11.1～11.2 不等式、一元一次不等式同步讲义（题型归纳+知识梳理+常考题型）-2025-2026学年人教版数学七年级下学期.

11.1～11.2 不等式、一元一次不等式 同步讲义 ◉ 题型归纳 题型1不等式的定义 题型2不等式的解集 题型3不等式的性质 题型4一元一次不等式的定义 题型5一元一次不等式的解集 题型6求一元一次不等式的整数解 题型7在数轴上表示不等式的解集 题型8求一元一次不等式解的最值 题型9列一元一次不等式 题型10用一元一次不等式解决实际问题 题型11用一元一次不等式解决几何问题 ◉ 知识梳理 【知识点一：不等式的定义】 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式。 （2）常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． （3）五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 【知识点二：不等式的解集】 一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式． （1）用数轴表示不等式解集 如：解集x>−4在数轴上表示为 解集x≥−4在数轴上表示为 解集 x < 4 在数轴上表示为 解集 x ≤在数轴上表示为 【重点提示】 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 【知识点三：不等式的基本性质】 性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果，那么； 性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果，并且，那么(或)； 如果，并且，那么(或) 性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 不等式的传递性：如果，，那么． 易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变; ②在计算的时候符号方向容易忘记改变． 【知识点四:一元一次不等式的概念】 定义：只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式。 注意：一元一次不等式满足的条件： ①左右两边都是整式(单项式或多项式)；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1 【知识点五：解一元一次不等式】 解一元一次不等式的一般步骤是： ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥其中当系数是负数时，不等号的方向要改变． 【知识点六：一元一次不等式的应用】 解题步骤： （1）审题：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，抓住题设中的关键字眼，如“大于”、“不小于”等； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出不等关系； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列不等式的解集； （6）答：写出答案，并检验答案是否符合题意 ◉ 题型解读 题型1.不等式的定义 1．下列式子：①；②；③3；④；⑤．其中不等式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，掌握用不等号连接的式子是不等式，等式和单独的代数式不是不等式是解题的关键． 根据不等式的定义，用不等号（如等）连接的式子是不等式，逐一判断每个式子即可． 【详解】解：∵① 使用，是不等式； ② 使用，是不等式； ③ 使用，是等式，不是不等式； ④ 没有不等号，不是不等式； ⑤ 使用，是不等式； ∴不等式有①、②、⑤，共个． 故选：C． 2．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的概念及实际应用，根据图形中的标志，可得出通过该桥洞的车高最高为，据此得出答案． 【详解】解：由题意知，图形中的标志表示的是通过该桥洞的车高范围为， 故选：D． 3．用不等式表示“的平方与的平方的和不小于与的积的4倍”：_______________． 【答案】 【分析】先分别表示出a的平方与b的平方的和，再表示出a与b的积的4倍，根据“不小于”的不等关系列出不等式． 【详解】解：用不等式表示“的平方与的平方的和不小于与的积的4倍”：． 4．用不等式表示下列数量之间的关系： (1)一罐饮料净重为，其中，蛋白质含量为，且不低于净重的； (2)某校七年级学生有m人，八年级学生有n人，七年级学生人数比八年级的2倍还要多． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列不等式． （1）根据蛋白质含量不低于净重的列出不等式即可． （2）根据七年级学生人数比八年级的2倍还要多列出不等式即可 【详解】（1）解：根据题意可知蛋白质含量 （2） 解：根据题意可知： 题型2不等式的解集 1．的值一定（    ） A．大于 B．不大于 C．小于 D．不小于 【答案】D 【分析】本题利用初中平方数的非负性，推导代数式的取值范围，即可判断结果. 【详解】解：∵， ∴， ∴的值一定不小于. 2．在一场虚拟寻宝游戏中，玩家当前位置的横坐标满足．游戏设定有一个危险区域，若玩家横坐标进入特定范围就会触发警报．下列关于危险区域横坐标范围的设定中，会使玩家永远不会进入危险区域的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解集，掌握不等式的解集的运算方法是解题的关键． 根据玩家位置范围和危险区域范围，得出是否有共同的解集，判断即可． 【详解】解：A． 玩家位置范围为，危险区域范围为，两者没有共同区域，所以玩家永远不会进入危险区域； B． 玩家位置范围为，危险区域范围为，两者有共同区域，所以玩家可能会进入危险区域； C． 玩家位置范围为，危险区域范围为，两者有共同区域，所以玩家可能会进入危险区域； D． 玩家位置范围为，危险区域范围为，两者有共同区域，所以玩家可能会进入危险区域； 故选：A． 3．下列说法：①是不等式的一个解；②是不等式的一个解；③不等式的解集是．其中正确的有________________（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】此题主要考查了不等式的解集和解，解题的关键是掌握二者的区别与联系． 根据不等式的解的定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集，进行分析． 【详解】解：①是不等式的一个解，说法正确，符合题意； ②是不等式的一个解，说法正确，符合题意； ③不等式的解集是，说法正确，符合题意； 故答案为：①②③． 4．下表所示为三种食品原料的维生素含量（单位/千克）及成本（元/千克）： 维生素的含量 维生素的含量 成本 6 5 4 现在要将三种食物混合成千克的混合物，要求混合物至少需含单位的维生素和单位的维生素．如果所用的食物中的质量分别为千克，千克，千克，当分别取何值时，成本最低？ 【答案】时，成本最小为元 【分析】本题考查了不等式组的应用，由题意得，成本为，通过消元法得出的取值范围是解题关键． 【详解】解：依题意有， 即 得：， 得：，解得：， 成本为：， 当时，成本最小为元． 题型3不等式的性质 1．下列判断不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式性质逐一判断各选项正误，即可得到答案． 【详解】解：、∵不等式两边加同一个数，不等号方向不变， ∴若，可得，该选项判断正确，不符合题意； 、∵不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变， ∴若，可得，该选项判断正确，不符合题意； 、∵题目没有给出的取值范围，当时，若，可得， ∴原判断不成立，该选项判断错误，符合题意； 、∵，可得，不等式两边除以同一个正数，不等号方向不变， ∴若，可得，该选项判断正确，不符合题意． 2．设表示小于的最大整数，如，，则下列结论中正确的是_____（填写正确结论的序号）． ；的最大值是；的最小值是；存在实数，使成立． 【答案】 【分析】根据定义表示小于的最大整数，即可判断；设（为整数），则，则有，所以，即，即可判断． 【详解】解：根据定义表示小于的最大整数，小于的最大整数是， ∴，该结论正确； 设（为整数），则， ∴， ∴，即， ∴最小值是，取不到，故错误，正确； ∵， ∴恒为负数，不可能等于，故错误， 综上可得：结论中正确的是． 3．若为正整数，且满足，则___________． 【答案】5 【分析】先估算出的取值范围，再利用不等式性质推导得到的取值范围，即可求出的值. 【详解】解：，， ， 根据不等式的性质，不等式两边同乘，得， 不等式两边同时加，得， ，且为正整数， ． 4．已知，则 (1)比较大小：① ；② 0；③ ；④ (2)若商店中A物品元/个，B物品元/个；小林买了3个A和4个B，小姜买了1个A和6个B，请问谁付的钱多？并说明理由 【答案】(1)①＞；②＞；③＜；④＜ (2)小林付的多，理由见解析 【分析】根据已知的不等式关系，结合不等式的性质，可以将两个式子进行比较， （1）根据不等式的性质比较即可； （2）应先用a和b分别表示出小林和小姜所付的钱，然后用做差法比较他们付的钱的大小． 【详解】（1）解：①因为，根据不等式的性质，两边同时减去2，； ②因为，根据不等式的性质，两边同时减去，； ③因为，根据不等式的性质，两边同时乘以4，，所以； ④因为，根据不等式的性质，两边同时除以，． 故答案为：①＞；②＞；③＜；④＜； （2）小林付的钱多，理由如下： 小林一共花费元； 小姜一共花费元． 由； 由（1）中第②小题知，所以原式； 即，所以小林付的钱多． 题型4一元一次不等式的定义 1．下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义（只含有一个未知数，未知数的次数为1，且左右两边为整式的不等式），逐一分析各选项即可求解． 【详解】解：A选项：，只含一个未知数，未知数次数为1，是不等式且左右两边为整式，符合一元一次不等式的定义． B选项：是等式，不是不等式，不符合定义． C选项：含有两个未知数，不符合“一元”的要求． D选项：中未知数的最高次数为2，不符合“次数为1”的要求． 故选：A． 2．下列不等式中，一元一次不等式有（   ）个 （1），（2），（3），（4） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式，据此判断即可． 【详解】解：（1）是二元一次不等式，不是一元一次不等式； （2）是一元一次不等式； （3）是一元一次不等式； （4）不等式的左边是分式，不是整式，不是一元一次不等式， 综上所述：一元一次不等式有2个 故选：B． 3．当______时，不等式是一元一次不等式． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义，未知数的最高次数为，且未知数的系数不为，未知数只含有一个，据此列出关系式求解即可． 【详解】解：∵不等式是一元一次不等式， ， 解，得，即， 由得， ∴． 故答案为：． 4．已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义．利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【详解】解：依题意得，且， ． 题型5一元一次不等式的解集 1．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据解一元一次不等式的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行求解． 【详解】解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 2．若（为实数），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方的非负性，可得，从而得到，然后解不等式即可． 【详解】解：∵为实数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．关于的方程的解是正数，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】求出方程的解，根据方程的解是正数得出，求出即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵的方程的解是正数， ∴， 解得． 4．定义：规定，例如：． 问题： (1)___________； (2)若，则的值为___________； (3)若，则的值为___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据定义求解即可． （2）根据定义可知，解一元一次方程求解即可． （3）根据定义分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． （3）解：， 当，即时，，即，无解， 当，即时，，即， 解得：． 题型6求一元一次不等式的整数解 1．下列说法中错误的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的一个解 C．不等式的解集是 D．不等式的整数解有无数个 【答案】C 【分析】本题考查不等式的解与解集的概念，通过代入验证或解不等式即可判断各选项正误． 【详解】解：∵将代入不等式，得，成立， ∴是不等式的解， A说法正确，不符合题意； ∵将代入不等式，得，成立， ∴是不等式的一个解， B说法正确，不符合题意； ∵解不等式，解得，不是， ∴C说法错误，符合题意； ∵不等式的整数解包括所有小于10的整数，有无数个， ∴D说法正确，不符合题意. 2．不等式的非负整数解有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】先利用一元一次不等式的解法求出不等式的解集，再在解集中找出符合要求的非负整数，统计个数即可得到答案. 【详解】解：解不等式 ， 移项得 ， 合并同类项得 ， 系数化为1得 ， ∴ 不等式的非负整数解为 ，共4个． 3．对于任意实数，，定义一种运算：．例如，．请根据上述的定义解决问题：若不等式，则不等式的正整数解是__________． 【答案】1和2 【分析】本题考查了新定义运算，一元一次不等式的解法，掌握将新定义运算转化为整式，再解一元一次不等式，最后确定正整数解是解题的关键． 根据新运算定义，将不等式转化为一元一次不等式并求解，再确定正整数解． 【详解】解：由定义，， 因此． 不等式为， 移项得， 解得． 所以不等式的正整数解为和． 故答案为：和． 4．已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程和解一元一次不等式，掌握好方程和不等式的解法是关键． （1）先求出方程的解，由，求出a的取值范围； （2）先解不等式，取范围内最小的整数解，代入方程求出a的值． 【详解】（1）解：， 解得，， ∵， ∴， 解得，； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得，，范围内的最小整数解为， 将，代入方程，得： ， 解得，． 题型7在数轴上表示不等式的解集 1．将不等式的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式得到解集后，含等号的解集在数轴上用实心圆点表示，不含等号用空心圆圈表示；大于对应向右绘制射线，小于对应向左绘制射线． 【详解】解：解不等式，得； 在数轴上，表示为 2．两个不等式的解集在数轴上表示如图．则这两个不等式组成的不等式组的解集是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式组的解集在数轴上的表示方法即可得出结论． 【详解】解：根据数轴可得这两个不等式组成的不等式组的解集是 3．请写出一个解集在数轴上表示如图所示的一元一次不等式：______． 【答案】 【分析】本题考查了在数轴上表示一元一次不等式的解集； 先由数轴判断不等式的解集，再根据解集写出一元一次不等式即可． 【详解】解：由数轴可知解集为， ∴解集是的一元一次不等式为：， 故答案为：． 4．解一元一次不等式，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】本题考查一元一次不等式的解法，不等式解集的数轴表示，掌握不等式的基本性质是解题关键． 先对不等式去分母、化简，得到，再在数轴上表示该解集． 【详解】解：已知， 则， 可得， 它的解集在数轴上表示如下： 题型8求一元一次不等式解的最值 1．下面是两位同学对同一个不等式求解过程的对话： 小明：在求解的过程中要改变不等号的方向； 小强：求得不等式的最小整数解为． 根据上述对话信息，可知他们讨论的不等式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据不等式的性质求出每个不等式的解集，再求出不等式的最小整数解，最后得出选项即可． 【详解】解：A．， ， ， ， ， （不等号的方向改变）， 所以不等式的最小整数解不是，故本选项不符合题意； B．， ， ， ， （不等号的方向改变了）， 所以不等式的最小整数解是，不是，故本选项不符合题意； C．， ， ， ， （不等号的方向改变了）， 所以不等式的最小整数解是，不是，故本选项不符合题意； D．， ， ， ， （不等号的方向改变）， 所以不等式的最小整数解是，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的整数解，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键． 2．已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（    ） A．3 B．-3 C．4 D．-4 【答案】A 【分析】将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可． 【详解】∵是不等式的一个解， ∴， 解得， ∴整数k的最小值是3． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 3．若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解及一元一次不等式的求解，核心是利用方程的解得到与的数量关系，再结合正整数的约束条件求的最小值．先将方程的解代入方程，得到的关系式；再将转化为关于的代数式；最后根据的正整数取值范围，确定使最小的值，进而求出结果． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即． ∴， ∵，是正整数， ∴，解得， 又为正整数， ∴的取值为． ∴要使最小，需取最大值， 当时，，满足正整数条件，此时； 故答案为：． 4．在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：，如． (1)若，求的值； (2)求不等式的最大整数解． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，理解新运算的定义是解题关键． （1）根据新运算的定义建立方程，解一元一次方程即可得； （2）根据新运算的定义建立一元一次不等式，解不等式即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵， ∴， 解得． （2）解：由题意得：， ， ∵， ∴， 解得， 所以不等式的最大整数解为． 题型9列一元一次不等式 1．把一些书分给几名同学，若每人分5本，则可多分8个人；若每人分11本，则不够．依题意，设有x名同学，可列不等式（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列不等式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的关系． 先根据“每人分5本，则可多分8个人”求出书的总数，再结合“每人分11本，则不够”的数量关系列出不等式． 【详解】解：∵设有名同学，每人分5本可多分8个人， ∴书的总数为， ∵每人分11本不够，即书的总数小于， ∴可列不等式． 故选：A． 2．将“与3的和不小于0”用不等式表示为______． 【答案】 【分析】根据题意找准不等关系，即可列出一元一次不等式. 【详解】解：由题意得： 3．若是不等式唯一的正整数解，写出一个满足条件的不等式：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是不等式的整数解，根据题意列出符合条件的不等式是解题的关键． 根据题意，写出符合条件的不等式即可． 【详解】解：根据题意得：（答案不唯一）． 4．某苹果种植商组织10辆汽车装运，两种苹果到外地销售．按规定每辆汽车只装一种苹果且必须装满．已知每辆汽车运载量及每吨苹果获利如下表： 苹果品种 每辆汽车运载量 3 2 每吨苹果获利元 500 900 (1)若要求一次性运出苹果超过，试写出装运种苹果的汽车辆数应满足的不等式； (2)若要求共获利不少于15000元，试写出装运种苹果的汽车辆数应满足的另一个不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设装种苹果的车x辆，装种苹果的车辆，根据一次性运输的苹果超过吨即可列出不等式； （2）设装种苹果的车x辆，装种苹果的车辆，根据销售完这两种苹果共获利不低于元即可列出不等式． 【详解】（1）解：设辆汽车运种苹果，则有辆汽车运种苹果． 由题意，得． （2）解：设辆汽车运种苹果，则有辆汽车运种苹果． 由题意，得． 题型10用一元一次不等式解决实际问题 1．某种商品进价为800元，标价1200元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则最多可以打（    ） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，设打x折，根据利润率不低于，即利润不低于进价的，列不等式求解即可． 【详解】解：设打x折， ∵商品利润=打折后售价进价，要求利润率不低于， ∴列不等式得：， 整理得：， 解得：， 即最多可以打8折． 2．某次知识竞赛共有20道题，答对一题得10分，答错或不答均扣5分，小玉得分超过95分，他至多可以答错的试题道数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，需根据得分条件列出不等式，求解后取符合题意的最大整数解即可． 【详解】解：设小玉答错或不答的试题道数为道，则答对的试题道数为道， ∵小玉得分超过95分， ∴， 去括号得：， 合并同类项得：， 移项得：， 计算得：， 系数化为1（不等号方向改变）得：， ∵为非负整数， ∴的最大值为6， 即小玉至多可以答错6道试题， 故选：B． 3．某工厂现有原料2000千克，用于生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A产品需该原料20千克，生产一件B产品需该原料50千克，则50件产品中B产品至多________件． 【答案】33 【分析】考查一元一次不等式解决实际问题，设B产品的件数为件，根据生产两种产品所需原料总量不超过现有原料量列一元一次不等式，求解后结合实际取整数即可得到B产品的最大件数． 【详解】设生产B产品件，则生产A产品件， 根据题意，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 移项，得， ， 系数化为1，得， 因为为产品件数，需取非负整数，所以的最大值为33． 4．为提供更好的拍摄服务，某影楼计划购买一批新的相机．已知甲、乙两厂家的同款相机销售价格均为2万元，两厂家推出了以下不同的优惠方案： 若该影楼计划购进台相机，请回答下列问题： (1)按甲厂家优惠方案购买该相机应付的费用为__________万元，按乙厂家优惠方案购买该相机应付的费用为__________万元； (2)购买量在什么范围内，选择甲厂家更划算？ 【答案】(1)， (2)当购买量在10台以上，20台以下时，选择甲厂家更划算． 【分析】（1）根据优惠方案列代数式即可； （2）根据题意，列出一元一次不等式，再解不等式即可． 【详解】（1）解：按甲厂家优惠方案购买该相机应付的费用为（万元）； 按乙厂家优惠方案购买该相机应付的费用为（万元）； （2）解：由题意，令，解得． 又， 当时，选择甲厂家更划算． 答：当购买量在10台以上，20台以下时，选择甲厂家更划算． 题型11用一元一次不等式解决几何问题 1．数轴是认识数形结合的重要工具如图，数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，解一元一次不等式，由题意可得，解一元一次不等式即可，根据数轴得出一元一次不等式是解此题的关键． 【详解】解：∵数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧， ∴， 解得：， ∴x的值可以是， 故选：A． 2．用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为，设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为多少（用含x的代数式表示）． 【答案】平行于墙的一边长为，且． 【分析】本题主要考查了用代数式表示， 用总长度减去垂直于墙的两边长，再求出自变量的取值范围，可得答案． 【详解】解：平行于墙的一边长为，且， 解得， 所以平行于墙的一边长为，且． 3．如图，在中，，，．为的中点，动点从点出发，先以的速度沿运动，到达点后再以的速度沿向终点运动．设点的运动时间为，的面积为． (1)当______时，点运动到点； (2)当点在边上运动时，的长度为多少厘米．（用含的代数式表示）； (3)在点的运动过程中，请用含的代数式表示； (4)当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)的取值范围为或或 【分析】本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，合理分类讨论是解题的关键． （1）根据时间等于路程除以速度求解即可； （2）求出，分点在上运动和点在上运动两种情况，分别列式即可； （3）分点在上，点在上，点在上，三种情况讨论，分别根据三角形的面积公式列式即可； （4）分，，三种情况讨论，分别根据列不等式，求解即可． 【详解】（1）解：∵，以的速度沿运动， ∴点运动到点的时间为， 故答案为：； （2）解：∵，为的中点， ∴， ∴点运动到点的时间为， 点运动到点的时间为， ∴当点在上运动时，， 当点在上运动时，， 综上，； （3）解：当点在上时，即， 根据题意，得； 当点在上时，即， 根据题意，得， 当点在上时，即， 根据题意，得， ∴； （4）解：当时， 根据题意，得， 解得； 当时， 根据题意，得， 解得； 当时， 根据题意，得， 解得； 综上，的取值范围为或或． 4．关于x的方程的解是非负整数，且关于y的多项式是四次多项式，则所有满足条件的正整数a的和是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次不等式的应用、多项式的次数，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．先解一元一次方程可得，从而可得，则，再根据多项式的次数可得所有满足条件的正整数的值，由此即可得． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵关于的方程的解是非负整数， ∴， ∴， ∵关于的多项式是四次多项式， ∴所有满足条件的正整数的值为1和2， ∴所有满足条件的正整数的和是， 故选：A． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.1～11.2 不等式、一元一次不等式 同步讲义 ◉ 题型归纳 题型1不等式的定义 题型2不等式的解集 题型3不等式的性质 题型4一元一次不等式的定义 题型5一元一次不等式的解集 题型6求一元一次不等式的整数解 题型7在数轴上表示不等式的解集 题型8求一元一次不等式解的最值 题型9列一元一次不等式 题型10用一元一次不等式解决实际问题 题型11用一元一次不等式解决几何问题 ◉ 知识梳理 【知识点一：不等式的定义】 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式。 （2）常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． （3）五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 【知识点二：不等式的解集】 一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式． （1）用数轴表示不等式解集 如：解集x>−4在数轴上表示为 解集x≥−4在数轴上表示为 解集 x < 4 在数轴上表示为 解集 x ≤在数轴上表示为 【重点提示】 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 【知识点三：不等式的基本性质】 性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果，那么； 性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果，并且，那么(或)； 如果，并且，那么(或)。 性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 不等式的传递性：如果，，那么． 易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变; ②在计算的时候符号方向容易忘记改变． 【知识点四:一元一次不等式的概念】 1.定义：只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式。 注意：一元一次不等式满足的条件： ①左右两边都是整式(单项式或多项式)；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1 【知识点五：解一元一次不等式】 解一元一次不等式的一般步骤是： ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥其中当系数是负数时，不等号的方向要改变． 【知识点六：一元一次不等式的应用】 解题步骤： （1）审题：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，抓住题设中的关键字眼，如“大于”、“不小于”等； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出不等关系； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列不等式的解集； （6）答：写出答案，并检验答案是否符合题意 ◉ 题型解读 题型1.不等式的定义 1．下列式子：①；②；③3；④；⑤．其中不等式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 3．用不等式表示“的平方与的平方的和不小于与的积的4倍”：_______________． 4．用不等式表示下列数量之间的关系： (1)一罐饮料净重为，其中，蛋白质含量为，且不低于净重的； (2)某校七年级学生有m人，八年级学生有n人，七年级学生人数比八年级的2倍还要多． 题型2不等式的解集 1．的值一定（    ） A．大于 B．不大于 C．小于 D．不小于 2．在一场虚拟寻宝游戏中，玩家当前位置的横坐标满足．游戏设定有一个危险区域，若玩家横坐标进入特定范围就会触发警报．下列关于危险区域横坐标范围的设定中，会使玩家永远不会进入危险区域的是（   ） A． B． C． D． 3．下列说法：①是不等式的一个解；②是不等式的一个解；③不等式的解集是．其中正确的有________________（填序号）． 4．下表所示为三种食品原料的维生素含量（单位/千克）及成本（元/千克）： 维生素的含量 维生素的含量 成本 6 5 4 现在要将三种食物混合成千克的混合物，要求混合物至少需含单位的维生素和单位的维生素．如果所用的食物中的质量分别为千克，千克，千克，当分别取何值时，成本最低？ 题型3不等式的性质 1．下列判断不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．设表示小于的最大整数，如，，则下列结论中正确的是_____（填写正确结论的序号）． ；的最大值是；的最小值是；存在实数，使成立． 3．若为正整数，且满足，则___________． 4．已知，则 (1)比较大小：① ；② 0；③ ；④ (2)若商店中A物品元/个，B物品元/个；小林买了3个A和4个B，小姜买了1个A和6个B，请问谁付的钱多？并说明理由 题型4一元一次不等式的定义 1．下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列不等式中，一元一次不等式有（   ）个 （1），（2），（3），（4） A．1 B．2 C．3 D．4 3．当______时，不等式是一元一次不等式． 4．已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 题型5一元一次不等式的解集 1．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．若（为实数），则（    ） A． B． C． D． 3．关于的方程的解是正数，则的取值范围是___________． 4．定义：规定，例如：． 问题： (1)___________； (2)若，则的值为___________； (3)若，则的值为___________． 题型6求一元一次不等式的整数解 1．下列说法中错误的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的一个解 C．不等式的解集是 D．不等式的整数解有无数个 2．不等式的非负整数解有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．对于任意实数，，定义一种运算：．例如，．请根据上述的定义解决问题：若不等式，则不等式的正整数解是__________． 4．已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，求a的值． 题型7在数轴上表示不等式的解集 1．将不等式的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．两个不等式的解集在数轴上表示如图．则这两个不等式组成的不等式组的解集是（    ） A．或 B． C． D． 3．请写出一个解集在数轴上表示如图所示的一元一次不等式：______． 4．解一元一次不等式，并将解集在数轴上表示出来． 题型8求一元一次不等式解的最值 1．下面是两位同学对同一个不等式求解过程的对话： 小明：在求解的过程中要改变不等号的方向； 小强：求得不等式的最小整数解为． 根据上述对话信息，可知他们讨论的不等式是（　　） A． B． C． D． 2．已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（    ） A．3 B．-3 C．4 D．-4 3．若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 4．在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：，如． (1)若，求的值； (2)求不等式的最大整数解． 题型9列一元一次不等式 1．把一些书分给几名同学，若每人分5本，则可多分8个人；若每人分11本，则不够．依题意，设有x名同学，可列不等式（    ） A． B． C． D． 2．将“与3的和不小于0”用不等式表示为______． 3．若是不等式唯一的正整数解，写出一个满足条件的不等式：________． 4．某苹果种植商组织10辆汽车装运，两种苹果到外地销售．按规定每辆汽车只装一种苹果且必须装满．已知每辆汽车运载量及每吨苹果获利如下表： 苹果品种 每辆汽车运载量 3 2 每吨苹果获利元 500 900 (1)若要求一次性运出苹果超过，试写出装运种苹果的汽车辆数应满足的不等式； (2)若要求共获利不少于15000元，试写出装运种苹果的汽车辆数应满足的另一个不等式． 题型10用一元一次不等式解决实际问题 1．某种商品进价为800元，标价1200元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则最多可以打（    ） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 2．某次知识竞赛共有20道题，答对一题得10分，答错或不答均扣5分，小玉得分超过95分，他至多可以答错的试题道数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．某工厂现有原料2000千克，用于生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A产品需该原料20千克，生产一件B产品需该原料50千克，则50件产品中B产品至多________件． 4．为提供更好的拍摄服务，某影楼计划购买一批新的相机．已知甲、乙两厂家的同款相机销售价格均为2万元，两厂家推出了以下不同的优惠方案： 若该影楼计划购进台相机，请回答下列问题： (1)按甲厂家优惠方案购买该相机应付的费用为__________万元，按乙厂家优惠方案购买该相机应付的费用为__________万元； (2)购买量在什么范围内，选择甲厂家更划算？ 题型11用一元一次不等式解决几何问题 1．数轴是认识数形结合的重要工具如图，数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（   ） A． B． C． D．0 2．用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为，设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为多少（用含x的代数式表示）． 3．如图，在中，，，．为的中点，动点从点出发，先以的速度沿运动，到达点后再以的速度沿向终点运动．设点的运动时间为，的面积为． (1)当______时，点运动到点； (2)当点在边上运动时，的长度为多少厘米．（用含的代数式表示）； (3)在点的运动过程中，请用含的代数式表示； (4)当时，请直接写出的取值范围． 4．关于x的方程的解是非负整数，且关于y的多项式是四次多项式，则所有满足条件的正整数a的和是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $