13.2.1 平面的基本性质(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦“平面的基本性质”核心知识点，从直观认识空间点线面入手，抽象出平面概念及表示方法，系统梳理点线面位置关系的符号表示，详解3个基本事实及3个推论，构建空间几何的基础认知支架。 资料以生活实例（如门固定、桌面检查）创设问题情境，通过三种语言转化、点线共面等题型设计，培养数学抽象与逻辑推理素养。课中助力教师引导学生从具体到抽象，课后练习题帮助学生巩固应用，有效查漏补缺。

13.2.1　平面的基本性质 课标要求 1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的基础上，抽象出空间点、直线、平面的概念（数学抽象、直观想象）. 2.了解基本事实和确定平面的推论（逻辑推理）. 　　在生活中，用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定.将一把尺子置于桌面上 ，通过是否漏光就能检查桌面是否平整. 【问题】　你知道如此做的原理吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　平面的概念及表示 1.概念：平面是从现实世界中抽象出来的几何概念，它没有　厚薄　，是　无限延展　的. 2.平面的表示方法 （1）图形表示：平面通常用　平行四边形　来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的　正方形　的直观图作为平面的直观图； （2）字母表示：平面通常用希腊字母α，β，γ，…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面α、平面AC等（如图所示）. 知识点二　点、线、面之间的位置关系 　空间中点、直线和平面的位置关系，可以借用集合中的符号来表示，例如，在长方体ABCD-A1B1C1D1中： 位置关系 符号表示 点P在直线AB上 P　∈　AB 点C不在直线AB上 C　∉　AB 点M在平面AC内 M　∈　平面AC 点A1不在平面AC内 A1　∉　平面AC 直线AB与直线BC交于点B AB∩BC＝　B　 直线AB在平面AC内 AB　⊂　平面AC 直线AA1不在平面AC内 AA1　⊄　平面AC 　　提醒：（1）直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示；（2）平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示；（3）直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示. 【想一想】 我们常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面.这种说法对吗？为什么？ 提示：不对.数学中的平面是无限延展的，是没有厚薄的. 知识点三　平面的基本事实及推论 1.与平面有关的三个基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 基本 事实1 过不在一条直线上的三个点，　有且只有　一个平面，简称为不共线的三点　确定　一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α 基本 事实2 如果一条直线上的　两个点　在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 ⇒AB⊂α 文字语言 图形语言 符号语言 基本 事实3 如果两个不重合的平面　有一个公共点　，那么它们　有且只有　一条过该点的　公共直线　 ⇒α∩β＝l且P∈l 　　提醒：三个基本事实的作用：基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面.基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面.基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点. 2.三个推论 推论1 经过一条直线和这条直线　外　的一点，有且只有一个平面 A∉l⇒A和l确定一个平面α 推论2 经过两条　相交　直线，有且只有一个平面 a∩b＝A⇒a，b确定一个平面α 推论3 经过两条　平行　直线，有且只有一个平面 a∥b⇒a，b确定一个平面α 　　提醒：三个推论的作用：①确定一个平面；②证明平面重合；③证明点、线共面. 1.〔多选〕已知点A，直线a，平面α，以下命题表述不正确的是（　　） A.A∈a，a⊄α⇒A∉α B.A∈a，a⊂α⇒A∈α C.A∉a，a⊂α⇒A∉α D.A∈a，a⊂α⇒A⊂α 解析：ACD　对于A，如a∩α＝A时，满足A∈a，a⊄α，此时A∈α可以成立，故A错误；易知B正确；对于C，如图所示，A∉a，a⊂α，但A∈α，故C错误；对于D，“A⊂α”表述错误，故D错误.故选A、C、D. 2.如图，填入相应的符号：A　∈　平面ABC，A　∉　平面BCD，BD　⊄　平面ABC，平面ABC　∩　平面ACD＝AC. 3.生活经验：“两个轮子的自行车在停止运动后要加上一个支撑脚才稳定”，可以解释该经验的数学公理是　不共线的三点确定一个平面　. 解析：类比三脚架知，支撑点形成一个平面才会保持稳定，因此加上一个支撑脚后，两个轮子加支撑脚与地面接触点形成了不共线的三点，确定了一个平面. 题型一｜文字语言、图形语言、符号语言的相互转化 【例1】　根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形： （1）A∈α，B∉α； 解：（1）点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①所示. （2）l⊂α，m⊄α，m∩α＝A，A∉l； 解：（2）直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②所示. （3）P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α. 解：（3）直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图③所示. 通性通法 三种语言的转换方法 （1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示； （2）要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”. 提醒：根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别. 【跟踪训练】 如图所示，用符号语言可表述为（　　） A.α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B.α∩β＝m，n∉α，m∩n＝A C.α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D.α∩β＝m，n∉α，A∈m，A∈n 解析：A　由图可知α∩β＝m，n⊂α，且m∩n＝A，A∈m，A∈n. 题型二｜点、线共面问题 【例2】　（链接教科书第165页例1）如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内. 证明：法一（纳入平面法）　∵l1∩l2＝A，由推论2，知l1和l2确定一个平面，设为α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2. 又l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α. 又B∈l3，C∈l3，由基本事实2，知l3⊂α. ∴直线l1，l2，l3在同一平面内. 法二（辅助平面法）　∵l1∩l2＝A，由推论2，知l1，l2确定一个平面，设为α. ∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面，设为β. ∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，由基本事实1，知平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内. 通性通法 证明点、线共面的方法 　　证明点、线共面的主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论，常用的方法有： （1）辅助平面法，先证明有关点、线确定平面α，再证明其余点、线确定平面β，最后证明平面α，β重合； （2）纳入平面法，先由条件确定一个平面，再证明有关的点、线在此平面内. 【跟踪训练】 如图，已知直线a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a，b，c和l共面. 证明：法一（纳入平面法）　 ∵a∥b，∴a，b确定一个平面α. ∵A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α. 又A∈l，B∈l，∴l⊂α. 则a，b，l都在平面α内，即b在a，l确定的平面内. 同理可证c在a，l确定的平面内. ∵过a与l只能确定一个平面，∴直线a，b，c和l共面. 法二（辅助平面法）　∵a∥b，∴a，b确定一个平面，设为α. ∵A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α. 又A∈l，B∈l，∴l⊂α. ∵点C∈l，∴点C∈α，∴a与点C同在平面α内. 又a∥c，∴直线a，c确定一个平面β. ∵点C∈c，c⊂β， ∴点C∈β，即a与点C同在平面β内. ∴平面α和平面β重合，则c⊂α，∴直线a，b，c和l共面. 题型三｜点共线、线共点问题 【例3】　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线. 证明：因为MN∩EF＝Q，所以Q∈直线MN，Q∈直线EF， 又因为M∈直线CD，N∈直线AB，CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD. 所以M，N∈平面ABCD， 所以MN⊂平面ABCD.所以Q∈平面ABCD. 同理，可得EF⊂平面ADD1A1. 所以Q∈平面ADD1A1. 又因为平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD， 所以Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线. 通性通法 1.证明三点共线的方法 2.证明三线共点的步骤 【跟踪训练】 1.如图，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q.求证：P，Q，R三点共线. 证明：法一　∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈α. 又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC. 由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上， 同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上， 故P，Q，R三点共线. 法二　∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR. 又AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR. ∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR. ∵Q∈BC，∴Q∈平面APR， 又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线. 2.已知三个平面α，β，γ两两相交，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a，b不平行，求证：a，b，c三条直线必过同一点. 证明：因为α∩γ＝b，β∩γ＝a，所以a⊂γ，b⊂γ. 因为直线a与直线b不平行， 所以a，b必相交. 如图所示，设a∩b＝P，则P∈a，P∈b. 因为a⊂β，b⊂α，所以P∈β，P∈α. 又因为α∩β＝c，所以P∈c，即交线c也经过点P， 所以，a，b，c三条直线必过同一点. 题型四｜几何体截面的画法 【例4】　（链接教科书第166页例2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线并说明理由. 解：延长D1E和DC交于点N，延长D1F和DA交于点M，连接MN，则MN为平面BED1F与平面ABCD的交线，且MN经过点B，如图. 理由如下： 因为N∈D1E，N∈DC，D1E⊂平面BED1F，DC⊂平面ABCD， 所以N为平面BED1F与平面ABCD的公共点. 同理M为平面BED1F与平面ABCD的公共点. 所以MN为平面BED1F与平面ABCD的交线，显然B也为平面BED1F与平面ABCD的公共点，所以B∈MN. 通性通法 作截面的三种常用方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程； （2）延长线法：同一个平面内有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点； （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线.（该方法在后续课程学习） 【跟踪训练】 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是A1B1的中点，点N在棱CC1上，且CN＝2NC1.作出过点D，M，N的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面，写出作法. 解：如图所示，五边形DQMFN即为所求截面. 作法如下：连接DN并延长交D1C1的延长线于点E， 连接ME交B1C1于点F，延长EM交D1A1的延长线于点H， 连接DH交AA1于点Q，连接QM，FN， 所得五边形DQMFN即为所求截面. 1.〔多选〕下列图形中一定是平面图形的是（　　） A.三角形　　　　 B.菱形 C.梯形　 D.四边相等的四边形 解析：ABC　由平面的基本事实的推论知，三角形、菱形、梯形均为平面图形.故选A、B、C. 2.如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则（　　） A.l⊂α　 B.l⊄α C.l∩α＝M　 D.l∩α＝N 解析：A　因为M∈a，a⊂α，所以M∈α，同理，N∈α，又M∈l，N∈l，故l⊂α.故选A. 3.若点Q在直线b上，b在平面α内，则Q，b，α之间的关系可记作　Q∈b⊂α　. 解析：因为点Q（元素）在直线b（集合）上，所以Q∈b.又因为直线b（集合）在平面α（集合）内，所以b⊂α.所以Q∈b⊂α. 4.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为AA1，C1D1的中点，过D，M，N三点的平面与直线A1B1交于点P，则线段PB1的长为　a　. 解析：连接DM并延长交D1A1的延长线于点G，连接GN（图略），则GN与A1B1的交点即为点P.由M，N分别为AA1，C1D1的中点，知P为A1B1的四等分点（靠近点A1），故线段PB1的长为a. 1.两个平面若有三个公共点，则这两个平面（　　） A.相交　　　　　　　　 B.重合 C.相交或重合　 D.以上都不对 解析：C　若这三个公共点在同一条直线上，则这两个平面相交或重合；若这三个公共点不共线，则这两个平面重合.故选C. 2.已知直线a，b，c两两相交，则这三个直线可能确定的平面个数为（　　） A.1　 B.2 C.3　 D.1或3 解析：D　当三条直线两两相交且不过同一点时，只能确定1个平面；当三条直线相交于同一点时，可能确定1个平面也可能确定3个平面.故选D. 3.下列说法正确的是（　　） A.三点可以确定一个平面 B.一条直线和一个点可以确定一个平面 C.四边形是平面图形 D.两条相交直线可以确定一个平面 解析：D　A错误，不共线的三点可以确定一个平面；B错误，经过一条直线和这条直线外一点可以确定唯一一个平面；C错误，四边形不一定是平面图形；D正确，两条相交直线可以确定一个平面.故选D. 4.已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有（　　） A.1条或2条　 B.2条或3条 C.1条或3条　 D.1条或2条或3条 解析：D　当三个平面两两相交且过同一条直线时，它们有1条交线；当平面β和γ平行时，它们的交线有2条；当这三个平面两两相交且不过同一条直线时，它们有3条交线.故选D. 5.〔多选〕如图所示，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过（　　） A.点A　 B.点B C.点C　 D.点M 解析：CD　∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据基本事实3可知，M在γ与β的交线上.同理可知，点C也在γ与β的交线上.故选C、D. 6.〔多选〕已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，则下列推理正确的是（　　） A.A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β B.M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN C.A∈α，A∈β⇒α∩β＝A D.A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合 解析：ABD　由基本事实2知A正确；由基本事实3知B正确；由基本事实1知D正确；对于C，因为A∈α，A∈β，所以A∈α∩β.由基本事实3可知α∩β为经过A的一条直线而不是A，且α∩β＝A的写法错误.故选A、B、D. 7.三条平行直线最多能确定的平面的个数为　3　. 解析：当三条平行直线在同一个平面内时，可以确定1个平面；当三条平行直线不在同一个平面上时，可以确定3个平面.综上最多可确定3个平面. 8.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，试根据图形填空： （1）平面AB1∩平面A1C1＝　A1B1　； （2）平面A1C1CA∩平面AC＝　AC　； （3）平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝　OO1　； （4）平面A1C1，平面B1C，平面AB1的公共点为　B1　. 9.若直线l与平面α交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，求证：O，C，D三点共线. 证明：如图，∵AC∥BD， ∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD. ∵l∩α＝O，∴O∈α. 又∵O∈AB，AB⊂β， ∴O∈β， ∴O∈直线CD， ∴O，C，D三点共线. 10.如图，设不全等的△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内，且AB∥A1B1，BC∥B1C1，CA∥C1A1，求证：AA1，BB1，CC1三线共点. 证明：不妨设AB≠A1B1，则四边形AA1B1B为梯形， ∴AA1与BB1相交，设其交点为S，则S∈AA1，S∈BB1. ∵BB1⊂平面BCC1B1，∴S∈平面BCC1B1. 同理可证，S∈平面ACC1A1， ∴点S在平面BCC1B1与平面ACC1A1的交线上， 即S∈CC1， ∴AA1，BB1，CC1三线共点. 11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方体过点M，N，C1的截面图形是（　　） A.三角形　 B.四边形 C.五边形　 D.六边形 解析：C　如图所示，延长C1M交CD延长线于点P，延长C1N交CB延长线于点Q，连接PQ交AD于点E，交AB于点F，连接NF，ME，则正方体过点M，N，C1的截面图形是五边形，故选C. 12.〔多选〕如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是（　　） A.C1，M，O三点共线 B.C1，M，O，C四点共面 C.C1，O，A，M四点共面 D.D1，D，O，M四点共面 解析：ABC　连接A1C1，AC（图略），则AC∩BD＝O，A1C∩平面C1BD＝M.∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，∴A、B、C均正确，D不正确.故选A、B、C. 13.空间不共线的四点，可以确定平面的个数为　1或4　. 解析：当四点共面时，只能确定一个平面；当四点不共面时，如图，任意三点都可确定一个平面，共4个. 14.定线段AB所在的直线与定平面α相交，交点为O，P为定直线外一点，P∉直线AB，P∉α，若直线AP，BP与平面α分别相交于A'，B'.试问，如果点P任意移动，直线A'B'是否恒过一定点？请说明理由. 解：随着点P移动，直线A'B'恒过定点O.理由如下： 由直线AB和直线外一点P可确定平面β， 因为AP∩α＝A'，BP∩α＝B'， 所以α∩β＝A'B'，而AB∩α＝O，所以O一定在交线A'B'上，即直线A'B'恒过定点O. 15.正方体是常见的并且重要的多面体，对它的研究将有助于我们对立体几何一些概念的理解和掌握.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是所在棱的中点，请思考并回答下列问题： （1）直线EF，GH，DC能交于一点吗？ （2）若E，F，G，H四点共面，怎样才能画出过四点E，F，G，H的平面与正方体的截面？ 解：（1）如图所示，能交于一点. 理由如下：因为E，F分别为棱AB，BC的中点，易得E，F∈平面ABCD，且EF与CD相交，设交点为P. 由△EBF≌△PCF，可得PC＝BE＝AB. 同理，GH与CD相交，设交点为P1，同样可得P1C＝C1G＝C1D1＝AB. 所以P1与P重合，因此直线EF，GH，DC能交于一点. （2）如图所示，延长HG，DD1相交于点R，延长FE交DA的延长线于点Q，则点R，Q是截面与侧面ADD1A1的公共点，连接RQ与A1D1，A1A分别交于点M，T，连接GM，TE，FH，可得截面与正方体各面的交线分别为EF，FH，HG，GM，MT，TE.截面如图中的阴影部分所示. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $