9.2.2 第2课时 向量共线定理(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦向量共线定理核心知识点，在向量线性运算基础上，通过质点运动情境引入，构建“问题-定理-应用”学习支架，涵盖定理内容、代数与几何形式及推论，衔接后续向量坐标应用。 特色在于以情境抽象培养数学眼光，通过定理推导与题型训练（如三点共线证明、参数求解）发展数学思维，用向量表示未知向量（如例4用a,b表示AD）强化数学语言。课中例题与通性通法辅助教学，课后练习助力学生查漏补缺。

第2课时　向量共线定理 　　质点从点O出发做匀速直线运动，若经过1 s的位移对应的向量用a表示，那么在同方向上经过3 s的位移所对应的向量可用3a来表示，记b＝3a. 【问题】　（1）向量b与向量a共线吗？ （2）如果有一个实数λ，使得b＝λa，那么向量b与向量a共线吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　向量共线定理 　设a为非零向量，如果有一个实数λ，使　　　　，那么b与a是　　　　向量；反之，如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使　　　　. 　　提醒：（1）向量共线定理的代数形式及其推论：①代数形式：b∥a（a≠0）⇔存在唯一λ∈R使b＝λa；②推论：若a，b不共线，则λa＋μb＝0 ⇔λ＝μ＝0.（2）向量共线定理的几何形式及其推论：①几何形式：∥⇔存在唯一λ∈R使＝λ；②推论：∥⇔存在x，y∈R使＝x＋y且x＋y＝1. 【想一想】 向量共线定理中为什么规定a≠0？ 1.若｜a｜＝1，｜b｜＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是（　　） A.b＝2a　　　　　 B.b＝－2a C.a＝2b　 D.a＝－2b 2.〔多选〕若非零向量e1与e2不共线，下列各组向量中，a与b一定共线的是（　　） A.a＝－3e1，b＝2e1 B.a＝0，b＝－e2 C.a＝e1－e2，b＝－3e1＋3e2 D.a＝e1－e2，b＝e1＋2e2 3.若e1与e2不共线，且e1与e1＋λe2共线，则λ＝　　　　. 题型一｜向量共线的判定及应用 角度1　判定向量共线 【例1】　（1）（链接教科书第18页例3）如图，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点.求证：与共线，并将用线性表示； （2）已知非零向量e1，e2不共线，若a＝e1－e2，b＝5e1－e2，判断向量a，b是否共线. 通性通法 向量共线的判定方法 　　向量共线的判定一般是用向量共线定理，即a是一个非零向量，若存在唯一一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线.向量共线的判断（证明），需要把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，由此判断共线. 角度2　证明或判断三点共线 【例2】　（链接教科书第21页习题11题）设a，b是不共线的两个非零向量.若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线. 通性通法 证明或判断三点共线的方法 （1）一般来说，要判断A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ（或＝λ，＝λ等）且两向量有公共点； （2）利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使＝x＋y且x＋y＝1. 角度3　利用向量共线求参数 【例3】　（链接教科书第21页习题8题）（1）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝（　　） A.　 B.　　　C.－　 D.－ （2）设e1，e2是两个不共线向量，若向量ke1＋2e2与8e1＋ke2方向相反，则实数k＝　　　　. 通性通法 利用向量共线求参数的方法 　　利用向量共线求参数，就是利用向量的加法、减法及数乘运算表示出相关向量，再利用共线的条件转化为向量相等、相应向量的和相等，利用待定系数法建立方程（组），解方程（组），求得参数的值.若解析过程中出现λa＝μb（a，b不共线）的条件，则λ＝μ＝0. 【跟踪训练】 1.〔多选〕向量a＝2e，b＝－6e，则下列说法正确的是（　　） A.a∥b 　 B.向量a，b方向相反 C.｜a｜＝3｜b｜　 D.b＝－3a 2.（2025·苏州汾湖高中月考）设a，b是不共线的两个非零向量. （1）若＝4a－2b，＝6a＋2b，＝2a－6b，求证：A，B，C三点共线； （2）若4a＋kb与ka＋b共线，求实数k的值. 题型二｜利用已知向量表示未知向量 【例4】　（链接教科书第198页例4）在△ABC中，已知D是BC上的点，且CD＝2BD，设＝a，＝b，试用a和b表示. 【母题探究】 （变条件）若将本例中的“CD＝2BD”改为“CD＝BD”，你能用两种方法解答吗？ 通性通法 用已知向量表示未知向量的两种方法 （1）直接法 （2）方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程. 【跟踪训练】 1.在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝（　　） A.3m－2n　 B.－2m＋3n C.3m＋2n　 D.2m＋3n 2.如图，已知ABCD是一个梯形，∥且｜｜＝2｜｜，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，分别用e1，e2表示，. 1.若｜a｜＝5，b与a的方向相反，且｜b｜＝7，则a＝（　　） A.b　 B.－b　　C.b　 D.－b 2.已知a，b是不共线的非零向量，＝a＋2b，＝3a－b，＝2a－3b，则四边形ABCD是（　　） A.梯形　 B.平行四边形 C.矩形　 D.菱形 3.如图，在△ABC中，向量＝3，且＝λ＋μ（λ，μ∈R），则λ＋μ＝　　　　. 4.已知非零向量e1和e2不共线，试判断3e1＋2e2与3e1－2e2是否共线？ 提示：完成课后作业　第九章　9.2　9.2.2　第2课时 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　向量共线定理 【基础落实】 知识点 　b＝λa　共线　b＝λa 想一想 　提示：（1）若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线； （2）当a＝0时，若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa，但此时向量a与b共线； （3）当a＝0时，若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa，与存在唯一一个实数λ矛盾. 自我诊断 1.A 2.ABC 3.0　解析：∵e1与e1＋λe2共线，∴存在实数μ，使得e1＝μ（e1＋λe2）＝μe1＋μλe2，∴∴λ＝0. 【典例研析】 【例1】　解：（1）因为D，E分别是AB，AC的中点， 所以DE∥BC，所以与共线. 又DE＝BC，且与同向，所以＝. （2）因为b＝5a，所以a与b共线. 【例2】　证明：∵＝－＝（3a＋b）－（2a－b）＝a＋2b，＝－＝（a－3b）－（3a＋b）＝－（2a＋4b）＝－2， ∴与共线，且有公共点B，∴A，B，C三点共线. 【例3】　（1）A　（2）－4　解析：（1）法一　由＝2，得－＝2（－），即＝＋，所以λ＝. 法二　易知A、B、D三点共线，由共线向量的推论，可直接得到＋λ＝1，故λ＝. （2）由题意知，ke1＋2e2与8e1＋ke2共线，∴存在实数λ，使ke1＋2e2＝λ（8e1＋ke2）＝8λe1＋kλe2.∵e1，e2不共线，∴解得或∵ke1＋2e2与8e1＋ke2反向，∴λ＝－，k＝－4. 跟踪训练 1.ABD　因为a＝2e，b＝－6e，所以b＝－3a，故D正确；由向量共线定理知，A正确；－3＜0，a与b方向相反，故B正确；由上可知｜b｜＝3｜a｜，故C错误.故选A、B、D. 2.解：（1）证明：因为＝－＝6a＋2b－（4a－2b）＝2a＋4b， ＝－＝2a－6b－（6a＋2b）＝－4a－8b＝－2（2a＋4b）＝－2， 所以∥，又与有公共点B， 所以A，B，C三点共线. （2）由4a＋kb与ka＋b共线，则存在实数λ，使得4a＋kb＝λ（ka＋b）， 即（4－λk）a＋（k－λ）b＝0，又a，b是不共线的两个非零向量， 因此解得或 所以，实数k的值是±4. 【例4】　解：∵B，C，D三点共线，且CD＝2BD，∴＝. ∴＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝a＋b. 母题探究 　解：法一　如图①，∵＝－，且CD＝BD， ∴＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝（a＋b）. 法二　如图②，以AB，AC为邻边作▱ABEC，则＝＋. ∵CD＝BD，∴D是AE的中点. ∴＝＝（＋）＝（a＋b）. 跟踪训练 1.B　法一　因为BD＝2DA，所以＝3，所以＝＋＝＋3＝＋3（－）＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B. 法二（作图法）　如图，利用平行四边形法则，合成出向量，由图易知（即向量m）的系数为负数，排除A、C、D，故选B. 2.解：因为∥，｜｜＝2｜｜， 所以＝2，＝. 则＝＋＝e2＋e1. 因为M，N分别为DC，AB的中点， 所以｜｜＝2｜｜，｜｜＝2｜｜， 则＝＋＋ ＝－－＋ ＝－e1－e2＋e1＝e1－e2. 随堂检测 1.B　∵b与a的方向相反，∴存在实数λ＜0，使a＝λb，∴｜a｜＝－λ｜b｜，即5＝－λ×7，∴λ＝－，∴a＝－b. 2.A　因为＝＋＋，所以＝ （a＋2b）＋（3a－b）＋（2a－3b）＝2（3a－b），因为＝3a－b，a，b是不共线的非零向量，所以AD∥BC且｜｜≠｜｜，所以四边形ABCD是梯形.故选A. 3.1　解析：由题意知，＝＋，所以＝3＝3＋3＝－3＋3.所以＝＋＝－3＋3＝－2＋3，则λ＝－2，μ＝3，故λ＋μ＝1. 4.解：若向量e1和e2不共线，设存在实数λ，使3e1＋2e2＝λ（3e1－2e2）， 则3e1＋2e2＝3λe1－2λe2，即（3－3λ）e1＝（－2λ－2）e2， 所以λ无解，所以不存在实数λ，使3e1＋2e2＝λ（3e1－2e2）， 故两个向量不共线. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $