专题14 等比数列 - 2026年湖南省对口招生考试《数学必刷题》（原卷版+解析版）

2026年湖南省对口招生《数学必刷题》 专题14 等比数列 1、 【考点导读】 理解等比数列的定义、通项公式及前 n 项和公式。 二、【真题精练】 题型一、等比数列的定义、通项公式 1．（24-25高三下·湖南·模拟预测）将5，8，14三个数分别减去相同的常数m，所得的新数列成等比数列，则常数m的值为（   ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25高三下·湖南株洲·模拟预测）在等比数列中，已知，，那么等于（    ） A．6 B．8 C．10 D．32 3．（24-25高三下·湖南·二模）已知等比数列，它的前项和记为．若，，则（   ） A．27 B．39 C．81 D．120 4．（24-25高三下·湖南·模拟预测）已知数列的前项和，则通项公式_______． 5.（2022·湖南·真题T15）若数列满足，且，则数列的通项公式______. 6．（25-26高三下·湖南长沙·二模）如果，，，，成等比数列，那么（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·湖南·一模）在等比数列中，若，则公比（    ） A． B．2 C．3 D．8 题型二、等比数列的前 n 项和公式 8.（2025·湖南·真题T16）在等比数列中，，公比. （1）求； （2）设，求数列的前项的和. 9.（2024·湖南·真题T16）已知数列中，，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 10.（2023·湖南·真题T17）已知等比数列的公比，，且，，成等差数列． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 11.（2021·湖南·真题T16）已知各项为正数的等比数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 12．（25-26高三上·湖南·一模）已知等比数列中，，且公比.求： (1)数列的通项公式； (2)数列的前项的和. 13．（24-25高三下·湖南·模拟预测）已知在等比数列中，，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 14．（25-26高三上·湖南永州·一模）已知各项均为正数的等比数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前50项和. 15．（25-26高三下·湖南长沙·二模）已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)是否存在正整数，使得？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 三、【考点演练】 【考点1】等比数列的定义、通项公式 16．已知等比数列，，则（    ） A．3 B． C． D．12 17．在等比数列中的，，公比，则等于（    ） A．12 B．9 C．6 D．4 18．4，G，9是等比数列，则（    ） A．6 B．18 C． D． 19．已知为等比数列，，，则是（    ） A． B． C．32 D．16 20．数列中，，，，则______． 【考点2】等比数列的前 n 项和公式 21．已知数列{}是等比数列，前n项和为，，，数列{}是等差数列，，， (1)求数列的通项公式； (2)求数列{}的前10项和． 22．在等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)若，为数列的前n项和，求． 23．在等比数列中，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)是否存在这样的n，使得数列的前n项和？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由. 24．已知各项为正数的等比数列中，，. (1)求数列的通项公式. (2)已知，求数列的前10项和. 25．已知等比数列的公比，，且，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年湖南省对口招生《数学必刷题》 专题14 等比数列 1、 【考点导读】 理解等比数列的定义、通项公式及前 n 项和公式。 二、【真题精练】 题型一、等比数列的定义、通项公式 1．（24-25高三下·湖南·模拟预测）将5，8，14三个数分别减去相同的常数m，所得的新数列成等比数列，则常数m的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据等比数列的等比中项公式建立等式，即可求解参数. 【详解】因为将5，8，14三个数分别减去相同的常数m，所得的新数列成等比数列， 所以，可化为， 解得． 故选：D． 2．（24-25高三下·湖南株洲·模拟预测）在等比数列中，已知，，那么等于（    ） A．6 B．8 C．10 D．32 【答案】D 【分析】利用等比数列的通项公式即可得解. 【详解】因为在等比数列中，，， 所以公比为， 则. 故选：D. 3．（24-25高三下·湖南·二模）已知等比数列，它的前项和记为．若，，则（   ） A．27 B．39 C．81 D．120 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质得到构成一个等比数列，即可求解. 【详解】因为是等比数列， 所以也构成一个等比数列， 又，即后面的等比数列的公比为， 所以， 即， ， ， 故选：D. 4．（24-25高三下·湖南·模拟预测）已知数列的前项和，则通项公式_______． 【答案】 【分析】利用与之间的关系结合等比数列的通项，即可求解. 【详解】当时，，解得； 当时，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，通项公式为． 故答案为：. 5.（2022·湖南·真题T15）若数列满足，且，则数列的通项公式______. 【答案】 【解析】 【分析】利用构造法求解数列通项公式即可. 【详解】因为，所以， 又， 故数列是首项为2，公比为2的等比数列. 所以，则. 故答案为：. 6．（25-26高三下·湖南长沙·二模）如果，，，，成等比数列，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合等比数列的性质即可得解. 【详解】令， 则，解得或， 在等比数列中，奇数项的符号相同， 因为，为负数，所以，故错误； ，故错误，正确， 故选：. 7．（25-26高三上·湖南·一模）在等比数列中，若，则公比（    ） A． B．2 C．3 D．8 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式求解即可. 【详解】因为，所以，解得. 故选：B. 题型二、等比数列的前 n 项和公式 8.（2025·湖南·真题T16）在等比数列中，，公比. （1）求； （2）设，求数列的前项的和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合等比数列的通项公式，即可代入求解； （2）根据题意，先求出等比数列的通项公式，继而求得，易判断数列是等比数列，结合等比数列的前n项和公式，即可求解. 【小问1详解】 因为在等比数列中，，， 所以. 【小问2详解】 因为在等比数列中，，， 所以， 所以， 所以， 又，， 所以数列是首项为2，公比为2等比数列， 所以. 9.（2024·湖南·真题T16）已知数列中，，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由等差数列的定义结合通项公式即可求解. （2）根据等比数列的定义结合前项和公式即可求解. 【小问1详解】 由题意得，， 则等差数列，且， 所以. 即； 【小问2详解】 由题意得，， 则， 所以等比数列，且， 则． 10.（2023·湖南·真题T17）已知等比数列的公比，，且，，成等差数列． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的性质结合等差中项的公式即可求解； （2）根据题意可知为等比数列，进而可求前n项和． 【小问1详解】 已知等比数列的公比，，且，，成等差数列， 则有 因为，所以， 所以， 则的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）可知， 则，为的等比数列， 则有， 所以数列的前n项和. 11.（2021·湖南·真题T16）已知各项为正数的等比数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件结合等比数列的通项公式求出即可； （2）由，得知是等差数列，接着利用等差数列的求和公式求出答案即可. 【小问1详解】 且，， 【小问2详解】 12．（25-26高三上·湖南·一模）已知等比数列中，，且公比.求： (1)数列的通项公式； (2)数列的前项的和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式求解公比，再求解首项，由此可解； （2）根据等比数列的前n项和公式求解即可. 【详解】（1）因为等比数列中，且公比， 所以，整理得， 又，解得. 因为，解得， 所以. （2）由（1）及已知得数列是以3为首项，2为公比的等比数列， 所以数列的前项和. 13．（24-25高三下·湖南·模拟预测）已知在等比数列中，，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出等比数列的公比，再根据题目条件列等式求解即可. （2）首先求出数列的通项公式，再根据等差数列以及等比数列的前n项和公式求解即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为成等差数列， 所以， 所以， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）知， 所以 ． 14．（25-26高三上·湖南永州·一模）已知各项均为正数的等比数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前50项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式、前项和公式求解； （2）根据等差数列的定义及前项和公式求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为（）， 因为，所以， 即，得，解得或， 因为，所以， 则数列的通项公式. （2）由（1）知，所以， 则，， 所以数列是以为首项，公差的等差数列， 则. 15．（25-26高三下·湖南长沙·二模）已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)是否存在正整数，使得？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的最小值为11 【分析】（1）设等比数列的公比为，由等差中项得，化简为，从中求出，代入已知可得，据此可求解； （2）利用等比数列的求和公式，可得，讨论的奇偶性，据此可得解. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由成等差数列可知：， 即， 化简得：， 因为，所以，即. 由得：， 故数列的通项公式为； （2）因为，由（1）可得， 不等式可化为：，即， ①当为偶数时，，不符合题意； ②当为奇数时，可化为， 由于，， 故存在正整数，使得，此时的最小值为11. 三、【考点演练】 【考点1】等比数列的定义、通项公式 16．已知等比数列，，则（    ） A．3 B． C． D．12 【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式求解公比即可. 【详解】因为等比数列，， 所以，解得. 故选：C. 17．在等比数列中的，，公比，则等于（    ） A．12 B．9 C．6 D．4 【答案】D 【分析】利用等比数列的通项公式，结合整体法即可得解. 【详解】因为在等比数列中的，，公比， 所以. 故选：D. 18．4，G，9是等比数列，则（    ） A．6 B．18 C． D． 【答案】C 【分析】根据等比中项的定义求解. 【详解】由题可知，，解得. 故选：C. 19．已知为等比数列，，，则是（    ） A． B． C．32 D．16 【答案】D 【分析】由，求出等比数列的公比，进而求出即可. 【详解】已知为等比数列，设其公比为， 由且，所以， 故. 故选：D. 20．数列中，，，，则______． 【答案】 【分析】化简得到数列是等比数列并得到其通项，再根据错位相减法即可求值． 【详解】， ， 设，即， ，，所以， 数列是以为首项，公比为2的等比数列， ，， ， 即， ， 故答案为：． 【考点2】等比数列的前 n 项和公式 21．已知数列{}是等比数列，前n项和为，，，数列{}是等差数列，，， (1)求数列的通项公式； (2)求数列{}的前10项和． 【答案】(1) (2)145 【分析】（1）根据，，先求等比数列的和，再求通项公式. （2）根据，先求等差数列的和，再求前10项和. 【详解】（1）∵，, ∴, ∴, ∵数列{}是等比数列， ∴， 故数列的通项公式. （2）∵，, 又∵数列{}是等差数列， ∴， ∴数列{}的前项和. 22．在等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)若，为数列的前n项和，求． 【答案】(1)； (2)＝ 【分析】（1）根据已知两项列式求基本量，再求通项公式即可. （2）分组求和，代入等比数列和等差数列前项和公式求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则有，解得.                                                           所以数列的通项公式为＝，即 （2）由＝得                                         所以                                              ＝ ＝ ＝ 23．在等比数列中，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)是否存在这样的n，使得数列的前n项和？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，，理由见解析 【分析】（1）由，求出公比，再写出的通项公式即可. （2）假设存在，再由利用等比数列求和公式是否能求出即可. 【详解】（1）因为是等比数列， 由得， 即，解得. 因此，数列的通项公式为. （2）假设存在，使得数列的前项和. 因为， 所以由得， 即有，解得. 因此，存在，使得. 24．已知各项为正数的等比数列中，，. (1)求数列的通项公式. (2)已知，求数列的前10项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由和求出公比，代入等比数列的通项公式求解即可. （2）先求解的通项公式，再证明为等差数列，由等差数列前n项和公式求解即可. 【详解】（1）因为在各项为正数的等比数列中， ，，所以， 因为各项为正数，所以解得， 所以. （2）由（1）知，， 所以， 因为，， 所以数列是以0为首项，1为公差的等差数列， 所以. 25．已知等比数列的公比，，且，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的性质结合等差中项的公式即可求解； （2）根据题意可知为等比数列，进而可求前n项和． 【详解】（1）已知等比数列的公比，，且，，成等差数列， 则有 因为，所以， 所以， 则的通项公式为； （2）由（1）可知， 则，为的等比数列， 则有， 所以数列的前n项和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $