专题18 椭圆 - 2026年湖南省对口招生考试《数学必刷题》（原卷版+解析版）

2026年湖南省对口招生《数学必刷题》 专题18 椭圆 1、 【考点导读】 理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程和性质。 二、【真题精练】 题型一、椭圆的定义及标准方程 1．（24-25高三下·湖南·三模）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过的直线交C于A，B两点.若，则（    ）. A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25高三下·湖南常德·二模）已知椭圆的长轴在轴上，且焦距为，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·湖南永州·二模）已知点是椭圆的两个焦点，点是该椭圆上的一动点，则的值（   ） A．最小取4，最大取10 B．最小取4，最大取25 C．恒为10 D．最小取5 4．（24-25高三下·湖南株洲·模拟预测）已知，是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 5．（24-25高三下·湖南长沙·模拟预测）椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 6．（24-25高三下·湖南长沙·模拟预测）已知椭圆方程为，则焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三下·湖南株洲·模拟预测）椭圆的离心率为（   ）． A． B． C． D． 8．（22-23高三·湖南长沙·模拟预测）动点到，的距离之和为8，则的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 9．（22-23高三·湖南长沙·模拟预测）设，则方程表示（   ） A．圆 B．焦点在轴上的椭圆 C．双曲线 D．焦点在轴上的椭圆 题型二、椭圆的性质 10．（25-26高三下·湖南长沙·二模）已知椭圆的离心率为，焦距为．倾斜角为的直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于，两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)设坐标原点为，求的面积． 11．（25-26高三上·湖南·二模）已知椭圆的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为10，两个焦点之间的距离为6. (1)求椭圆的标准方程： (2)若椭圆的焦点在轴上，过椭圆右焦点作直线与椭圆交于两点，且满足向量，求线段的长. 12．（25-26高三上·湖南湘潭·一模）已知椭圆的离心率，且点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)若点，都在椭圆上，且中点在线段（不包括端点）上，求直线的斜率. 13．（25-26高三上·湖南·一模）已知椭圆C的一个焦点为点，离心率． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若点M是椭圆C上的一点，且与x轴平行，求点M的坐标． 14．（25-26高三上·湖南郴州·一模）已知椭圆的离心率为，长轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)已知过点且斜率为1的直线与椭圆相交于两点，求弦长. 15．（24-25高三下·湖南·模拟预测）已知A，B分别是椭圆的左、右顶点，G为C的上顶点，. (1)求椭圆C的方程； (2)直线与椭圆C相交于P，Q两点，若，求m的值. 三、【考点演练】 【考点1】椭圆的定义及标准方程 16．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．已知椭圆，若长轴长为8，离心率为，则此椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 18．焦点在轴上，且，的椭圆的标准方程为（ ） A． B．或 C．或 D． 19． P是椭圆上一点，,是该椭圆的两个焦点，且，则（ ） A．1 B．3 C．5 D．9 20．已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【考点2】椭圆的性质 21．已知椭圆C：（）的离心率，且点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)若倾斜角为的直线l与椭圆C相交于A，B两点，其中A为椭圆C的上顶点，求的大小. 22．已知椭圆：过点，且离心率为． (1)求椭圆标准方程. (2)设直线与椭圆交于、两个不同的点，为坐标原点，若，求实数的值. 23．若椭圆的上、下焦点分别是，，右顶点是，且的周长为，离心率等于. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于A，B两点，且，求直线的方程. 24．已知椭圆的离心率为，且短轴长为. (1)求的方程； (2)若直线与交于，两点，且弦的中点为，求的一般式方程. 25．已知椭圆的离心率. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线与椭圆C相交于A，B两点，且中点的横坐标为1，求k的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年湖南省对口招生《数学必刷题》 专题18 椭圆 1、 【考点导读】 理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程和性质。 二、【真题精练】 题型一、椭圆的定义及标准方程 1．（24-25高三下·湖南·三模）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过的直线交C于A，B两点.若，则（    ）. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先根据椭圆离心率得到，结合椭圆内的定义和直角三角形勾股定理，建立等式得到和，即可解得. 【详解】设，，，，    因为离心率为，则， 由，得，即， 可化为，代入得到， 即，解得，则，， 又，所以， 则，即， 解得，即，所以. 故选：B. 2．（24-25高三下·湖南常德·二模）已知椭圆的长轴在轴上，且焦距为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的性质即可得解． 【详解】因为椭圆的长轴在轴上，所以， 解得，又焦距为，所以，解得. 故选：A． 3．（24-25高三下·湖南永州·二模）已知点是椭圆的两个焦点，点是该椭圆上的一动点，则的值（   ） A．最小取4，最大取10 B．最小取4，最大取25 C．恒为10 D．最小取5 【答案】A 【分析】根据题意，可作点关于原点的对称点为，结合椭圆的对称性可知在椭圆上，继而得到，故，，结合椭圆的方程求出a和b的值，即可求解. 【详解】 由题意，设点关于原点的对称点为，由椭圆的对称性可知，在椭圆上， 因为椭圆方程为，所以，， 由向量加法的平行四边形法则得， 则，， 即. 故选：A． 4．（24-25高三下·湖南株洲·模拟预测）已知，是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【分析】根据椭圆方程求得，再由椭圆的定义可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】由椭圆可得，所以， 因为点在上，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，最大值为. 故选：C. 5．（24-25高三下·湖南长沙·模拟预测）椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】A 【分析】根据椭圆的方程得到，再根据椭圆的定义即可求解. 【详解】因为椭圆，所以， 所以椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是. 故选：A. 6．（24-25高三下·湖南长沙·模拟预测）已知椭圆方程为，则焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合椭圆的标准方程，即可确定焦点的位置，并可求出c的值，继而求解. 【详解】因为椭圆方程为， 所以焦点在x轴上，且， 所以焦点坐标为. 故选：C. 7．（24-25高三下·湖南株洲·模拟预测）椭圆的离心率为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆方程求出，根据椭圆的离心率公式求解. 【详解】椭圆中，， 则，， 所以椭圆的离心率为. 故选：A. 8．（22-23高三·湖南长沙·模拟预测）动点到，的距离之和为8，则的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合椭圆的定义可得点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，，即可求解 【详解】因为动点到，的距离之和为8，又， 所以点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，， 则，，则的轨迹方程是. 故选：B. 9．（22-23高三·湖南长沙·模拟预测）设，则方程表示（   ） A．圆 B．焦点在轴上的椭圆 C．双曲线 D．焦点在轴上的椭圆 【答案】B 【分析】根据椭圆和双曲线的标准方程形式，结合的取值范围判断与的大小关系，进而确定方程所表示的曲线. 【详解】， ， 方程表示焦点在轴上的椭圆， 故选：B． 题型二、椭圆的性质 10．（25-26高三下·湖南长沙·二模）已知椭圆的离心率为，焦距为．倾斜角为的直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于，两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)设坐标原点为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由离心率公式及焦距的定义，求出的值，进而得，据此可得解； （2）由点斜式写出直线的方程，与椭圆方程联立，消元后，利用韦达定理求出，再由点到直线的距离可出的高，据此可得解. 【详解】（1）由题可知，椭圆的焦点在轴上， 不妨设椭圆的标准方程为， 则， 所以. 故椭圆的标准方程为； （2）因为直线的倾斜角为，且经过椭圆的左焦点， 所以直线的方程为，即. 设点， 由可得：， 则，， 所以. 因为点到直线的距离， 所以的面积. 11．（25-26高三上·湖南·二模）已知椭圆的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为10，两个焦点之间的距离为6. (1)求椭圆的标准方程： (2)若椭圆的焦点在轴上，过椭圆右焦点作直线与椭圆交于两点，且满足向量，求线段的长. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解. （2）根据椭圆的标准方程求焦点，结合两点间距离公式即可求解. 【详解】（1）因为椭圆上一点到两个焦点的距离之和为10，两个焦点之间的距离为6， 所以，解得，则， 所以椭圆的标准方程为或. （2）因为椭圆焦点在轴上，故椭圆方程为，则右焦点的坐标为. 因为，所以是线段的中点， 由椭圆的轴对称性可得，线段垂直于轴， 即直线垂直于轴，所以直线方程为. 令，则. 所以线段的长度为. 12．（25-26高三上·湖南湘潭·一模）已知椭圆的离心率，且点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)若点，都在椭圆上，且中点在线段（不包括端点）上，求直线的斜率. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据离心率公式将椭圆方程进行化简，再将点代入椭圆方程中即可得解. （）先求出直线的方程，根据题意设出点的坐标代入椭圆方程中，将两式子相减，结合斜率公式及中点坐标公式即可得解. 【详解】（1）椭圆的离心率， 则， 因为，则， 所以椭圆方程可以为， 将点代入椭圆方程中得，解得， 则，所以椭圆方程为. （2）设直线的方程为， 将点代入方程中得，解得， 所以直线方程为， 设，则， 因为点在椭圆上，则， 所以直线的斜率为， 因为点在直线（不包括端点）上，所以， 则， 所以直线的斜率为. 13．（25-26高三上·湖南·一模）已知椭圆C的一个焦点为点，离心率． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若点M是椭圆C上的一点，且与x轴平行，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，结合椭圆的离心率和焦点坐标，求得c和a的值，继而求得，即可求得标准方程； （2）根据题意，可设出点M的坐标，代入椭圆标准方程，即可求解. 【详解】（1）因为焦点在轴上，所以， 由离心率得，， 因此，椭圆C的标准方程为． （2）    由于与轴平行，且焦点，所以点的纵坐标为3， 不妨设点，将其代入椭圆C的标准方程得，解得, 因此，点的坐标为或． 14．（25-26高三上·湖南郴州·一模）已知椭圆的离心率为，长轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)已知过点且斜率为1的直线与椭圆相交于两点，求弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆的离心率和长轴长列方程求出，即可写出椭圆方程； （2）先写出直线的方程，再与椭圆方程联立，结合韦达定理和弦长公式求解即可. 【详解】（1）椭圆的离心率为，长轴长为4， 可得，即， ，即， 因此椭圆C的方程为：. （2）依题意得直线的方程为： 由，得， 设，则， 所以. 15．（24-25高三下·湖南·模拟预测）已知A，B分别是椭圆的左、右顶点，G为C的上顶点，. (1)求椭圆C的方程； (2)直线与椭圆C相交于P，Q两点，若，求m的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆方程可得的坐标，从而得到，再根据列出方程即可得到，代入椭圆方程即可求解. （2）将直线l和椭圆方程联立，整理后通过韦达定理求得和，再根据直线方程得到，再根据得到，代入和计算即可求解. 【详解】（1）因为椭圆， 所以， 所以. 因为， 所以，即， 所以椭圆的方程为. （2）联立方程得，整理得， 设，由韦达定理可得， 所以. 因为，且， 所以， 即，解得，当时，，符合条件. 故m的值为. 三、【考点演练】 【考点1】椭圆的定义及标准方程 16．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二元二次方程表示椭圆标准方程的性质即可得解. 【详解】方程表示焦点在轴上的椭圆， ，即，解得， 故选：D. 17．已知椭圆，若长轴长为8，离心率为，则此椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆长轴长求，再由离心率求，根据关系求，即可得到椭圆方程. 【详解】易知椭圆焦点在轴上， 且长轴长，即， 离心率，则， ， 故椭圆的标准方程为：. 故选：D. 18．焦点在轴上，且，的椭圆的标准方程为（ ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】根据直接写出椭圆的标准方程即可. 【详解】焦点在轴上，且，的椭圆的标准方程为. 故选：D. 19． P是椭圆上一点，,是该椭圆的两个焦点，且，则（ ） A．1 B．3 C．5 D．9 【答案】A 【分析】根据题意，先转化成椭圆的标准方程，结合椭圆的定义，即可求解. 【详解】对椭圆方程，转化成标准方程得， 所以椭圆长半轴的长为， 由椭圆的定义可得， 又， 故， 故选：A. 20．已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】由椭圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆可知，椭圆上点到椭圆两个焦点的距离之和为， 而点到椭圆一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离是7. 故选：A. 【考点2】椭圆的性质 21．已知椭圆C：（）的离心率，且点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)若倾斜角为的直线l与椭圆C相交于A，B两点，其中A为椭圆C的上顶点，求的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的离心率公式以及椭圆上一点的坐标满足椭圆方程，联立方程组可求出的值，进而得到椭圆方程. （2）先根据直线的倾斜角求出直线方程，然后与椭圆方程联立，求出点坐标，利用两点间距离公式求出. 【详解】（1）因为， 所以可设，， 则. 又因为椭圆经过点， 所以，解得. 因此，椭圆的方程是. （2）因为直线经过椭圆的上顶点，且直线的斜率， 所以直线的方程为. 把代入可得或 因此，点的坐标为，. 22．已知椭圆：过点，且离心率为． (1)求椭圆标准方程. (2)设直线与椭圆交于、两个不同的点，为坐标原点，若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】()利用该椭圆过的点并结合离心率即可求解. ()将直线与椭圆联立得出新的方程，之后利用韦达定理即可求解. 【详解】（1）因为椭圆：过点，离心率， 所以，解得， 所以椭圆标准方程为：. （2）将直线方程与椭圆方程联立： 得， 设，所以，， 因为，，又， 所以，即， 代入，可化为， 解得， 又因为直线与椭圆有两个不同交点，所以，代入，验证满足条件， 故. 23．若椭圆的上、下焦点分别是，，右顶点是，且的周长为，离心率等于. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于A，B两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意得到，，，即的周长为，再结合离心率，得到，即可求解. （2）设直线方程和交点坐标，联立直线方程与椭圆方程，得到和，再结合，即可求解. 【详解】（1）椭圆的上、下焦点分别是，，右顶点是，， 所以的周长为， 又离心率，即， 解得， 所以椭圆的标准方程为 （2）过点的直线与椭圆交于A，B两点，，点为椭圆外轴上的一点，显然直线的斜率存在且不为， 设，直线方程为，即， 联立方程组， 消去得到，则， 消除得到，则， 又因为，即，，所以， 所以，即，解得， 得到直线方程为或， 故直线方程为或. 24．已知椭圆的离心率为，且短轴长为. (1)求的方程； (2)若直线与交于，两点，且弦的中点为，求的一般式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的离心率和短轴即可求解椭圆的方程. （2）由弦的中点结合点差法求解直线斜率，再由点斜式方程即可求解. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以， 短轴长为，所以，即， 又因为，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）设，，直线斜率为k， 则，两式相减，得， 又因为弦的中点为， 又根据题意， 代入上式可得， 所以的斜率， 故的方程为，即. 25．已知椭圆的离心率. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线与椭圆C相交于A，B两点，且中点的横坐标为1，求k的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据b和离心率计算a的值，进而得出标准方程即可. （2）先设出A，B两点，可得，联立求解，再通过判别式求解即可. 【详解】（1）椭圆：中， ，. ，，解得：， 椭圆的方程为. （2）设， 则中点的横坐标为，可得， 联立，则.， 因为， ，即，解得：或. 综上所述，或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $