专题04 正方形的性质和判定（六大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（苏科版）

专题04 正方形的性质和判定（六大题型） 【题型1 利用正方形的性质求角度】.................................................................................1 【题型2 根据正方形的性质求线段长】..............................................................................3 【题型3 正方形与折叠】....................................................................................................8 【题型4 添一条件使四边形是正方形】.............................................................................14 【题型5 正方形的判定】...................................................................................................17 【题型6 正方形的性质与判定综合】.................................................................................23 【题型1 利用正方形的性质求角度】 1．如图，在正方形的外侧作等边，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正方形和等边三角形的性质以及三角形内角和定理进行求解． 【详解】解：四边形为正方形， ，， 是等边三角形， ，， ，， ． 2．如图，正方形的对角线相交于点O，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四边形为正方形，得到，平分，即可求出． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，平分， ∴． 3．如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形，等边三角形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 首先由正方形的性质得到，，，然后由等边三角形的性质得到，，推出，，然后利用等腰三角形的性质求出，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∴． 故选：D． 4．如图，有一个和一个正方形，其中点在边上，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形和正方形的性质，由三角形内角和定理求出的度数是解决问题的关键.由平角的定义求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，再由平行四边形的同旁内角互补即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 故选：C． 【题型2 根据正方形的性质求线段长】 1．如图，在中，，分别以为边向外作正方形，正方形，连接，则的长为（   ） A．10 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，过点E作，交的延长线于点P，设交于点Q，则，，先由勾股定理求出，根据正方形性质得，，，证明，进而依据“”判定，则，进而依据“”判定，则，，然后在中，由勾股定理求出即可得出的长． 【详解】解：过点E作，交的延长线于点P，设交于点Q，如图所示： ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴，和都是直角三角形， 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故选：C． 2．亮亮用四根长度相等的木条制作了角度能够调整的菱形学具．他先将学具调整为图1所示的菱形，其中，然后调整为图2所示的正方形，此时对角线，则图1中菱形的对角线的长为（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形和菱形的性质以及勾股定理进行求解． 【详解】解：由正方形得，， ∴， 解得，（负值已舍）， 由菱形得，， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 3．如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G，若，，则的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】连接，旋转得到，三线合一得到垂直平分，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵正方形， ∴，， ∵将绕点A顺时针旋转到的位置， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， 设，则：，， 在中，， ∴， 解得：， ∴，故B选项正确． 4.如图，P是正方形的对角线上的一点，于点E，连接，若，，则点D到的距离为 ． 【答案】 【分析】如图所示，连接，过点P作交于点F，由勾股定理求出，然后得到，，证明出四边形是矩形，得到，设点D到的距离为h，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点P作交于点F， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴； 设点D到的距离为h， ∴， ∴， ∴， ∴点D到的距离为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，矩形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【题型3 正方形与折叠】 1．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，可得，在中，利用勾股定理可求出，根据翻折的性质得出，，，设，在中利用勾股定理可求出a值，即可得答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，如图，设与y轴交于点G，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点B坐标为， ∴， ∵将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：，则． 2．如图，正方形的边长为3，点E、F分别在边、上，将、分别沿、折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质以及勾股定理，由折叠的性质得出，设，再根据勾股定理得出，代入数值求解得出x的值，进而即可得出的值． 【详解】解：∵正方形纸片的边长为3， ∴， 根据折叠的性质得：， 设， 则，，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴， 故选B 3．将一张正方形纸片，按如图步骤①，②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠，掌握折叠的性质是关键．根据展开后的图形即可作出判断． 【详解】 解：根据图③的剪法，展开后所得图形为， 故选：B． 4．如图，先将正方形对折，折痕为，再沿折叠，使点C落在折痕上，记为点F，连接，已知正方形边长为2，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形与折叠问题．由正方形可得，由折叠的性质可得是线段的垂直平分线，推出，再由折叠的性质可得，即可得到． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得是线段的垂直平分线， ∴， 再由折叠的性质可得， ∴， 故选：C． 5．（2025·陕西西安·一模）如图，正方形的边长为6，将正方形折叠，使顶点D 落在边上的点E 处，折痕为．若点E恰好是的中点，则线段的长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据正方形的性质可得，再根据翻折的性质可得，设，从而可得，然后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】解：正方形的边长为6，点恰好是的中点， ， 由翻折的性质得：， 设，则， 在中，，即， 解得， 即， 故选：A． 6．（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，已知正方形纸片，M、N分别是、的中点，把边向上翻折，使点C恰好落在上的P点处，为折痕，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，折叠问题；取的中点E，连接，证明四边形为矩形，得出，根据直角三角形性质得出，证明为等边三角形，得出，即可得出结果． 【详解】解：取的中点E，连接，如图所示：    ∵四边形为正方形， ∴，，， 根据折叠的性质知：，， ∵M、N分别是、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故选：C． 【题型4 添一条件使四边形是正方形】 1．如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 根据正方形的判定逐个判定即可得到答案． 【详解】解：选项A、时不能判定矩形是正方形，故A不符合题意， 选项B、时，矩形是正方形，故B符合题意， 选项C、时不能判定矩形是正方形，故C不符合题意， 选项D、时不能判定矩形是正方形，故D不符合题意， 故选：B． 2．如图，在中，，垂足为．添加下列哪个条件，不能使成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形、菱形、正方形的判定定理，首先明确平行四边形、菱形、正方形的判定关系：平行四边形中，对角线互相垂直的是菱形；菱形要成为正方形，需满足有一个内角为直角或对角线相等．本题先由得出是菱形，再分析各选项能否让菱形变为正方形． 【详解】四边形是平行四边形，且， 是菱形． 若，菱形的对角线相等．根据“对角线相等的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故A不符合“不能使”的要求． 若，菱形的一个内角为直角．根据“有一个角是直角的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故B不符合“不能使”的要求． 若，是菱形的边，是对角线．仅“边与对角线相等”无法推出菱形有直角或对角线相等，因此不能保证菱形是正方形，故C符合“不能使”的要求． 若，因菱形对角线互相平分（，），则，，即．结合“对角线相等的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故D不符合“不能使”的要求． 故选C 3．如图，在矩形中，平分，平分，与交于点．点是矩形外一点，连接，，，添加下列条件后，可判定四边形为正方形的是（   ） A．， B．， C． D．， 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定定理，掌握正方形的判定条件是解题关键． 结合矩形的角和角平分线，先推导四边形的基础形状，再根据正方形的判定条件逐一分析选项． 【详解】解：已知四边形为矩形，且平分，平分． 故，， 可得，，是等腰直角三角形． 选项：由两边平行可得四边形为平行四边形， 再由可得四边形为菱形， 再由可得四边形为正方形，故选项正确； 选项：，，仅可得到，无法证明四边形为正方形，故选项错误； 选项：根据题意可知，故，无法判定正方形，故选项错误； 选项：，，仅能判断是等腰三角形，不能证明，无法判定正方形，故选项错误． 故选：． 4．如图，，是菱形的对角线，，是上两点，且，连接，，，，添加一个条件使四边形是正方形，这个条件可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质和判定，正方形的判定，由菱形的性质可得 ，进而可得，即可得四边形是菱形，再根据正方形的判定可知要使菱形为正方形，只需证明或即可，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：在菱形中，，，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 要使菱形为正方形，只需证明或即可， 当时，， 故选：． 【题型5 正方形的判定】 1．如图，在中，，D是边的中点，，，，垂足分别为E，F．求证：四边形是正方形． 【答案】详见解析 【分析】由题意易得四边形是矩形，然后通过证明得，进而问题可求解． 【详解】证明：，， ，． 又， 四边形是矩形． 是边的中点， ． ， ． 又， ， ， 四边形是正方形． 2．已知：如图，在中，，是的平分线，于点E，于点F．求证：四边形是正方形． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查了正方形、矩形的判定，角平分线的性质及等腰三角形的判定与性质．先根据已知条件得出，再由，利用三角形内角和定理得出，从而根据等腰三角形的判定可知，，证明出四边形是矩形，进而求得四边形是正方形． 【详解】证明：∵，是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． 3．如图，四边形中，，，，，作于点E，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是正方形； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)144 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，垂直的定义，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据垂直得出直角，证明四边形为矩形，利用证明，得出，即可得出结论； （2）借助（1）的结论得出四边形的面积等于正方形的面积，求出，即可求出面积． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：由（1）得四边形是正方形，且， ∴四边形的面积等于正方形的面积，， ∵，， ∴， ∴正方形的面积为， 即四边形的面积为144． 4．如图，在矩形中，和的角平分线交于点，和的角平分线交于点． (1)求证：； (2)试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是正方形，理由见解析 【分析】本题综合考查矩形性质、角平分线定义、三角形的判定及性质定理，菱形及正方形的判定定理． （）要证明两个三角形全等，可根据矩形的性质以及角平分线的定义，找出对应边和对应角相等，利用全等三角形的判定定理来证明； （）根据（）的信息，同理，进一步得到，再根据特殊四边形的判定定理来判断形状；四条边都相等的四边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形即可解答． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， 又∵和的角平分线交于点， ∴， 则， 同理：和的角平分线交于点， 则， 在和中， ， ∴； （2）四边形是正方形，理由如下： 由（）知， ∴是等腰直角三角形， 同理：是等腰直角三角形， ∴，， 同理， ∴， ∴， 即， 即四边形是菱形， 又∵， ∴菱形是正方形． 5．如图，四边形中，，于点E，旋转一定角度后能与重合，根据图形回答问题． (1)旋转中心是点________，旋转了________度； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)A，或； (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质以及旋转中心的确定，旋转角的确定，以及旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质． （1）根据图形确定旋转中心即可，对应边的夹角即为旋转角，再根据正方形的每一个角都是直角解答； （2）根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得的面积等于的面积，从而得到四边形的面积等于正方形的面积，然后求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，点A为旋转中心，在四边形中，， ∴， ∴，， 所以，逆时针旋转了或顺时针； 故答案为：A，或； （2）解：由旋转性质知，， ∴四边形是正方形， ∵旋转后能与重合， ∴， ∴， ∴四边形的面积=正方形的面积， ∵， ∴四边形的面积． 6．如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于点E，交于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关的知识是解题的关键． （1）先根据，判定四边形是矩形，再根据，即可得证； （2）先根据证明，得出，再根据正方形中，，即可得到，从而可求得的长． 【详解】（1）证明：∵的垂直平分线交于，交于， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）解：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 【题型6 正方形的性质与判定综合】 1．如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且，连接． (1)求证：； (2)在图1中，若G在上，且，连接，求证：； (3)根据你所学的知识，运用（1）（2）解答中积累的经验，完成下题： 如图2，在四边形中，是的中点，且，直接写出的长； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题是几何综合题，考查了全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）利用已知条件，可证出，即； （2）根据全等的性质得出，进而得出，即，可证，可得结论； （3）过C作，交延长线于G，先证四边形是正方形，由（2）结论可知，，设，则，在中利用勾股定理列方程求解，即可求出的长． 【详解】（1）证明：在正方形中， ，，， ． ； （2）证明：， ． ． 即． ， ． ，，， ． ． ∵， ； （3）解：如图，过C作，交延长线于G， 在直角梯形中，，， ∴， ， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， 四边形为正方形． ． ， 由（2）结论可知，， ∵为中点， ， 设，则， ． 在中，， ， 解得：． ． 2．如图，在正方形中，G是对角线上的一点（不与点B，D重合），过点G作，分别交于点E，F． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由正方形的性质得到，则可证明是矩形； （2）延长交于点H，则四边形是矩形，可证明是等腰直角三角形．得到，则矩形是正方形，据此可求出，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形． ∵在正方形中，， ∴是矩形． （2）解：如图，延长交于点H， 在正方形中，， ∵， ∴四边形是矩形，是等腰直角三角形． ∴， ∴矩形是正方形． ∴， 在中，． 3．如图，在矩形中，已知，点E、F分别为、上两点，连接、． (1)如图1，当时，连接，且． ①已知，，求的长； ②已知，求的值； (2)如图2，若平分，且，延长交延长线于点Q，若，，求k的值． 【答案】(1)①10；② (2) 【分析】（1）①首先由得到，证明出四边形是正方形，然后利用勾股定理求解即可； ②如图所示，延长到点G使，证明出，得到，然后利用勾股定理求出，得到，进而求解即可； （2）如图所示，连接，设，，证明出，得到，，然后表示出，勾股定理得到，表示出，由得到，然后代入求出，，进而求解即可． 【详解】（1）①∵在矩形中，已知， ∴当时， ∴ ∴四边形是正方形 ∴ ∵， ∴； ②如图所示，延长到点G使 ∵四边形是正方形，， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）如图所示，连接 ∵ ∴设， ∵四边形是矩形 ∴，设 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴代入得， ∴，即 ∴ ∴ ∴ ∴， ∴． 【点睛】此题考查了正方形的性质和判定，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等角对等边等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 4．推理能力【几何探究】综合与实践． 【问题情境】如图，E为正方形内一点，．将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为C）．延长交于点F，连接． 【猜想证明】 （1）试判断四边形的形状，并说明理由． （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系，并加以证明． 【解决问题】 （3）如图①，若，请直接写出的长． 【答案】（1）四边形是正方形．理由见解析；（2），证明见解析；（3）的长为 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形 （2）过点D作于H，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得，可得，由旋转的性质可得，可得结论； （3）作于G，根据勾股定理求出，由（2）可得，，进而求出，根据勾股定理计算的长． 【详解】解：（1）四边形是正方形．理由如下： 由旋转的性质，得， ， ， ∴四边形是矩形． 又， ∴四边形是正方形． （2）．证明如下： 如图①，过点D作于点． ， ． 四边形是正方形， ， ， ． 又， ， ． 将绕点B按顺时针方向旋转得到． 四边形是正方形， ， ， ． （3）如图②，过点D作于点H． 四边形是正方形，． 四边形是正方形， ． 在中，由勾股定理，得， ． 同（2）可得，， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键． 5.如图，中，，，的外角平分线交于点，过点分别作的延长线于，的延长线于． (1)填空：的度数______； (2)求证：； (3)若，求的长； (4)如图，在中，，高，，求的长度． 【答案】(1)； (2)证明过程见解析； (3)的长为； (4)的长度． 【分析】（1）根据三角形全等的判定和性质，得出角之间的数量关系，即可求解； （2）由三角形全等的性质，结合等量代换，即可证得结论； （3）由三角形全等的性质，得出线段之间得到数量关系，结合勾股定理即可求解； （4）通过翻折和三角形全等的性质，构造正方形，得出线段之间的数量关系，结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵的延长线于，的延长线于， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， 如图，作于G， ∴， ∵平分，平分 ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）证明：如图，作于G， 由（1）可知，，， ∴，， ∴． （3）解：由（1）（2）知，四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， 设， 又∵， ∴ ∴， 由（1）可知，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得，． （4）解：∵是的高， ∴， 即， 如图，把沿翻折，得到， ∴，，，， ∴， 把沿翻折，得到， ∴，，，， ∴， 又∵， ∴， 延长，交于点，则四边形是正方形， 设，则， ∵，， ∴，， ∴，，， 在中，， ∴， 解得，． 【点睛】本题考查了正方形与三角形综合，角平分线的定义和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，翻折的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握常见几何图形的判定和性质，并且能正确作出辅助线． 1．如图，两个相同的正方形与正方形的顶点重合，恰好落在正方形的对角线上，与交于点，连接，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，由正方形的性质可得，，，即得，得到，进而即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形和四边形是两个相同的正方形，恰好落在正方形的对角线上， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，则______度． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角度的计算,以及正方形的性质；解题的关键是通过观察图形构造全等三角形，找出与之间的关系．先证明，再利用正方形的角平分线将直角分为两个，得出与之间的关系． 【详解】 ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵是正方形角平分线 ∴ 即 故答案为． 3．如图，一个大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别为，当时，的大小是_______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，设，可推出为等腰直角三角形，得；同理得为等腰直角三角形，推出；得，即可求解； 【详解】解：如图所示： 设， 由题意得：， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 同理可得：为等腰直角三角形， ∴， ∴； ∴，即； ∴，即； ∵， ∴， 故答案为： 4．如图，正方形的面积为49，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为_________． 【答案】7 【分析】根据正方形的性质可证得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：连接，与交于点F． ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的和最小值为的长， ∵正方形的面积为49， ∴． 又∵是等边三角形， ∴． ∴所求最小值为7． 5．如图，正方形中，，是上一点，且，是上一动点，若将沿对折后，点落在点处，则点到点的最短距离为______． 【答案】 【分析】连接，，根据正方形的性质和勾股定理求出的长，由折叠的性质可知，根据两点之间线段最短可知当、、三点共线时，最短，此时． 【详解】解：如图，连接， ， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 由折叠的性质可知：， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，如图， ∴的最小值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 正方形的性质和判定（六大题型） 【题型1 利用正方形的性质求角度】...................................................................................1 【题型2 根据正方形的性质求线段长】...............................................................................2 【题型3 正方形与折叠】.....................................................................................................3 【题型4 添一条件使四边形是正方形】...............................................................................5 【题型5 正方形的判定】......................................................................................................6 【题型6 正方形的性质与判定综合】...................................................................................8 【题型1 利用正方形的性质求角度】 1．如图，在正方形的外侧作等边，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．如图，正方形的对角线相交于点O，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，有一个和一个正方形，其中点在边上，若，，则（   ） A． B． C． D． 【题型2 根据正方形的性质求线段长】 1．如图，在中，，分别以为边向外作正方形，正方形，连接，则的长为（   ） A．10 B．9 C． D． 2．亮亮用四根长度相等的木条制作了角度能够调整的菱形学具．他先将学具调整为图1所示的菱形，其中，然后调整为图2所示的正方形，此时对角线，则图1中菱形的对角线的长为（   ） A．6 B．8 C． D． 3．如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G，若，，则的长为（   ） A． B． C．4 D． 4.如图，P是正方形的对角线上的一点，于点E，连接，若，，则点D到的距离为 ． 【题型3 正方形与折叠】 1．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，正方形的边长为3，点E、F分别在边、上，将、分别沿、折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．将一张正方形纸片，按如图步骤①，②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（   ） A． B． C． D． 4．如图，先将正方形对折，折痕为，再沿折叠，使点C落在折痕上，记为点F，连接，已知正方形边长为2，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 5．（2025·陕西西安·一模）如图，正方形的边长为6，将正方形折叠，使顶点D 落在边上的点E 处，折痕为．若点E恰好是的中点，则线段的长为（   ） A． B． C．3 D． 6．（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，已知正方形纸片，M、N分别是、的中点，把边向上翻折，使点C恰好落在上的P点处，为折痕，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【题型4 添一条件使四边形是正方形】 1．如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，垂足为．添加下列哪个条件，不能使成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，平分，平分，与交于点．点是矩形外一点，连接，，，添加下列条件后，可判定四边形为正方形的是（   ） A．， B．， C． D．， 4．如图，，是菱形的对角线，，是上两点，且，连接，，，，添加一个条件使四边形是正方形，这个条件可以是（ ） A． B． C． D． 【题型5 正方形的判定】 1．如图，在中，，D是边的中点，，，，垂足分别为E，F．求证：四边形是正方形． 2．已知：如图，在中，，是的平分线，于点E，于点F．求证：四边形是正方形． 3．如图，四边形中，，，，，作于点E，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是正方形； (2)求四边形的面积． 4．如图，在矩形中，和的角平分线交于点，和的角平分线交于点． (1)求证：； (2)试判断四边形的形状，并说明理由． 5．如图，四边形中，，于点E，旋转一定角度后能与重合，根据图形回答问题． (1)旋转中心是点________，旋转了________度； (2)若，求四边形的面积． 6．如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于点E，交于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【题型6 正方形的性质与判定综合】 1．如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且，连接． (1)求证：； (2)在图1中，若G在上，且，连接，求证：； (3)根据你所学的知识，运用（1）（2）解答中积累的经验，完成下题： 如图2，在四边形中，是的中点，且，直接写出的长； 2．如图，在正方形中，G是对角线上的一点（不与点B，D重合），过点G作，分别交于点E，F． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的长． 3．如图，在矩形中，已知，点E、F分别为、上两点，连接、． (1)如图1，当时，连接，且． ①已知，，求的长； ②已知，求的值； (2)如图2，若平分，且，延长交延长线于点Q，若，，求k的值． 4．推理能力【几何探究】综合与实践． 【问题情境】如图，E为正方形内一点，．将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为C）．延长交于点F，连接． 【猜想证明】 （1）试判断四边形的形状，并说明理由． （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系，并加以证明． 【解决问题】 （3）如图①，若，请直接写出的长． 5.如图，中，，，的外角平分线交于点，过点分别作的延长线于，的延长线于． (1)填空：的度数______； (2)求证：； (3)若，求的长； (4)如图，在中，，高，，求的长度． 1．如图，两个相同的正方形与正方形的顶点重合，恰好落在正方形的对角线上，与交于点，连接，则的度数为______． 2．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，则______度． 3．如图，一个大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别为，当时，的大小是_______． 4．如图，正方形的面积为49，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为_________． 5．如图，正方形中，，是上一点，且，是上一动点，若将沿对折后，点落在点处，则点到点的最短距离为______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $