第2讲 复数专题讲义-2026届高三数学二轮复习

第2讲 复数高考专题复习 知识点梳理 一、数系的扩充和复数的概念： 1.复数的定义：形如的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.其中a叫作复数z的实部，b叫做复数z的虚部(其中). 2.复数分类： 复数. 3.数集之间的关系： 4.复数相等的充要条件：. 特别的：. 二、复数的几何意义： 1.复平面：如图，点Z的横坐标是a,纵坐标是b， 复数可用点Z（a，b）表示.这个建立了 直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴， y轴叫做虚轴.实轴上的点表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数与向量的对应： 如图所示： 复数平面向量, 这时复数的另一种几何意义. 3.复数的模：向量的模叫做复数的模或绝对值，记作或. 即. 4.共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数称为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数的共轭复数用表示. 注意：互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于x轴对称. 三、复数的运算：设是任意两个复数. 复数的加法运算：. 复数的减法运算：. 复数的乘法运算：. 复数的除法运算：. 加法运算律：交换律：； 结合律：. 乘法运算律：交换律：； 结合律：； 乘法对加法的分配率:. 四、复数的三角形式（选学） 1.复数的代数形式转化为三角形式： 代数形式可化为三角形式. 其中为辐角，，，. 2.复数三角形式的乘法运算：. 3.复数三角形式的除法运算： . 典型例题 例1.在复平面内，复数z对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例2.已知复数的实部和虚部均为整数，且，则满足的复数的个数为( ) A.2    B.3    C.4    D.5 例3.设i为虚数单位，则（　　） A．5 B． C． D． 例4.（多选）若复数，则（　　） A．4﹣i B． C．z在复平面内对应的点位于第四象限 D．复数ω满足|ω|＝1，则|ω﹣z|的最大值为 随堂演练 1.（2025全国高考I卷）（1+5i）i的虚部为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．6 2.（2025全国高考II卷）已知z＝1+i，则（　　） A．﹣i B．i C．﹣1 D．1 3.已知i为虚数单位，则i7＝（　　） A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i 4.若zi+z＝1+3i，则z（　　） A．2 B．1 C． D．5 5.若z＝（3+i）（2﹣5i），则（　　） A．12+5i B．11﹣13i C．11+13i D．﹣12﹣5i 6.已知复数z1，z2的实部和虚部都不为0，满足①；②|z1z2|＝2，则z1＝　 　，z2＝　 　．（写出满足条件的一组z1和z2） 7.设i为虚数单位，复数z的共轭复数为，若，则z在复平面内对应的点位于第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 8.已知i为虚数单位，1+i是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，则p+q＝（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 9.在复平面内，O为坐标原点，复数1﹣i，﹣1+2i对应的向量分别是，，则对应 的复数为（　　） A．﹣2+3i B．i C．2﹣3i D．﹣i 10.已知复数z的共轭复数为，则下列说法正确的是（　　） A．z2＝|z|2 B．一定是实数 C．若复数z1，z2满足|z1+z2|＝|z1﹣z2|．则z1•z2＝0 D．若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚部相等或者互为相反数 11.已知i是虚数单位，复数z1与z2在复平面内对z应的点坐标分别为（1，3）、（﹣2，1），则为（　　） A． B．2 C． D． 12.已知复数z＝x+（y﹣2）i，若|z|≤2，则x≥y的概率为（　　） A． B．π﹣3 C． D． 13.已知复数，则 A. B. C. D. 14.已知复数，则 A. B. C. D. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 复数高考专题复习 知识点梳理 一、数系的扩充和复数的概念： 1.复数的定义：形如的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.其中a叫作复数z的实部，b叫做复数z的虚部(其中). 2.复数分类： 复数. 3.数集之间的关系： 4.复数相等的充要条件：. 特别的：. 二、复数的几何意义： 1.复平面：如图，点Z的横坐标是a,纵坐标是b， 复数可用点Z（a，b）表示.这个建立了 直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴， y轴叫做虚轴.实轴上的点表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数与向量的对应： 如图所示： 复数平面向量, 这时复数的另一种几何意义. 3.复数的模：向量的模叫做复数的模或绝对值，记作或. 即. 4.共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数称为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数的共轭复数用表示. 注意：互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于x轴对称. 三、复数的运算：设是任意两个复数. 复数的加法运算：. 复数的减法运算：. 复数的乘法运算：. 复数的除法运算：. 加法运算律：交换律：； 结合律：. 乘法运算律：交换律：； 结合律：； 乘法对加法的分配率:. 四、复数的三角形式（选学） 1.复数的代数形式转化为三角形式： 代数形式可化为三角形式. 其中为辐角，，，. 2.复数三角形式的乘法运算：. 3.复数三角形式的除法运算： . 典型例题 例1.在复平面内，复数z对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：在复平面内，复数zi对应的点（，）对位于第一象限．故选：A． 例2.已知复数的实部和虚部均为整数，且，则满足的复数的个数为( ) A.2    B.3    C.4    D.5 【解答】解：设()， 则，所以. 因为，所以，即. 当时，，即，有两组满足条件或， 当时，或，所以或或， 但时，，不符合题意， 综上：满足要求的的个数为4个。故选：C. 例3.设i为虚数单位，则（　　） A．5 B． C． D． 【解答】解：∵，∴． 故选：B． 例4.（多选）若复数，则（　　） A．4﹣i B． C．z在复平面内对应的点位于第四象限 D．复数ω满足|ω|＝1，则|ω﹣z|的最大值为 【解答】解：， 所以4+i，故A错误； ，故B正确； z在复平面内对应的点的坐标为（4，﹣1），位于第四象限，故C正确； 由复数ω满足|ω|＝1，可知复数ω在复平面内对应的点在以原点为圆心的单位圆上，则|ω﹣z|的最大值为，故D正确． 故选：BCD． 随堂演练 1.（2025全国高考I卷）（1+5i）i的虚部为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．6 【解答】解：令z＝（1+5i）i，则z＝5i2+i＝﹣5+i，所以z的虚部为1．故选：C． 2.（2025全国高考II卷）已知z＝1+i，则（　　） A．﹣i B．i C．﹣1 D．1 【解答】解：由题意得：．故选：A． 3.已知i为虚数单位，则i7＝（　　） A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i 【解答】解：i7＝i4•i3＝﹣i．故选：D． 4.若zi+z＝1+3i，则z（　　） A．2 B．1 C． D．5 【解答】解：zi+z＝1+3i，则z（1+i）＝1+3i，故2+i， 所以z（2+i）（2﹣i）＝5．故选：D． 5.若z＝（3+i）（2﹣5i），则（　　） A．12+5i B．11﹣13i C．11+13i D．﹣12﹣5i 【解答】解：z＝（3+i）（2﹣5i）＝6﹣15i+2i+5＝11﹣13i，则．故选：C． 6.已知复数z1，z2的实部和虚部都不为0，满足①；②|z1z2|＝2，则z1＝　 　，z2＝　 　．（写出满足条件的一组z1和z2） 【解答】解：设z1＝a+bi，z2＝c+di（abcd≠0，a，b，c，d∈R）， 则， z1z2＝（a+bi）（c+di）＝ac﹣bd+（ad+bc）i， 由，即， 所以，可取，所以． 故答案为：．（答案不唯一，只要满足a2+b2＝4，c2+d2＝1，abcd≠0即可） 7.设i为虚数单位，复数z的共轭复数为，若，则z在复平面内对应的点位于第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【解答】解：由，由共轭复数的定义可知，z＝1+2i，则z在复平面内对应的点（1，2）位于第一象限.故选：A． 8.已知i为虚数单位，1+i是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，则p+q＝（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 【解答】解：因为1+i是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根， 根据实系数一元二次方程的虚根成对原理，可得：1﹣i也是原方程的一个虚根， 所以（1+i）+（1﹣i）＝﹣p，（1+i）（1﹣i）＝q，解得：p＝﹣2，q＝2．所以p+q＝0． 故选：B． 9.在复平面内，O为坐标原点，复数1﹣i，﹣1+2i对应的向量分别是，，则对应 的复数为（　　） A．﹣2+3i B．i C．2﹣3i D．﹣i 【解答】解：1﹣i，﹣1+2i对应的点分别为M（1，﹣1），N（﹣1，2），即（1，﹣1），（﹣1，2），则（﹣1，2）﹣（1，﹣1）＝（﹣2，3），对应的复数为﹣2+3i．故选：A． 10.已知复数z的共轭复数为，则下列说法正确的是（　　） A．z2＝|z|2 B．一定是实数 C．若复数z1，z2满足|z1+z2|＝|z1﹣z2|．则z1•z2＝0 D．若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚部相等或者互为相反数 【解答】解：z＝i时，z2＝﹣1，|z|2＝1，∴A错； 设z＝a+bi（a，b∈R），则，∴，∴B对； 设z1＝a1+b1i（a1，b1∈R），z2＝a2+b2i（a2，b2∈R），由|z1+z2|＝|z1﹣z2|可得 ， ∴a1a2+b1b2＝0， 而z1z2＝（a1+b1i）（a2+b2i）＝a1a2﹣b1b2+（a1b2+b1a2）i＝2a1a2+（a1b2+b1a2）i， 不一定为0，∴C错； 设z＝a+bi（a，b∈R），复数z的平方是纯虚数，则z2＝a2﹣b2+2abi为纯虚数． ∴，解得，即复数z的实部和虚部相等或者互为相反数. 故D正确． 11.已知i是虚数单位，复数z1与z2在复平面内对z应的点坐标分别为（1，3）、（﹣2，1），则为（　　） A． B．2 C． D． 【解答】解：因为i是虚数单位，复数z1与z2在复平面内对z应的点坐标分别为（1，3）、（﹣2，1），所以z1＝1+3i，z2＝﹣2+i，所以||． 故选：C． 12.已知复数z＝x+（y﹣2）i，若|z|≤2，则x≥y的概率为（　　） A． B．π﹣3 C． D． 【解答】解：∵复数z＝x+（y﹣2）i（x，y∈R）且|z|≤2， ∴|z|2，即x2+（y﹣2）2≤4， ∴点（x，y）在（0，2）为圆心2为半径的圆及其内部， 而y≤x表示直线y＝x右下方的部分，（图中阴影弓形）， ∴所求概率为弓形的面积与圆的面积的之比， ∴所求概率P． 故选：A． 13.已知复数，则 A. B. C. D. 【解答】解：由.故选:B 14.已知复数，则 A. B. C. D. 【解答】解：根据待定系数法可得，则.故选:A. 学科网（北京）股份有限公司 $