13.2.3 第3课时 空间距离及直线与平面所成的角(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦空间距离（点到平面、直线到平面）及直线与平面所成角的核心知识点，以前续线面垂直、空间几何体性质为学习支架，系统构建距离概念、射影定义及角的求法脉络。 通过“铅笔与桌面”情境引入培养数学眼光，以“一作二证三求四答”通性通法强化数学思维，结合例题、母题探究及跟踪训练提升数学语言表达能力。课中助于直观理解，课后可通过分层练习查漏补缺。

第3课时　空间距离及直线与平面所成的角 【基础落实】 知识点二 　相交　垂直　交点　点Q　PQ　P1Q　∠PQP1　直角　0°　0°≤θ≤90° 自我诊断 1.AD　A、D正确；B应为0°≤θ≤90°；C中这两条直线可能平行，也可能相交或异面.故选A、D. 2.A　如图，设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则由线面垂直的性质定理可知AA1∥MM1∥BB1.结合题意知，四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4.故选A. 3.B　∵PA⊥平面ABC，∴∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角，在Rt△PAB中，PA＝AB，∴∠PBA＝45°.故直线PB与平面ABC所成的角为45°.故选B. 【典例研析】 【例1】　D　 如图，设△BCD的中心为O，连接AO，则AO的长即为所求.在Rt△AOD中，AD＝1，OD＝××1＝，∴AO＝＝，即点A到平面BCD的距离为.故选D. 跟踪训练 　解：如图，连接AC，BD，设交点为O，连接EO. ∵E为PA的中点，O为AC的中点， ∴EO∥PC. ∵EO⊄平面PBC，PC⊂平面PBC， ∴EO∥平面PBC，∴点O到平面PBC的距离就是点E到平面PBC的距离. 在平面ABCD内过O作OG⊥BC于点G. ∵PC⊥平面ABCD，OG⊂平面ABCD， ∴PC⊥OG，又PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC， ∴OG⊥平面PBC， ∴OG的长即为所求距离. ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴OB⊥AC，∠CBD＝∠ABD＝30°， ∴OB＝AB·cos∠ABD＝a·cos 30°＝a， ∴OG＝OB·sin∠OBC＝a·sin 30°＝a， 即点E到平面PBC的距离为a. 【例2】　C　连接AC，则A1C1∥AC.∵A1C1⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴A1C1∥平面ABCD，∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，∴A1A的长即为A1C1和底面ABCD的距离，又A1A＝B1B，∴B1B的长即为A1C1和底面ABCD的距离.由题意知，B1B＝，即A1C1和底面ABCD的距离为.故选C. 跟踪训练 　B　连接AC（图略），则AC⊥BD，又BB1⊥AC，BD∩BB1＝B，故AC⊥平面B1BDD1，所以点C到平面B1BDD1的距离为AC＝，即直线CC1和平面B1BDD1的距离为.故选B. 【例3】　解：（1）∵AB⊥平面AA1D1D， ∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角， 在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1， ∴∠AA1B＝45°， ∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°. （2）连接A1C1交B1D1于点O，连接BO. ∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1⊂平面BB1D1D， ∴A1O⊥平面BB1D1D， ∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角. 设正方体的棱长为1，则A1B＝，A1O＝. 又∵∠A1OB＝90°， ∴sin∠A1BO＝＝，又0°≤∠A1BO≤90°， ∴∠A1BO＝30°， ∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°. 母题探究 1.解：如图，连接BC1交B1C于点O，连接A1O，设正方体的棱长为a， 因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B， 又B1C1∩B1B＝B1，B1C1，B1B⊂平面BCC1B1， 所以A1B1⊥平面BCC1B1， 又BC1⊂平面BCC1B1. 所以A1B1⊥BC1， 又因为BC1⊥B1C，且A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C⊂平面A1B1CD， 所以BC1⊥平面A1B1CD. 所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影， 所以∠BA1O为直线A1B与平面A1B1CD所成的角. 在Rt△A1BO中，A1B＝a，BO＝a， 所以BO＝A1B，∠BA1O＝30°. 因此，直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°. 2.解：∵D1C1⊥平面BB1C1C，∴∠D1BC1为BD1与平面BB1C1C所成的角. 设正方体的棱长为1，则BC1＝， ∴在Rt△D1C1B中，tan∠D1BC1＝＝＝， ∴BD1与平面BB1C1C所成角的正切值为. 跟踪训练 　解：过A作AH⊥BC于H，连接PH，如图所示. ∵PC⊥平面ABCD，AH⊂平面ABCD， ∴PC⊥AH，又PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC， ∴AH⊥平面PBC. ∴∠APH为PA与平面PBC所成的角. 在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°， ∴△ABC为正三角形，又AH⊥BC，∴H为BC中点， AH＝， ∵PC＝AC＝2， ∴PA＝2，∴sin ∠APH＝＝. 故PA与平面PBC所成角的正弦值为. 随堂检测 1.C　如图，取底面正三角形ABC的中心O，连接PO，则PO⊥底面ABC，连接AO并延长，交BC于D，则∠PAO为直线PA与平面ABC所成的角，可得AD＝＝，则AO＝AD＝.在Rt△POA中，有cos∠PAO＝＝＝，即∠PAO＝60°，∴直线PA与平面ABC所成的角的大小为60°. 2.1　解析：由正方体的性质可知，B1C1∥平面ABCD，所以直线B1C1到平面ABCD的距离即为B1到平面ABCD的距离，由正方体的性质知B1到平面ABCD的距离为1，即直线B1C1到平面ABCD的距离为1. 3.3π　解析：如图，过点A作平面α的垂线，垂足为C，连接BC，所以线段BC为线段AB在平面α上的射影，∠ABC为斜线l与平面α所成的角，则∠ABC＝，又AC＝1，所以BC＝，故射影形成的图形为半径为的圆面，其面积为3π. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3课时　空间距离及直线与平面所成的角 课标要求 1.理解点到平面的距离、直线到平面的距离的概念，会求简单的点面距、线面距（数学运算）. 2.理解斜线在平面内的射影及与平面所成角的概念，会求简单的线面角（直观想象、数学运算）. 　　当一支铅笔一端放在桌面上，另一端逐渐离开桌面，铅笔和桌面所成的角逐渐增大. 【问题】　观察并思考铅笔和桌面所成的角怎样定义？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　点到平面及直线到平面的距离 1.点到平面的距离 从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离. 2.直线到平面的距离 一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离. 知识点二　直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与一个平面　　　，但不和这个平面　　　　，这条直线叫作这个平面的斜线 斜足 斜线与平面的　　　　，如图中　　　　 斜线 段 斜线上一点与斜足间的线段叫作这个点到平面的斜线段，如图中　　　 射影 如图，过平面外一点P向平面α引斜线和垂线，那么过斜足Q和垂足P1的直线就是斜线在平面内的射影，线段　　　　就是斜线段PQ在平面α内的射影 直线 与平 面所 成的 角 定义：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，如图中　　　　； 规定：如果一条直线垂直于平面，那么称它们所成的角是　　　　；如果一条直线与平面平行，或在平面内，那么称它们所成的角是　　角 取值 范围 设直线与平面所成的角为θ，则　　　　　 　　提醒：对直线与平面所成的角的三点说明：①点P是斜线上不同于斜足Q的任意一点，点P具有随意性；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线，而不是线段；③求一条直线与平面所成的角，可先作出直线在平面内的射影，从而得到直线与平面所成的角，再进一步求解. 1.〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A.平面的斜线与平面所成的角的取值范围是0°＜θ＜90° B.直线与平面所成的角的取值范围是0°＜θ≤90° C.若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行 D.若两条直线互相平行，则这两条直线与一个平面所成的角相等 2.若点A，B在平面α的同侧，且点A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为（　　） A.4　　 B.3　　　C.2　　 D.1 3.如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于（　　） A.30°　 B.45°　　C.60°　 D.90° 题型一｜求点到平面的距离 【例1】　在各棱长均为1的四面体ABCD中，点A到平面BCD的距离为（　　） A.　　　　　　　 B. C.　 D. 通性通法 求点到平面的距离的步骤 （1）作（或找）出点到平面的垂线段的垂足； （2）证明线面垂直； （3）求出该点到垂足间的线段长即为所求点到平面的距离，在平面图形中（一般为三角形）计算所求线段的长； （4）下结论：给出所求距离. 简称“一作，二证，三求，四答”. 【跟踪训练】 如图，已知边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求点E到平面PBC的距离. 题型二｜求直线和平面的距离 【例2】　若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，且侧面ABB1A1上的∠B1AB＝60°，则A1C1和底面ABCD的距离为（　　） A.1　　 B.　　　C.　　 D.2 通性通法 　　当直线与平面平行时，直线上每一点到平面的距离都相等，因此线面距离转化为点面距离，而点面距离又可以根据线面平行灵活取点求解. 【跟踪训练】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝1，则直线CC1和平面B1BDD1的距离为（　　） A.　 B.　　C.　 D.1 题型三｜求直线与平面所成的角 【例3】　（链接教科书第184页例7）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中. （1）求直线A1B与平面AA1D1D所成的角的大小； （2）求直线A1B与平面BB1D1D所成的角的大小. 【母题探究】 1.（变设问）在本例条件下，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角. 2.（变设问）在本例条件下，求BD1与平面BB1C1C所成角的正切值. 通性通法 求直线与平面所成角的步骤 （1）作图：作（或找）出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算； （2）证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角； （3）计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算. 【跟踪训练】 如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝2，求PA与平面PBC所成角的正弦值. 1.在正三棱锥P-ABC中，AB＝3，PA＝2，则直线PA与平面ABC所成的角的大小为（　　） A.30°　　 B.45°　　　C.60°　　 D.75° 2.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则直线B1C1到平面ABCD的距离是　　　　. 3.已知过平面α外一点A的斜线l与平面α所成角为，斜线l交平面α于点B，若点A与平面α的距离为1，则斜线段AB在平面α上的射影所形成的图形面积为　　　　. 提示：完成课后作业　第十三章　13.2　13.2.3　第3课时 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $