13.2.1 平面的基本性质(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦平面的基本性质核心知识点，从直观认识空间点线面入手，抽象出平面概念（无厚度、无限延展），系统梳理其表示方法（图形与字母）、点线面位置关系的符号表示，以及三个基本事实和推论，构建空间几何的基础学习支架。 该资料以生活实例（如门固定、桌面检查原理）驱动问题，通过文字、图形、符号语言转化培养数学抽象与直观想象，题型涵盖点线共面、截面画法等，结合逻辑推理，课中辅助教师引导探究，课后助力学生巩固应用，查漏补缺。

13.2　基本图形位置关系 13.2.1　平面的基本性质 【基础落实】 知识点一 1.厚薄　无限延展　2.（1）平行四边形　正方形 知识点二 　∈　∉　∈　∉　B　⊂　⊄ 想一想 　提示：不对.数学中的平面是无限延展的，是没有厚薄的. 知识点三 1.有且只有　确定　两个点　有一个公共点　有且只有　公共直线　2.外　相交　平行 自我诊断 1.ACD　对于A，如a∩α＝A时，满足A∈a，a⊄α，此时A∈α可以成立，故A错误；易知B正确；对于C，如图所示，A∉a，a⊂α，但A∈α，故C错误；对于D，“A⊂α”表述错误，故D错误.故选A、C、D. 2.∈　∉　⊄　∩ 3.不共线的三点确定一个平面 解析：类比三脚架知，支撑点形成一个平面才会保持稳定，因此加上一个支撑脚后，两个轮子加支撑脚与地面接触点形成了不共线的三点，确定了一个平面. 【典例研析】 【例1】　解：（1）点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①所示. （2）直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②所示. （3）直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图③所示. 跟踪训练 　A　由图可知α∩β＝m，n⊂α，且m∩n＝A，A∈m，A∈n. 【例2】　证明：法一（纳入平面法）　∵l1∩l2＝A，由推论2，知l1和l2确定一个平面，设为α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2. 又l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α. 又B∈l3，C∈l3，由基本事实2，知l3⊂α. ∴直线l1，l2，l3在同一平面内. 法二（辅助平面法）　∵l1∩l2＝A，由推论2，知l1，l2确定一个平面，设为α. ∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面，设为β. ∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，由基本事实1，知平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内. 跟踪训练 　证明：法一（纳入平面法）　 ∵a∥b，∴a，b确定一个平面α. ∵A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α. 又A∈l，B∈l，∴l⊂α. 则a，b，l都在平面α内，即b在a，l确定的平面内. 同理可证c在a，l确定的平面内. ∵过a与l只能确定一个平面，∴直线a，b，c和l共面. 法二（辅助平面法）　∵a∥b，∴a，b确定一个平面，设为α. ∵A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α. 又A∈l，B∈l，∴l⊂α. ∵点C∈l，∴点C∈α，∴a与点C同在平面α内. 又a∥c，∴直线a，c确定一个平面β. ∵点C∈c，c⊂β， ∴点C∈β，即a与点C同在平面β内. ∴平面α和平面β重合，则c⊂α，∴直线a，b，c和l共面. 【例3】　证明：因为MN∩EF＝Q，所以Q∈直线MN，Q∈直线EF， 又因为M∈直线CD，N∈直线AB，CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD. 所以M，N∈平面ABCD， 所以MN⊂平面ABCD.所以Q∈平面ABCD. 同理，可得EF⊂平面ADD1A1. 所以Q∈平面ADD1A1. 又因为平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD， 所以Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线. 跟踪训练 1.证明：法一　∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈α. 又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC. 由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上， 同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上， 故P，Q，R三点共线. 法二　∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR. 又AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR. ∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR. ∵Q∈BC，∴Q∈平面APR， 又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线. 2.证明：因为α∩γ＝b，β∩γ＝a，所以a⊂γ，b⊂γ. 因为直线a与直线b不平行， 所以a，b必相交. 如图所示，设a∩b＝P，则P∈a，P∈b. 因为a⊂β，b⊂α，所以P∈β，P∈α. 又因为α∩β＝c，所以P∈c，即交线c也经过点P， 所以，a，b，c三条直线必过同一点. 【例4】　解：延长D1E和DC交于点N，延长D1F和DA交于点M，连接MN，则MN为平面BED1F与平面ABCD的交线，且MN经过点B，如图. 理由如下： 因为N∈D1E，N∈DC，D1E⊂平面BED1F，DC⊂平面ABCD， 所以N为平面BED1F与平面ABCD的公共点. 同理M为平面BED1F与平面ABCD的公共点. 所以MN为平面BED1F与平面ABCD的交线，显然B也为平面BED1F与平面ABCD的公共点，所以B∈MN. 跟踪训练 　解：如图所示，五边形DQMFN即为所求截面. 作法如下：连接DN并延长交D1C1的延长线于点E， 连接ME交B1C1于点F，延长EM交D1A1的延长线于点H， 连接DH交AA1于点Q，连接QM，FN， 所得五边形DQMFN即为所求截面. 随堂检测 1.ABC　由平面的基本事实的推论知，三角形、菱形、梯形均为平面图形.故选A、B、C. 2.A　因为M∈a，a⊂α，所以M∈α，同理，N∈α，又M∈l，N∈l，故l⊂α.故选A. 3.Q∈b⊂α　解析：因为点Q（元素）在直线b（集合）上，所以Q∈b.又因为直线b（集合）在平面α（集合）内，所以b⊂α.所以Q∈b⊂α. 4.a　解析：连接DM并延长交D1A1的延长线于点G，连接GN（图略），则GN与A1B1的交点即为点P.由M，N分别为AA1，C1D1的中点，知P为A1B1的四等分点（靠近点A1），故线段PB1的长为a. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.2.1　平面的基本性质 课标要求 1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的基础上，抽象出空间点、直线、平面的概念（数学抽象、直观想象）. 2.了解基本事实和确定平面的推论（逻辑推理）. 　　在生活中，用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定.将一把尺子置于桌面上 ，通过是否漏光就能检查桌面是否平整. 【问题】　你知道如此做的原理吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　平面的概念及表示 1.概念：平面是从现实世界中抽象出来的几何概念，它没有　　　　，是　　　　　　的. 2.平面的表示方法 （1）图形表示：平面通常用　　　　　　来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的　　　　的直观图作为平面的直观图； （2）字母表示： 平面通常用希腊字母α，β，γ，…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面α、平面AC等（如图所示）. 知识点二　点、线、面之间的位置关系 空间中点、直线和平面的位置关系，可以借用集合中的符号来表示，例如，在长方体ABCD-A1B1C1D1中： 位置关系 符号表示 点P在直线AB上 P　　AB 点C不在直线AB上 C　　AB 点M在平面AC内 M　　平面AC 点A1不在平面AC内 A1　　平面AC 直线AB与直线BC交于点B AB∩BC＝　 直线AB在平面AC内 AB　　平面AC 直线AA1不在平面AC内 AA1　　平面AC 　　提醒：（1）直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示；（2）平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示；（3）直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示. 【想一想】 我们常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面.这种说法对吗？为什么？ 知识点三　平面的基本事实及推论 1.与平面有关的三个基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 基本 事实1 过不在一条直线上的三个点，　　　一个平面，简称为不共线的三点　　　　一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α 基本 事实2 如果一条直线上的　　　　　在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 ⇒AB⊂α 基本 事实3 如果两个不重合的平面　　　　　，那么它们　　　　一条过该点的　　 ⇒α∩β＝l且P∈l 　　提醒：三个基本事实的作用：基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面.基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面.基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点. 2.三个推论 推 论 1 经过一条直线和这条直线　　的一点，有且只有一个平面 A∉l⇒A和l确定一个平面α 推 论 2 经过两条　　直线，有且只有一个平面 a∩b＝A⇒a，b确定一个平面α 推 论 3 经过两条　　直线，有且只有一个平面 a∥b⇒a，b确定一个平面α 　　提醒：三个推论的作用：①确定一个平面；②证明平面重合；③证明点、线共面. 1.〔多选〕已知点A，直线a，平面α，以下命题表述不正确的是（　　） A.A∈a，a⊄α⇒A∉α B.A∈a，a⊂α⇒A∈α C.A∉a，a⊂α⇒A∉α　 D.A∈a，a⊂α⇒A⊂α 2.如图，填入相应的符号：A　　 　平面ABC，A　　　　平面BCD，BD　　　　平面ABC，平面ABC　　　平面ACD＝AC. 3.生活经验：“两个轮子的自行车在停止运动后要加上一个支撑脚才稳定”，可以解释该经验的数学公理是　　　　. 题型一｜文字语言、图形语言、符号语言的相互转化 【例1】　根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形： （1）A∈α，B∉α； （2）l⊂α，m⊄α，m∩α＝A，A∉l； （3）P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α. 通性通法 三种语言的转换方法 （1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示； （2）要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”. 提醒：根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别. 【跟踪训练】如图所示，用符号语言可表述为（　　） A.α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B.α∩β＝m，n∉α，m∩n＝A C.α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D.α∩β＝m，n∉α，A∈m，A∈n 题型二｜点、线共面问题 【例2】　（链接教科书第165页例1）如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内. 通性通法 证明点、线共面的方法 　　证明点、线共面的主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论，常用的方法有： （1）辅助平面法，先证明有关点、线确定平面α，再证明其余点、线确定平面β，最后证明平面α，β重合； （2）纳入平面法，先由条件确定一个平面，再证明有关的点、线在此平面内. 【跟踪训练】 如图，已知直线a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a，b，c和l共面. 题型三｜点共线、线共点问题 【例3】　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线. 通性通法 1.证明三点共线的方法 2.证明三线共点的步骤 【跟踪训练】 1.如图，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q.求证：P，Q，R三点共线. 2.已知三个平面α，β，γ两两相交，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a，b不平行，求证：a，b，c三条直线必过同一点. 题型四｜几何体截面的画法 【例4】　（链接教科书第166页例2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线并说明理由. 通性通法 作截面的三种常用方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程； （2）延长线法：同一个平面内有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点； （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线.（该方法在后续课程学习） 【跟踪训练】 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是A1B1的中点，点N在棱CC1上，且CN＝2NC1.作出过点D，M，N的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面，写出作法. 1.〔多选〕下列图形中一定是平面图形的是（　　） A.三角形　　　　 B.菱形 C.梯形　 D.四边相等的四边形 2.如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则（　　） A.l⊂α　　　　　　　 B.l⊄α C.l∩α＝M　 D.l∩α＝N 3.若点Q在直线b上，b在平面α内，则Q，b，α之间的关系可记作　　　　. 4.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为AA1，C1D1的中点，过D，M，N三点的平面与直线A1B1交于点P，则线段PB1的长为　　　　. 提示：完成课后作业　第十三章　13.2　13.2.1 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $