专题15 平面向量 - 2026年湖南省对口招生考试《数学必刷题》（原卷版+解析版）

2026年湖南省对口招生《数学必刷题》 专题15 平面向量 1、 【考点导读】 1.理解平面向量的加、减、数乘运算。 2.理解平面向量的坐标表示。 3.理解平面向量的内积及两向量垂直、共线的充要条件。 4.能运用平面向量的知识解决有关实际问题。 二、【真题精练】 题型一、平面向量的运算及坐标表示 1（2024·湖南·真题T06）已知，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据点的坐标得到向量坐标，再结合向量内积的坐标公式，即可解得. 【详解】因为，，， 所以，， 即. 故选：C. 2.（2022·湖南·真题T06）已知向量，，则（ ） A. B. C. 10 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量线性运算和内积坐标表示求解即可. 【详解】∵，， ∴，， ∴， 故选：A. 3．（25-26高三下·湖南长沙·二模）已知在边长为4的正方形中，点为的中点，则（   ） A． B．4 C．12 D．6 【答案】C 【分析】分别以、所在的直线为轴、轴建立坐标系，根据内积的坐标表示可求解. 【详解】 分别以、所在的直线为轴、轴，如图建立平面直角坐标系，则有 ，，，，， 所以，， 所以. 故选：C 4．（25-26高三上·湖南永州·一模）已知向量，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量内积的坐标表示即可求解. 【详解】向量，则， ， ，所以则与的夹角是. 故选：D. 5．（25-26高三上·湖南湘潭·一模）已知，，则（    ） A．6 B． C．18 D． 【答案】C 【分析】先求出的坐标，再根据向量内积的坐标运算公式计算. 【详解】已知，，可得：， 所以. 故选：C. 6．（24-25高三下·湖南常德·二模）已知平面向量的夹角为，且，则等于（   ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，结合向量内积的定义，及向量的模的计算，即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以，即， 所以. 故选：B. 7．（25-26高三上·湖南·一模）已知向量，则__________. 【答案】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 8．（2021·湖南·真题T12）已知向量，，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的线性运算及模的坐标表示，即可求解. 【详解】由题可得 ， 所以. 故答案为： 题型二、平面向量的内积及两向量垂直、共线 9．（2024·湖南·真题T12）已知向量，，且，则实数_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性运算的坐标表示结合向量垂直则内积为即可求解. 【详解】， . 因为， 所以. 解得. 故答案为：. 10．（2025·湖南·真题T06）已知向量，，则与向量平行的向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由向量线性运算的坐标表示求出坐标，再由平行的条件即可选出正确答案. 【详解】因为向量，， 则， 因为，所以与向量平行的向量可以是. 故选：B. 11．（24-25高三下·湖南郴州·三模）已知向量，，．若三点共线，则（   ） A． B． C．11 D． 【答案】C 【分析】由三点共线，根据向量平行的坐标表示即可得解. 【详解】∵向量，，， ∴， ∵A，C，D三点共线，∴， ∴，解得. 故选：C. 12．（25-26高三上·湖南·一模）已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示列出方程即可得解. 【详解】因为，，， 所以，， 故选：C． 13．（24-25高三下·湖南·模拟预测）已知，则实数________． 【答案】4 【分析】先由平面向量的坐标运算求出向量，再利用向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】因为， 所以，解得． 故答案为：4. 14．（25-26高三上·湖南·二模）已知向量，，若，则__________ 【答案】 【分析】根据平行向量的性质列出方程即可得解. 【详解】向量，， 因为，则，解得， 故答案为：. 15．（24-25高三下·湖南·模拟预测）已知平面向量，则_______． 【答案】 【分析】先根据向量的坐标线性运算得到和，再结合向量内积的坐标运算即可求解. 【详解】因为， 由向量的坐标运算可得，， 则． 故答案为： 三、【考点演练】 【考点1】平面向量的运算及坐标表示 16．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的内积公式即可求解. 【详解】由向量内积定义可知，， 又因为向量夹角的范围在到之间， 所以. 故选：C 17．已知：，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合平面向量线性运算的坐标表示及模长公式即可得解. 【详解】，则， 则， 故选：. 18．如图所示，已知向量，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算，将用已知向量和表示. 【详解】由，可得： 化简可得： 代入，，得： 故选：D 19．在中，若，，，则______． 【答案】 【分析】根据余弦定理求出的值，代入内积公式即可得解. 【详解】在中，若，，， 则， ， 故答案为：. 20．已知两个大小相等的向量，，当时，，则当时，________. 【答案】 【分析】根据向量的模以及内积公式求解即可. 【详解】当时，， 所以， 得，即， 又，所以. 则当时， ， 进而. 故答案为：. 【考点2】平面向量的内积及两向量垂直、共线 21．已知向量 ，且 ，则 的值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量线性运算的坐标表示求出，再根据向量垂直的坐标表示可求解. 【详解】由题意得： ， 由 ，得 ，解得 . 故选：C 22．已知向量，，，若与垂直，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合平面向量线性运算的坐标表示求出的坐标，利用平面向量垂直列出方程即可得解. 【详解】向量，，， ， 因为与垂直，则， 解得. 故选：. 23．已知向量，，，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量垂直和线性运算的坐标表示即可得解. 【详解】由向量，，可知 ， 又， 故，解得. 故选：A. 24．已知向量，，，若，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．16 【答案】C 【分析】根据题意结合平面线性运算的坐标表示及平行的性质列出方程即可得解. 【详解】向量，，， 则，因为， 所以，解得， 故选：. 25．已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量垂直的坐标表示，先求出x，再根据向量线性运算的坐标表示即可求解． 【详解】因为向量，，且， 所以，解得， 所以． 故选：A 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年湖南省对口招生《数学必刷题》 专题15 平面向量 1、 【考点导读】 1.理解平面向量的加、减、数乘运算。 2.理解平面向量的坐标表示。 3.理解平面向量的内积及两向量垂直、共线的充要条件。 4.能运用平面向量的知识解决有关实际问题。 二、【真题精练】 题型一、平面向量的运算及坐标表示 1（2024·湖南·真题T06）已知，，，则（　　） A. B. C. D. 2.（2022·湖南·真题T06）已知向量，，则（ ） A. B. C. 10 D. 25 3．（25-26高三下·湖南长沙·二模）已知在边长为4的正方形中，点为的中点，则（   ） A． B．4 C．12 D．6 4．（25-26高三上·湖南永州·一模）已知向量，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·湖南湘潭·一模）已知，，则（    ） A．6 B． C．18 D． 6．（24-25高三下·湖南常德·二模）已知平面向量的夹角为，且，则等于（   ） A． B． C．4 D．2 7．（25-26高三上·湖南·一模）已知向量，则__________. 8．（2021·湖南·真题T12）已知向量，，则___________ 题型二、平面向量的内积及两向量垂直、共线 9．（2024·湖南·真题T12）已知向量，，且，则实数_________． 10．（2025·湖南·真题T06）已知向量，，则与向量平行的向量可以是（ ） A. B. C. D. 11．（24-25高三下·湖南郴州·三模）已知向量，，．若三点共线，则（   ） A． B． C．11 D． 12．（25-26高三上·湖南·一模）已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高三下·湖南·模拟预测）已知，则实数________． 14．（25-26高三上·湖南·二模）已知向量，，若，则__________ 15．（24-25高三下·湖南·模拟预测）已知平面向量，则_______． 三、【考点演练】 【考点1】平面向量的运算及坐标表示 16．已知，则（    ） A． B． C． D． 17．已知：，则（   ） A． B． C． D． 18．如图所示，已知向量，，，则等于（   ） A． B． C． D． 19．在中，若，，，则______． 20．已知两个大小相等的向量，，当时，，则当时，________. 【考点2】平面向量的内积及两向量垂直、共线 21．已知向量 ，且 ，则 的值为 （    ） A． B． C． D． 22．已知向量，，，若与垂直，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 23．已知向量，，，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 24．已知向量，，，若，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．16 25．已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $