6.3.1三元一次方程组及其解法—代入法 学案 2025-2026学年华东师大版七年级数学下册

第6章 二元一次方程 6.3.1三元一次方程组及其解法—代入法 ► 学习目标与重难点 学习目标：1.理解三元一次方程组的定义. 2.掌握三元一次方程组的解法,理解在解三元一次方程组的过程中化三元为二元的思路. 学习重点： 三元一次方程组的概念及代入法的具体步骤。 学习难点： 将代入法应用于三元一次方程组并准确求解。 ► 预习自测 一、知识链接 1. 解二元一次方程组有哪几种方法？ 回答： 解二元一次方程组的基本思路是什么？ 回答： 思考：若含有3个未知数的方程组如何求解？ 回答： 2、 自学自测 2.下列方程组不是三元一次方程组的是（ ） A． B． C． D． 3．下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ） A． B． C． D． ► 教学过程 一、创设情境、导入新课 问题 在 6.1 节中, 我们应用二元一次方程组, 求出了勇士队在 “我们的小世界杯” 足球赛第一轮比赛中胜与平的场数. 在第二轮比赛中, 勇士队参加了 10 场比赛, 按同样的计分规则, 共得 18 分. 已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和, 那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多少? 这个问题可以通过列出一元一次方程或二元一次方程组来解决. 小明同学提出了一个新的思路: 问题中有三个未知数, 如果设勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数分别为 ,又将怎样呢? 分别将已知条件直接 “翻译”, 列出方程, 并将它们写成方程组的形式, 得 根据以上内容，请问什么叫做三元一次方程呢？ 拓展： 下列方程中，哪些是三元一次方程？ A. 2x+3y−z=5 B. x2+y+z=7 C. 3x−y+2z=0 D. xy+z=4 E. x+y+z=10 思考：怎样解三元一次方程组呢? 回答： 二、合作交流、新知探究 探究一： 新知讲解 我们知道, 解二元一次方程组的基本思想是 “消元”: 消去一个未知数, 将方程组转化为一元一次方程求解. 方法有代入消元法和加减消元法. 对于三元一次方程组, 同样可以先消去某一个 (或两个) 未知数, 转化为二元一次方程组(或一元一次方程)求解. 注意到方程③中, 是用含 和 的代数式来表示的,把它分别代入方程 ①②,就可消去 ,得到 化归思想在这里进一步得到体现, 你体会到了吗? 这是一个关于 的二元一次方程组,解得 把 代入方程③,可以得到 . 所以这个三元一次方程组的解是 探究二：典例精析 例 1 解方程组: 解： 【强调】这里, 我们用的是代入消元法: 先由方程②, 用含有 的代数式表示 ,再分别代入方程①和③, 消去未知数 ,转化为只含有 的二元一次方程组求解. 能否先消去 (或 )? 怎么做? 比较一下, 哪个更简便? 三、课堂练习 【必做题】 1.下列方程组中是三元一次方程组的是(　　) A.　　　　　B. C. D. 2.方程组的解是　　　　.  3..解方程组：, 【选做题】2 4.若2a+5b+4c=0,3a+b-7c=0,则a+b-c的值是　　　.  5.解方程： . 【综合拓展练习】 6.解下列三元一次方程组. (1)(2) 4、 总结反思、拓展升华 本节课主要学习了三元一次方程组的概念以及利用代入法求解三元一次方程组的方法。三元一次方程组是指含有三个未知数，且每个未知数的次数都是1的方程组。 代入法解三元一次方程的步骤： 1. 确定方程组：明确给定的三元一次方程组，确定其中的三个未知数以及它们之间的等量关系。 2. 选取代入式：观察方程组，选取一个方程，通常选取一个未知数只出现一次的方程，将其变形为某个未知数的表达式（即解出一个未知数）。 3. 代入其他方程：将上一步得到的未知数的表达式代入到其他方程中，从而消去这个未知数，得到一个二元一次方程组。 4. 求解二元一次方程组：利用已知的二元一次方程组的解法，求解出剩下的两个未知数。 5. 回代求解：最后，将求得的两个未知数的值代入到最初选取的代入式中，求出第三个未知数的值。 检验解的正确性（可选）：将求得的三个未知数的值代入原方程组，检验是否满足所有方程，以确保解的正确性。 五、【作业布置】 【知识技能类作业】 必做题 1.解方程组时,若要使运算简便,消元时应 ( ) A.先消去x　　　　　　　　　　B.先消去y C.先消去z D.以上说法都不对 2．方程组的解是________． 3.解下列三元一次方程组: (1)　　　　　 (2) 【综合拓展类作业】选做题 4.(1)　　　　　　　(2) 答案 练习【必做题】 1.C 2. 3.解：由①+②得:3x-y=1④, 把④代入③得:1+2z=-5, 解得z=-3, 把z=-3代入①②得:, 解得, 则方程组的解为. 【选做题】 4.0 5.解：由(②-①)÷3得:x-y=3④, 由②+③得:2x+y=12⑤, 由⑤+④得:x=5, 将x=5代入④得:5-y=3, 解得y=2, 将x=5和y=2代入①得:5+2+z=7, 解得z=0, 则方程组的解为. 【综合拓展练习】 6.（1） (1)+(2)+(3)得：2x+2y+2z=18，即x+y+z=9 (4)。 (4)−(2)得：x=3。 (4)−(3)得：y=5。 (4)−(1)得：z=1。 . （2） (1)−(2)得：y−z=−3 (4)。 (2)×2−(1)得：2x+2y+4z−(2x+2y+z)=14−4，即3z=10，z=。 把z=​代入(4)得：y−=−3，y=。 把y=​，z=​代入(1)得：2x+2×+=4，2x+=4，2x+4=4，2x=0，x=0。 . 作业【知识技能类作业】 必做题 1.B 2. 3.(1) 由②得y=z+3，代入①得：x−2(z+3)=−9，即x−2z=−3 ④ ③−④得：2z+x−(x−2z)=47−(−3) 4z=50，z=12.5 y=12.5+3=15.5 x=−9+2×15.5=22 解得： (2) ②×2−③得：6x+2y+30z−(x+2y+3z)=36−2 5x+27z=34 ④ ①×3+④得：12x−27z+5x+27z=51+34 17x=85，x=5 z=​=​ y=2−5−3×​=−4 解得： 【综合拓展类作业】选做题 4.(1) ①+②+③得：2x+2y+2z=12，即x+y+z=6 ④ ④−②得：x=2 ④−③得：y=1 ④−①得：z=3 解得： (2) ①+②得：5x+2y=16 ④ ②+③得：3x+4y=18 ⑤ ④×2−⑤得：10x+4y−(3x+4y)=32−18 7x=14，x=2 y=3 z=1 解得： 学科网（北京）股份有限公司 $