精品解析：江西2026年“三校生”对口升学第一次模拟考试数学试卷

绝密★启用前 江西省2026年“三校生”对口升学第一次模拟考试试题 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分，考试用时120分钟． 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如须改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 第Ⅰ卷 选择题 一、是非选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．对每小题的命题作出判断，对的写正确，错的写错误） 1. ．（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性分析判断. 【详解】指数函数在上单调递增， 因为，所以， 又， 所以， 故答案为：正确. 2. 原点到直线的距离为．（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式可求解. 【详解】将直线化为一般式为， 所以原点到直线的距离. 故答案为：正确 3. 抛物线的准线方程为．（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据抛物线标准方程的结构特征和的值，直接写出准线方程. 【详解】因为抛物线的开口向下，且， 所以，准线方程为. 故答案为：错误 4. 在等比数列中，，，则.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据等比数列的性质即可求解. 【详解】由等比数列的性质有：，则. 故答案为：错误. 5. 若集合，则．（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】先解含绝对值不等式和指数不等式，再根据并集的概念求解即可. 【详解】不等式可化为或，解得或， 指数函数在定义域上单调递增，即不等式解得， 所以集合或，集合， 得到. 故答案为：正确. 6. 函数的最小正周期是．（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】先利用二倍角公式对函数进行化简，再根据余弦函数的性质确定其最小正周期. 【详解】函数， 所以最小正周期， 故答案为：错误. 7. 若（a，b，c），则．（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质来判断给定不等式是否成立. 【详解】已知，将不等式两边同时减去， 根据不等式的基本性质可得， 故答案为：正确. 8. 已知函数若，则或1．（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据自变量的取值范围选择对应的函数表达式进行求解. 【详解】当时：此时函数， 已知，则，即， 所以，满足这个条件， 当时：此时函数， 已知，则，即， 因为指数函数的值域是，所以方程无解， 综上，，所以该命题错误， 故答案为：错误. 9. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，则点数和为5的概率为．（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】先求得基本事件的总数和点数和为5的事件数，由古典概率的计算公式即可判断． 【详解】一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次， 可得基本事件的总数为种， 而点数和为5的事件为，共4种， 则点数和为5的概率为． 故答案为：正确． 10. 若双曲线（）的一条渐近线为，则它的离心率为．（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】由双曲线的渐近线求双曲线的离心率即可判断. 【详解】∵双曲线的一条渐近线为， ∴，则离心率. 故答案为：正确. 二、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 11. 的集合共有（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 15个 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的包含关系分析求解即可. 【详解】因为， 所以满足题意的集合有 ， 共个， 故选：C. 12. 已知三棱锥的三条侧棱与底面所成角都相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的（ ）． A. 外心 B. 垂心 C. 内心 D. 重心 【答案】A 【解析】 【分析】令该三棱锥为，设点在底面的射影为，即底面，连接，，，由线面角的概念及已知，可得，据此可得结果. 【详解】令该三棱锥为，设点在底面的射影为，即底面，连接，，，如图所示： 由底面， 所以，，在平面的射影分别为，，， 所以分别是侧棱，，与平面所成的角， 所以， 在中，是公共边， 所以， 所以， 所以是的外心. 故选：A 13. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据二倍角公式得到，再利用诱导公式化简求值. 【详解】因为，所以， . 故选：D. 14. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意设出，结合复数的运算及复数的相等即可得解. 【详解】设，，则， 则由， 得， 得， 得，得 即， 故选：. 15. 已知都是第一象限的角，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】由充分必要条件和三角函数的性质即可得解. 【详解】因为都是第一象限的角，若， 但，所以“”推不出“”； 同理，“”推不出“”， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 16. 已知一个几何体的三视图及部分数据如图所示，该几何体的体积是（ ）． A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图判断出几何体的形状，再运用相应的体积公式进行计算. 【详解】由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，如图， 由题意，，, 则该三棱柱的体积， 故选：B. 17. 已知函数，且为奇函数．若，则（ ）． A. 4 B. 0 C. －8 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据得到，再由奇函数的性质得到，即可解得. 【详解】因为函数，且， 所以，即， 又为奇函数，所以， 即. 故选：B. 18. 已知的三个顶点坐标分别为，，，则为（ ）． A. 等腰三角形但不是等边三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形但不是等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】先根据两点间距离公式求出三角形三边的长度，再根据三边长度的关系判断三角形的形状. 【详解】设，，，可得： ， ， ， 因为，满足勾股定理， 所以是直角三角形， 又因为，所以不是等腰三角形， 故选：C. 第Ⅱ卷非选择题 三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 19. 不等式的解集是______（用区间表示）． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】不等式可化为， 解得， ∴不等式的解集为. 故答案为：. 20. 若圆锥的高为8，底面圆半径为6，则该圆锥侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出圆锥母线的长度，再利用圆锥侧面积公式进行计算. 【详解】已知圆锥的高、底面半径， 可得母线长， 所以圆锥的侧面积为， 故答案为：. 21. 直线被圆所截得的弦长为________. 【答案】 【解析】 【分析】首先确定圆的圆心和半径，进而计算所截弦长. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆心到直线距离为， 因此直线被圆所截的弦长为， 故答案为：. 22. 的展开式所有项的系数之和等于______． 【答案】 【解析】 【分析】利用赋值法求解. 【详解】令，可得：， 即的展开式所有项的系数之和等于. 故答案为：. 23. 平面向量与的方向相反，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用向量平行的坐标表示求得参数的值，再根据向量共线定理进行检验即可得解. 【详解】由题可得， ，解得， 当时，，，此时， 所以向量与的方向相同，不符合题意，舍去； 当时，，，此时， 所以向量与的方向相反，符合题意. 综上所述，. 故答案为： 24. 从1个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取1个球，记X为取得红球的次数，则X的期望值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项分布的期望计算公式求解即可. 【详解】从1个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取1个球， 则取到白球的概率为，取到红球的概率为， 且X服从二项分布，即， ∴. 故答案为：． 四、解答题（本大题共6小题，25－28小题每小题8分，29－30小题每小题9分，共50分．解答应写出过程或步骤） 25. 在等差数列中，是该数列的前项和，． （1）求数列的通项公式． （2）若，求的最小值． 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质联立方程组求得数列的首项和公差，再由等差数列通项公式即可解得； （2）根据第（1）问的结论求得数列的前项和公式，进而列出不等式，解一元二次不等式即可. 【小问1详解】 设等差数列首项为，公差为， 因为，即， 又因为，即， 联立方程组：， 解得：，， 所以通项公式为：． 【小问2详解】 因为，，， 所以前项和， 又因为，即， 解得：（舍）或， 所以最小正整数解为． 26. 已知函数（且）． （1）若，求实数a的值； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入函数的解析式即可得解； （2）由对数函数的性质即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以， 则，因此． 【小问2详解】 因为， 所以． 当时，则有，解得， 当时，则有，解得，故． 综上所述，a的取值范围是． 27. 如图，在中，，，D是AB上一点，且，. （1）的大小； （2）的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用三角函数的余弦定理和特殊角的三角函数值求解即可； （2）由（1）可知，再结合三角函数的正弦定理、两角差的正弦公式和三角形面积公式，分析求解即可. 【小问1详解】 因为，，， 所以， 又， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以； 因为， 所以； 因为， 所以 ， 所以. 28. 已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，离心率为，点在该椭圆上． （1）求椭圆C的标准方程； （2）椭圆C上是否存在一点P，满足？若不存在，说明理由；若存在，求P点坐标． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质和已知条件列出关于、、的方程组求解； （2）利用直线垂直的性质和点在椭圆上列方程组求解. 【小问1详解】 由得，则． 将点代入椭圆方程得， 解得，则． 所以椭圆C的标准方程为． 【小问2详解】 由（1）知，则，则焦点为，． 假设椭圆C上存在一点，满足，显然， 则解得． 表明这样的点P存在，P点坐标为． 29. 如图，在四棱锥中，已知底面是矩形，且平面．E，F分别是的中点． （1）求证：平面； （2）若平面与平面所成的角为，且，求． 【答案】（1）证明见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）证法1：取的中点H，连，可得，根据线面平行的判定理可证明结论； 证法2：连交于O，连，先证平面平面，据此可证明结论； （2）根据线面垂直的判定和性质，可得就是二面角的平面角，由证法1，在直角中，求即可得解. 【小问1详解】 证法1：取的中点H，连． 因为E，F分别是的中点， 则，， 所以是平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面． 证法2：连交于O，连， 因为E，F分别是的中点， 则，平面，平面， 平面，平面， 所以平面，平面． 又，所以平面平面. 又平面，故平面． 【小问2详解】 因为是矩形，则， 又平面，平面， 则，，平面， 所以平面． 因为平面，所以． 则就是二面角的平面角，即. 又平面，平面， 所以. 在直角中，，, 即为等边三角形， 由证法1，可得. 30. 某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案．拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）； （2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由； （3）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估算x的值，并说明理由． 【答案】（1）4.07（吨） （2）35.2（万人），理由见解析 （3）5.8吨，理由见解析 【解析】 【分析】（1）使用每组数据用该组区间中点值作为代表，再结合频率分布直方图中每组的频率来计算； （2）先从频率分布直方图中求出月均用水量不低于吨的频率，进而可估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数； （3）根据百分位数的概念求解. 【小问1详解】 该市居民用水的平均数为： （吨）． 【小问2详解】 居民月均用水量不低于吨的频率为 ， 该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数为（万人）． 【小问3详解】 居民月用水量不超过5吨的频率为， 居民月用水量不超过6吨的频率为． 由题意，解得（吨）． 综上所得，估算x的值为5.8吨． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 江西省2026年“三校生”对口升学第一次模拟考试试题 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分，考试用时120分钟． 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如须改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 第Ⅰ卷 选择题 一、是非选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．对每小题的命题作出判断，对的写正确，错的写错误） 1. ．（ ） 2. 原点到直线的距离为．（ ） 3. 抛物线的准线方程为．（ ） 4. 在等比数列中，，，则.（ ） 5. 若集合，则．（ ） 6. 函数的最小正周期是．（ ） 7. 若（a，b，c），则．（ ） 8. 已知函数若，则或1．（ ） 9. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，则点数和为5的概率为．（ ） 10. 若双曲线（）的一条渐近线为，则它的离心率为．（ ） 二、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 11. 的集合共有（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 15个 12. 已知三棱锥的三条侧棱与底面所成角都相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的（ ）． A. 外心 B. 垂心 C. 内心 D. 重心 13. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 14. 设，则（ ） A. B. C. D. 15. 已知都是第一象限的角，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 16. 已知一个几何体的三视图及部分数据如图所示，该几何体的体积是（ ）． A. 1 B. C. 2 D. 3 17. 已知函数，且为奇函数．若，则（ ）． A. 4 B. 0 C. －8 D. 8 18. 已知的三个顶点坐标分别为，，，则为（ ）． A. 等腰三角形但不是等边三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形但不是等腰三角形 D. 等腰直角三角形 第Ⅱ卷非选择题 三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 19. 不等式的解集是______（用区间表示）． 20. 若圆锥的高为8，底面圆半径为6，则该圆锥侧面积为______． 21. 直线被圆所截得的弦长为________. 22. 的展开式所有项的系数之和等于______． 23. 平面向量与的方向相反，则实数______． 24. 从1个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取1个球，记X为取得红球的次数，则X的期望值为______． 四、解答题（本大题共6小题，25－28小题每小题8分，29－30小题每小题9分，共50分．解答应写出过程或步骤） 25. 在等差数列中，是该数列的前项和，． （1）求数列的通项公式． （2）若，求的最小值． 26. 已知函数（且）． （1）若，求实数a的值； （2）若，求实数a的取值范围． 27. 如图，在中，，，D是AB上一点，且，. （1）的大小； （2）的面积. 28. 已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，离心率为，点在该椭圆上． （1）求椭圆C的标准方程； （2）椭圆C上是否存在一点P，满足？若不存在，说明理由；若存在，求P点坐标． 29. 如图，在四棱锥中，已知底面是矩形，且平面．E，F分别是的中点． （1）求证：平面； （2）若平面与平面所成的角为，且，求． 30. 某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案．拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）； （2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由； （3）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估算x的值，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $