和已知条件求出和的值，再判断的形状，最后根据三角形面积公式求解. 【详解】（1）已知椭圆的焦点为和，焦点在轴上， 所以设椭圆的标准方程为， 因为焦点坐标为和，所以（为半焦距）， 已知离心率，将代入可得，解得， 可得， 所以椭圆的方程为. （2）由椭圆的定义可知，又已知， 联立方程组，解得，， 因为，，所以， 因为， 所以是直角三角形，且， 所以的面积为.    19．已知点在双曲线上，且双曲线的渐近线的方程为． (1)求双曲线的方程； (2)若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点，求实数的值． 【答案】(1)（或）； (2)或 【分析】（1）根据双曲线渐近线方程得到与的关系，再将已知点代入双曲线方程，联立求解出与的值，从而得到双曲线方程. （2）先写出直线方程，然后与双曲线方程联立，分直线与双曲线渐近线平行（此时方程为一次方程）和判别式等于（此时直线与双曲线相切）两种情况讨论，求出的值. 【详解】（1）由条件可知，，且， 解得：，， 所以双曲线方程为（或）. （2）设直线的方程为， 联立，整理得， 当时，，得； 当时，时，与双曲线的渐近线方程平行， 故与双曲线只有一个交点，满足条件， 综上可知，或. 20．已知椭圆的左、右焦点分别为，B为短轴的一个端点，且. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线与椭圆C相交于两点，且，求的值. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据焦点坐标得出，利用椭圆的几何性质得出，结合求出的值即可得解. （）联立方程组，利用韦达定理及弦长公式即可得解. 【详解】（1）   椭圆的左、右焦点分别为，则， 在中，，故， 又，解得，则， 所以椭圆的标准方程为：. （2）设， 联立组成方程组， 则，解得， 且， 由，即， 化简得，解得， 经检验均符合题意， 综上所述，. 21．双曲线C与椭圆有公共的焦点，且过点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设是双曲线上一点且，求的面积. 【答案】(1). (2)8. 【分析】（）求出椭圆的焦点坐标，根据共焦点设出双曲线的方程，将点代入曲线方程中，结合换元法即可得解. （）根据双曲线的定义及勾股定理列出方程组，求出，代入三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）设椭圆参数为，双曲线参数为， 椭圆，焦点在上，，则， 椭圆焦点为， 故双曲线焦点在轴上且，设双曲线方程为， 把点代入得， 令，则，化简得， 解得（舍）或， 所以， 所以双曲线的标准方程为. （2）双曲线的标准方程为， 则， 根据双曲线定义和勾股定理列方程组得， 则，即， 解得， 所以. 22．已知椭圆的左、右焦点分别为，且过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点，倾斜角为的直线与椭圆相交于两点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的焦点坐标求出，利用椭圆的定义来确定，进而求出即可； （2）先求出直线方程，然后联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求解. 【详解】（1）已知椭圆的左、右焦点分别为，， 则椭圆的焦点在轴上，且半焦距， 因为椭圆过点，所以， 即，得， 则， 故椭圆的标准方程为. （2）过点，倾斜角为的直线的斜率， 可得直线方程为， 设，， 联立直线方程与椭圆方程， 联立直线与椭圆方程 ，得， 则，，， 所以.    23．已知椭圆的一个焦点为，离心率． (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线与椭圆C相交于两点，若的中点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆焦点，离心率公式求解即可. （2）设出直线的斜率以及两点坐标，根据韦达定理以及中点公式求出斜率，再根据点斜式方程求解即可. 【详解】（1）因为椭圆的一个焦点为，离心率， 所以，解得. 故椭圆C的标准方程为. （2）设. 因为的中点，所以. 因为两点位于椭圆上，所以， 两式相减得，即， 即，且时重合，不成立， 所以直线m的斜率存在，设为k， . 所以直线m的方程为，即. 24．已知椭圆，离心率，焦距为，右顶点，上顶点． (1)求椭圆的标准方程； (2)求坐标原点O到直线的距离d； (3)已知双曲线的左右焦点为，双曲线上有一点P满足，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据椭圆的离心率和焦距，利用待定系数法即可求解； （2）求出直线的一般方程，利用点到直线的距离公式即可求解； （3）根据（1）求出a，根据双曲线中a、b、c的关系求出双曲线的c和焦距2c，根据双曲线的定义及求出，在中，根据余弦定理即可求得答案． 【详解】（1）∵椭圆离心率为，焦点距离为， ∴，解得， 又∵，∴求得． ∴椭圆标准方程为． （2）∵直线过点和， ∴， ∴方程为，即． ∴原点到直线的距离； （3）由（1）知， ∴对于双曲线，， ∴， ∴， 根据双曲线的定义可知， 又∵， ∴， ∴， ∴在中，根据余弦定理， 得． 25．已知椭圆的离心率为，长轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)已知过点且斜率为1的直线与椭圆相交于两点，求弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆的离心率和长轴长列方程求出，即可写出椭圆方程； （2）先写出直线的方程，再与椭圆方程联立，结合韦达定理和弦长公式求解即可. 【详解】（1）椭圆的离心率为，长轴长为4， 可得，即， ，即， 因此椭圆C的方程为：. （2）依题意得直线的方程为： 由，得， 设，则， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $