数学期中复习讲义（指数与对数函数）（高教版）-2025-2026学年高一下学期《期中考点大串讲》

编写说明：2025-2026学年高一下学期《数学期中考点大串讲》以《数学 基础模块下册》（高教版）教材章内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考真题题型，包括复习讲义和模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期中复习解决方案。 本专题是2025-2026学年高一下学期《数学期中考点大串讲》（高教版）的期中复习讲义第一部分《指数与对数函数》。 2025-2026学年高一下学期《数学期中考点大串讲》 期中复习讲义—指数与对数函数 核心考点 复习目标 考情规律 分数指数幂；实数指数幂的运算 化简求值；简单的根式与指数混合运算 必考考点，直接考查（主要形式）；间接考查（结合型）在求指数型函数的定义域、值域，或代入分段函数求值时，最后一步通常需要进行指数幂的运算 指数函数图象与性质 掌握两类图象的基本特征；掌握指数函数的单调性；会比较指数幂的大小；会解简单的指数不等式 重难必考点，出现在选择题、填空题、解答题中，比较大小更常见且出现在选择题、填空题中 对数的定义 准确理解对数的定义；掌握对数的基本符号；掌握对数成立的条件；指数式与对数式的互化；求对数值 常考考点，直接考查（主要形式），题目直接给出对数式或指数式，要求互化或求值；间接考查（结合型），融入分段函数：求分段函数值时，最后一步需要进行对数运算 对数的运算法则 能正确进行集对数式的化简、求值：换底公式的应用；解对数方程 重难必考点，运算法则的直接运用；根换底公式的应用；指数式与对数式互化中的运算 对数函数的图象和性质 求对数型函数的定义域；比较对数的大小；解简单的对数不等式；图象识别与变换 重难必考点，出现在选择题、填空题、解答题中，求对数型函数的定义域；比较对数的大小是必考点；解简单的对数不等式；图象识别与变换是常考考点 第5章 集合 知识点1 指数幂 1．指数与指数运算 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ①＝ ②()n＝a(注意a必须使有意义)． 2．分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂是＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (2)正数的负分数指数幂是a -＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (3)0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义． 3．实数指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r、s∈R)； (2)(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈R)； (3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)． 知识点2 指数函数 1.　指数函数定义 函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R． 2.指数函数图象与性质 指数函数的概念、图象和性质 定义 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为增函数 函数在定义域R上为减函数 知识点3 对数 1.对数的定义 如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2. 指数式与对数式的互化 3. 常用对数和自然对数 以10为底的对数叫作常用对数,并把记作lg_N.以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数,并且把记为ln_N. 4.对数的性质： ①loga1＝0； ②logaa＝1(其中a>0且a≠1)． 5.对数恒等式： alogaN＝N．(其中a>0且a≠1，N>0) 6.对数的换底公式： logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0)． 7.对数的运算法则： 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)． 知识点4 对数函数 1. 对数函数的定义 函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)． 2. 对数函数的图象和性质 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：(－∞，＋∞) 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当0＜x＜1时，y<0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数 1．（23-24高一下·广东深圳·期中）计算的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 2．（25-26高一下·湖北·期中）下列幂的运算规则应用正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·江苏·期中）已知指数函数，若，则的表达式是（   ） A． B． C． D． 4．（22-23高一五·浙江台州·期末）函数的定义域是______. 5．（24-25高一下·陕西·期中）已知，，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·陕西·期末）不等式的解集是（   ）． A． B． C． D． 7．（24-25高一下·重庆·期中）设，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·湖南衡阳·期中）（   ） A．5 B．7 C．27 D．10 9．（24-25高一下·山东济宁·阶段练习）（    ） A．3 B． C．2 D． 10．（23-24高一上·浙江湖州·期中）方程的解为_______________. 答案 1．A 【分析】根据指数的运算规律求解即可. 【详解】分别计算各项： 根据指数运算法则，所以 ； ； 任何非零数的0次方为1，所以. 求和：. 故选： A. 2．B 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算性质即可解得. 【详解】选项A：，错误. 选项B：，错误 选项C：，错误 选项D：，正确 故选：D. 3．【答案】A 【分析】将代入解析式中求出的值即可. 【详解】已知指数函数， 由，得， 因为，所以， 则的表达式是， 故选：A. 4．【答案】 【解析】 【分析】根据偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，对数的真数大于0，列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则有，即， 其中，解得或， 所以，解得或， 所以函数的定义域是， 故答案为：. 5．【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】∵在上单调递减， ∴，，又， ∴. 故选：C. 6．【答案】B 【分析】根据指数函数单调性进行求解即可解得. 【详解】由题，， 又知在上单调递增， 则，解得， 所求不等式的解集为. 故选：B 7．【答案】C 【分析】根据题意，结合指数式与对数式的互化，及换底公式，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 8．B 【分析】根据题意，结合指数的运算与对数的运算，即可求解. 【详解】因为. 故选：B. 9．C 【分析】逆用换底公式化简求值即可. 【详解】， 故选：C. 10．【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的运算公式即可求解. 【详解】由题意可知， ， 故答案为： 题型一 指数幂 【典例1】（25-26高一上·河北保定·月考）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实数指数幂的运算法则可判断结果. 【详解】对A选项，，故错误； 对B选项，，故错误； 对C选项，，故正确； 对D选项，，故错误. 故选：C 【典例2】（22-23高一下·河北邢台·期末）计算（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂与根式的转化，及指数幂的运算即可得解. 【详解】, 故选：. 解｜题｜技｜巧 1．化同底数——万法归宗． 2．负指数变倒数——化繁为简． 3．分数指数幂——“先开后乘”更稳妥 4．根式化指数——打通运算壁垒 5．整体代换——避免“小括号陷阱” 【变式1】（14-15高三·河北·模拟预测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025高三·河北·专题练习）的化简结果为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 答案 1、【答案】D 【分析】根据指数幂的运算逐个计算即可. 【详解】，故A错误. ，故B错误. ，故C错误. ，故D正确. 故选：D. 2、【答案】B 【分析】先将根式化为分数指数幂，再根据指数幂的运算性质计算即可. 【详解】. 故选：B. 题型二 指数函数概念 【典例1】（2024高三·专题练习）若指数函数的图象过点，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出解析式，将点代入，求出解析式. 【详解】设（且），则， 解得，故. 故选：D 【典例2】（24-25高三下·河北·模拟预测）函数（且）与在同一直角坐标系中的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数和指数函数的性质可判断结果. 【详解】因为一次函数的，所以函数单调递减，故排除选项C和D； 由于中，即图像与y轴交点坐标为， 对A选项，由一次函数图像可知，所以指数函数单调递增，符合要求，故正确； 对B选项，由一次函数图像可知，所以指数函数单调递减，不符合要求，故错误. 故选：A 【典例3】（2025高三·河北·专题练习）函数（且）的图像恒过定点（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合指数函数恒过定点问题，令，求得x的值及对应的函数值，即可求解. 【详解】因为函数（且）， 令，则，， 所以该函数恒过定点. 故选：B. 解｜题｜技｜巧 1．准确识别指数函数——抓“三要素” 核心标准：指数函数必须同时满足三个条件： 底数： 且  指数：自变量  必须在指数位置上 系数： 前面的系数必须为 1 2．指数型函数过定点——指数归零． 【变式1】（24-25高一上·河北石家庄·月考）下列各函数中，为指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三上·河北·期中）函数的图像为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（21-22高一下·全国·单元测试）函数且的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 答案 1、【答案】B 【分析】由指数函数的定义判断即可. 【详解】形如且的函数叫做指数函数， 对A：因为函数中，底数为，不符合指数函数的定义，故A项错误； 对B：因为函数满足如且，所以函数为指数函数，故B项正确； 对C：因为函数是幂函数，不是指数函数，故C项错误； 对D：函数不满足形如且的条件，故D项错误. 故选：B. 2、【答案】A 【分析】根据指数函数的性质即可得解. 【详解】函数是由基本指数函数向上平移 1 个单位得到的， 对于指数函数，底数，是单调递增的指数函数，过点； 所以函数单调递增，过点； 只有A选项符合题意. 故选：. 3、【答案】B 【分析】根据指数函数恒过定点问题即可求解. 【详解】因为在函数中，当时，恒有. 所以函数的图象恒过定点． 故选：B． 题型三 指数函数单调性 【典例1】（22-23高一下·河北邢台·期末）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数，二次函数和指数函数的单调性逐项分析即可. 【详解】A，一次函数定义域是R，， 所以在R上为减函数，故A错误， B，二次函数定义域是R，，图象开口向上， 所以在上为减函数，在上为增函数，故B错误， C，指数函数定义域是R，其中， 所以在R上为增函数，故C正确， D，指数函数定义域是R，其中， 所以在R上为减函数，故D错误， 故选：C. 【典例2】（22-23高三·河北石家庄·二模）下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合指数函数的单调性，即可判断求解. 【详解】因为函数在定义域实数R上单调递减， 所以，故选项A错误； 所以，故选项B错误； 因为函数在定义域实数R上单调递增， 所以，故选项C正确； 所以，故选项D错误； 故选：C. 【典例3】（20-21高三·浙江湖州·一模）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性建立一元一次不等式，即可求解. 【详解】对于函数在定义域上单调递减， 所以不等式中，， 解得，即. 故选：A. 解｜题｜技｜巧 1．利用指数函数概念判断单调性，比较幂的大小 2．指数型函数定义域——底数无关看整体． 【变式1】（22-23高三·河北·二模）在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式3】（22-23高一下·河南洛阳·期中）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 答案 1、【答案】D 【分析】根据函数的单调性逐项判断即可. 【详解】选项A：由反比例函数的性质可知在区间上单调递减，错误. 选项B：指数函数在区间上为减函数，错误. 选项C：的图像开口向下，对称轴为，故在区间上为减函数，错误. 选项D：指数函数在区间上为增函数，正确. 故选：D. 2、【答案】A 【分析】根据指数函数单调性即可解得. 【详解】由指数函数的单调性可知，在上单调递增， 所以. 故选：A. 3、【答案】C 【分析】根据偶次根式的被开方数为非负数，列不等式，利用指数函数的单调性可求解. 【详解】由，可得， 解得. 故函数定义域为. 故选：C 题型四 对数概念、对数运算 【典例1】（2025高三·河北·专题练习）若，则（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】D 【分析】对数式转化为指数式即可. 【详解】， . 故选：D. 【典例2】（21-22高一下·全国·单元测试）的值为（    ） A． B．5 C． D．13 【答案】B 【分析】根据对数运算法则与分数指数幂的化简方法，即可求解. 【详解】原式. 故选：B. 【典例3】（25-26高三下·山东济南·一模）若，则实数（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】利用换底公式及对数式与指数式的关系求解. 【详解】 已知，即， 即，解得. 故选：D. 解｜题｜技｜巧 1．指数式与对数式互化——抓住“底不变”． 2．求对数值——转化为指数方程． 3. 正用运算法则——化积为和、化商为差、化幂为积 4. 换底公式——统一底数 【变式1】（2020高三·贵州·学业考试）已知，将它转化为对数形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（12-13高三·河北石家庄·自主招生）（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式3】（25-26高三上·山东临沂·期末）计算的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．8 答案 1、【答案】A 【分析】根据对数的定义求解. 【详解】根据对数的定义可知，若，则. 故，将转化成对数形式，为. 故选：A. 2、【答案】B 【分析】根据对数和指数幂的运算性质即可解得 【详解】 . 故选：B. 3、【答案】B 【答案】C 【分析】根据对数运算性质易得答案. 【详解】. 故选：C. 题型五 对数函数 【典例1】（24-25高三下·河北·模拟预测）当时，在同一坐标系中函数与的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性结合图像可判断. 【详解】，则，，且过， 则过为减函数，则过为减函数，符合题意， ，则过为增函数，符合题意， 综上符合题意； 故选：. 【典例2】（22-23高一下·河北石家庄·阶段练习）函数（且）的图像恒过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的图像和性质即可得解. 【详解】依题意，令，即， 此时， 故函数的图像恒过点. 故选：D. 解｜题｜技｜巧 1.．图象识别与变换——抓住关键点，根据图象判断底数大小，或识别变换后的图象 2.．对数型函数过定点——真数为1 【变式1】（24-25高三上·广东·阶段练习）若，则函数与的大致图像是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2】（25-26高一下·安徽·单元测试）函数过定点（   ） A． B． C． D． 答案 1、【答案】D 【分析】根据指数函数与对数函数图像即可得解. 【详解】∵，∴， 则在其定义域内是增函数， 在其定义域内是减函数， 图像为    故选：. 2、【答案】A 【分析】根据对数函数的性质求解. 【详解】函数中，当时， 因此函数过定点. 故选：A. 题型六 对数函数单调性 【典例1】（22-23高三上·甘肃张掖·模拟预测）下列函数在上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一次函数、对数函数、指数函数与二次函数的性质逐一分析判断即可. 【详解】对于A，在上是减函数，故A错误； 对于B，的定义域为，故B错误； 对于C，在上是增函数，故C正确； 对于D，在上是减函数，故D错误. 故选：C. 【典例2】（2025高三·河北·专题练习）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性比较大小可得答案. 【详解】因为， ， 所以. 故选：D. 【典例3】（25-26高三上·河北·二模）若，则满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数单调性解不等式即可. 【详解】因为在上单调递增， 所以由可得， 解得或. 故不等式解集为：. 故选：A. 【典例4】（24-25高三上·湖北十堰·阶段练习）函数的定义域用区间表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分式分母不为、二次根式根号下的式子大于等于，的次幂无意义，对数的真数部分大于列式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则，解得且， 因此函数的定义域用区间表示为. 故选：A. 解｜题｜技｜巧 1.．求定义域——真数大于零 2. 比较对数大小——单调性是核心 3．解对数不等式——定义域+单调性 【变式1】（23-24高二上·广东惠州·期中）函数（    ） A．在区间内是增函数 B．在区间内是增函数 C．在区间内是减函数 D．在区间内是减函数 【变式2】（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）已知，则的大小关系正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式3】（2025高二下·福建·学业考试）已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（22-23高三·山东·模拟预测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 答案 1、【答案】A 【分析】利用对数函数的性质即可得解. 【详解】对于，它是对数函数，定义域为，底数为， 而，所以在区间内是增函数. 故选：A. 2、【答案】B 【分析】由对数函数的单调性及与临界值“1”，“0”的比较即可得解. 【详解】因为对数函数在上单调递增， 所以，而， 所以. 故选：B. 3、【答案】C 【分析】利用对数函数的定义域与单调性即可得解. 【详解】因为在上单调递增，又， 所以，即的取值范围为. 故选：C. 4、【答案】A 【分析】由根式的被开方数大于等于0，对数的真数大于0求解即可. 【详解】因为函数为， 所以，即， 所以，所以， 故函数的定义域是. 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $