第2讲 三角恒等变换(复习课）(学霸满分练)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

第2讲：三角恒等变换 题型一：两角和差的三角函数公式 1．）若，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为，，所以， 又因为，所以. 所以 .故选：B 2．下列等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二倍角的正弦公式即可判断A；根据两角差的正弦公式，即可判断B；根据两角和的正切公式即可判断C；根据二倍角的余弦公式结合两角差的正弦公式即可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：B 3．已知，其中． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意，先确定的取值范围，利用同角三角函数的平方关系，求得和的值，然后把凑成的形式，再利用两角差的正弦公式，展开求解即可； （2）结合（1）中结论，利用二倍角公式求得和的值，再利用两角差的正弦公式，展开求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 又因为，且，所以． 因为，，所以， 则， 又因为，所以． （2）由（1）可得，， 因为，则， 所以 题型二:二倍角公式 4．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用三角恒等变换的公式，化简得到，求得，结合三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由三角函数的基本关系式和倍角公式，可得 因为，所以， 整理得，即， 因为，可得，所以， 则，所以. 故选：A. 5．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题干条件及二倍角公式，可得，结合同角三角函数的基本关系即可得解. 【详解】因为，, 所以原式可化简为：， 因为，所以，所以， 又，所以或（舍去）. 故选：B. 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角余弦公式、正切公式，同角三角函数的基本关系求解. 【详解】由， 解得， ， 故选：D 题型三：降幂公式的化简求值问题 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用降幂公式和诱导公式即可. 【详解】 ， 故选：A． 8．函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用降次公式、二倍角公式和辅助角公式化简，由此求得的最大值. 【详解】依题意 ， 所以的最大值为. 故选：A 【点睛】本小题主要考查降次公式、二倍角公式和辅助角公式，考查三角函数的最值的求法，属于中档题. 9．已知，且满足，求：的值 【答案】 【分析】根据二倍角公式，结合题意，可求得的值，根据降幂公式，两角和的正弦公式，化简整理，根据齐次式的计算方法，即可得答案. 【详解】因为，整理可得， 解得或．                     因为，所以．                            则 ． 题型四：辅助角公式的应用 10．已知函数，则函数的对称轴的方程为 ． 【答案】 【分析】先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形，然后由可求得答案. 【详解】 ， 令，解得：． 故答案为： 11．已知，则 . 【答案】/ 【分析】利用辅助角公式以及二倍角的余弦公式得出结果. 【详解】∵，∴ 所以， ∴ 所以. 故答案为：. 12．若将函数的图象向左平移个单位长度，平移后的图象关于点对称，则 ． 【答案】 【分析】先利用辅助角公式将函数的解析式化简，并求出平移变换后的函数解析式，由变换后的函数图象关于点对称，可得出的表达式，结合的范围可求出的值. 【详解】, 将函数的图象向左平移个单位后， 所得图象的函数解析式为， 由于函数的图象关于点对称，则， 得，，，. 故答案为：. 题型五：三角恒等式变换中的（给角求值、给值求值、给值求角）问题 13．的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式以及倍角公式求解即可. 【详解】原式. 故选：A 14．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知条件求出，，从而求出，进而利用二倍角的余弦公式求出结论. 【详解】因为，所以， 又，所以，， 所以， 所以. 故选：C. 15．若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数值确定角的范围，再根据角的变换有，根据三角函数值确定的值. 【详解】，符号相同， 又，，， 由可得， 又，，， 所以，， ， 由，，得，， 故选：A． 题型六：利用三角函数恒等式判断三角形形状 16．在中，若，则一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换化简即得解. 【详解】因为 ， 所以在中，，即一定是直角三角形． 故选：B 17．关于x的方程有一根为1，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】将1代入，根据二倍角公式和两角差的余弦公式，整理可得 ，即，根据角的范围，即可求出结果. 【详解】因为1是的根， 所以， 又， 所以有，， 整理可得，，即. 因为，，，所以. 则由可得，，所以. 所以一定是等腰三角形. 故选：A. 题型七：三角恒等式变换中化简问题 18．已知函数，. (1)求函数的最小正周期和对称轴方程； (2)求时，函数的值域. 【答案】(1)最小正周期为，对称轴为 (2) 【分析】（1）化简的解析式，然后求的最小正周期以及对称轴. （2）利用三角函数值域的求法求得正确答案. 【详解】（1） . 所以的最小正周期为， 由解得， 所以的对称轴为. （2）由于，， 所以. 即的值域为. 19．已知函数 (1)求函数的最小正周期及函数的单调递减区间； (2)求函数在上的值域． 【答案】(1)最小正周期；单调递减区间为， (2) 【分析】（1）由三角函数公式化简，由周期公式可得周期，由整体法求解可得单调区间； （2）由x的范围和三角函数的性质逐步求解可得值域． 【详解】（1）∵， ∴的最小正周期； 令，，解得：，， ∴的单调递减区间为，； （2）当时，， ∴，∴ 即在上的值域为 题型八：三角恒等变换综合问题 20．已知函数，． (1)当时，的最大值及相应的x值； (2)将的图象向左平移个单位后关于原点对称，，求的所有可能取值． 【答案】(1)最大值为，此时 (2)或. 【分析】（1）根据题意，结合三角恒等变换的公式，化简得到，再由，求得，得到，结合三角函数的性质，即可求解； （2）由三角函数的图象变换得到，根据题意求得，结合，即可求解. 【详解】（1）解：由函数 因为，可得， 即，所以， 所以， 又由，可得， 当时，即时，函数的最大值为. （2）解：将的图象向左平移个单位后关于原点对称， 可得， 因为关于原点对称，即为奇函数，可得， 因为，当时，；当时，， 所以的所有可能的取值为或. 21．已知函数． (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)求在区间上的最值，并求出此时对应的的值； (3)若在区间上有两个零点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为； (2)时最小值为；时最大值为1； (3). 【分析】（1）由二倍角正余弦公式、辅助角公式化简函数式，根据正弦型函数性质求最小正周期和递增区间； （2）由（1）及正弦型函数性质求最值即可； （3）问题化为与在区间上有两个交点，数形结合求参数范围. 【详解】（1）因为， 所以最小正周期为，又增区间为， 令得：， 所以的单调递增区间为． （2）因为，所以． 当，即时，取最小值； 当，即时，取最大值1． （3）由题意，与在区间上有两个交点，而在上图象如下： 由图知：，即. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $