10.3 几个三角恒等式-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

10.3　几个三角恒等式 1 1.了解积化和差公式、和差化积公式及其推导过程（逻辑推理）. 2.了解半角公式及其推导过程（逻辑推理）. 3.能运用积化和差公式、和差化积公式及半角公式进行相关计算、化简和证明（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　观察下列学过的两组公式： （1） sin （α＋β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β， ① sin （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β； ② （2） cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β， ③ cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β. ④ 　　尝试一下，对①②③④做一些“运算”，例如①＋②，①－②等等，看看能得到些什么？ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【问题】　（1）如何用 sin （α＋β）， sin （α－β）表示 sin α cos β及 cos α sin β的值？ （2）如何用 cos （α＋β）， cos （α－β）表示 cos α cos β及 sin α sin β的值？ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 　 积化和差 知识点一　积化和差公式、和差化积公式 数学·必修第二册（SJ） 目 录 和差化积 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【想一想】 1. 积化和差公式与和差化积公式之间有什么联系？ 提示：在积化和差公式中，令α＋β＝x，α－β＝y，则α＝ ，β ＝ ，则积化和差公式相应变为和差化积公式. 2. 积化和差公式与和差化积公式在三角恒等变换中有什么作用？ 提示：和积互化是三角恒等变换中的一种重要的变形手段，是化非特殊角 为特殊角的有效方法，也是在三角函数式的化简、求值和证明中，相约或 相消的常用方法. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点二　半角公式 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【想一想】 半角公式中的符号是如何确定的？ 提示：（1）当给出角α的具体范围时，先求 的范围，然后根据 的范围 确定符号； （2）如果没有给出确定符号的条件，那么在根号前要保留正负号. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A. cos α－ cos β＝－2 sin sin B. cos ＝ C. tan ＝ D. tan ＝ ，只需满足α≠2kπ＋π（k∈Z） √ √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 对于A， cos α－ cos β＝－2 sin · sin ，故A正确；对 于B， cos ＝± ，故B错误；对于C、D，当α≠2kπ＋π时，tan ＝ ＝ ，故C错误，D正确.故选A、D. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 若 cos 2α＝－ ，且α∈ ，则 sin α＝（　　） A. B. C. D. － 解析： 　因为α∈ ，所以 sin α≥0，由半角公式可得 sin α＝ ＝ .故选A. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. sin cos ＝ 　 ＋ 　. 解析： sin cos ＝ sin · cos （π＋ ）＝ sin cos ＝ ＝ ×（1＋ ）＝ ＋ . ＋ 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜积化和差公式的应用 【例1】　（链接教科书第76页例1）求下列各式的值： （1） sin 37.5° cos 7.5°； 解： 原式＝ [ sin （37.5°＋7.5°）＋ sin （37.5°－7.5°）] ＝ （ sin 45°＋ sin 30°）＝ ×（ ＋ ）＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2） sin 20° cos 70°＋ sin 10° sin 50°. 解： 原式＝ （ sin 90°－ sin 50°）－ （ cos 60°－ cos 40°） ＝ － sin 50°＋ cos 40°＝ － sin 50°＋ sin 50°＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 　　在运用积化和差公式时，如果形式为异名函数积时，化得的结果应为 sin （α＋β）与 sin （α－β）的和或差；如果形式为同名函数积时，化 得的结果应为 cos （α＋β）与 cos （α－β）的和或差. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　求下列各式的值： （1）2 cos 50° cos 70°－ cos 20°； 解： 原式＝ cos （50°＋70°）＋ cos （50°－70°）－ cos 20° ＝ cos 120°＋ cos 20°－ cos 20°＝ cos 120°＝－ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2） sin 80° cos 40°－ sin 40°； 解：原式＝ [ sin （80°＋40°）＋ sin （80°－40°）]－ sin 40° ＝ （ sin 120°＋ sin 40°）－ sin 40°＝ . （3） sin 37.5° sin 22.5°－ cos 15°. 解： 原式＝－ [ cos （37.5°＋22.5°）－ cos （37.5°－ 22.5°）]－ cos 15° ＝－ （ cos 60°－ cos 15°）－ cos 15°＝－ cos 60°＝－ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜和差化积公式的应用 【例2】　（链接教科书第77页例2）把下列各式化为积的形式： （1） sin x＋ sin 3x； 解： 原式＝2 sin cos ＝2 sin 2x· cos x. （2） cos （15°＋α）－ cos （15°－α）. 解： 原式＝－2 sin · sin ＝－2 sin 15° sin α. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 　　套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式 化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化 积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求 出值来. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 求值： sin 20°＋ sin 40°＋ sin 60°－ sin 80°＝（　　） A. B. C. D. 1 解析： 　 sin 20°＋ sin 40°＋ sin 60°－ sin 80°＝2 sin 30° cos 10°＋ sin 60°－ sin 80°＝2× × sin 80°＋ － sin 80°＝ .故选C. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 计算： ＝（　　） A. B. － C. D. － 解析： 　原式＝ ＝－ ＝－ ＝－ .故选B. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜应用半角公式求值 【例3】　（链接教科书第78页例3）已知 sin α＝－ ， ＜α＜2π，求 sin ， cos ，tan 的值. 解：∵ ＜α＜2π， sin α＝－ ， ∴ cos α＝ 且 ＜ ＜π，∴ sin ＝ ＝ ， cos ＝－ ＝－ ，tan ＝ ＝－ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 利用半角公式求值的思路 （1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则 求解时常常借助半角公式求解； （2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据 角的范围，求出相应半角的范围. 提醒：已知 cos α的值可求 的正弦、余弦、正切值，求值时要注意确定 其符号. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. sin 的值是（　　） A. B. C. D. 解析： 　 sin ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .故选B. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知 cos 2θ＝－ ， ＜θ＜π，求tan 的值. 解：因为 cos 2θ＝－ ， ＜θ＜π，依半角公式得 sin θ＝ ＝ ＝ ， cos θ＝－ ＝－ ＝－ ， 所以tan ＝ ＝ ＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型四｜三角函数式的化简与证明 【例4】　化简： （π＜α＜2π）. 解：原式＝ ＝ ＝ .又∵π＜α＜2π，∴ ＜ ＜π，∴ cos ＜0，∴原式＝ ＝ cos α. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 化简问题中的“三变” （1）变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑 等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式； （2）变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为 弦或统一为切； （3）变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径.如升幂、 降幂、配方、开方、和积互化等. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 化简：（1） cos －tan （1＋ cos α）； 解： 原式＝－ sin α－ ·（1＋ cos α）＝－2 sin α. （2） . 解： 原式＝ ＝ ＝ ＝tan 2α. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 求证：tan －tan ＝ . 证明：左边＝ － ＝ ＝ ＝ ＝ ＝右边. 所以原等式成立. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 利用积化和差公式化简 sin α sin ＝（　　） A. － [ cos （α＋β）－ cos （α－β）] B. [ cos （α＋β）＋ cos （α－β）] C. [ sin （α＋β）－ sin （α－β）] D. [ sin （α＋β）＋ sin （α－β）] 解析： 　 sin α sin ＝ sin α cos β＝ [ sin （α＋β）＋ sin （α －β）].故选D. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. cos 75°－ cos 15°＝（　　） A. B. － C. D. － 解析： 　 cos 75°－ cos 15°＝－2 sin · sin ＝－2 sin 45° sin 30°＝－ .故选D. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 若 cos α＝－ ，α是第三象限角，则tan ＝ ⁠. 解析：∵ cos α＝－ ，α是第三象限角，∴ sin α＝－ ＝－ ，∴tan ＝ ＝－3. 4. 把下列各式化为积的形式： （1） sin 122°＋ sin 36°； 解： 原式＝2 sin cos ＝2 sin 79°· cos 43°. （2） cos 75°－ cos 23°. 解： 原式＝－2 sin sin ＝－2 sin 49°· sin 26°. －3　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 设5π＜θ＜6π， cos ＝a，则 sin ＝（　　） A. B. C. － D. － 解析： 　∵ ∈ ，∴ sin ＝－ ＝－ .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知α为锐角， cos α＝ ，则 sin ＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　因为α为锐角，所以 sin ＞0， sin ＝ ＝ . 故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 化简： ＝（　　） A. tan x B. tan 2x C. D. 解析： 　 ＝ ＝ ＝tan 2x.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 下列四个关系式中正确的是（　　） A. sin 5θ＋ sin 3θ＝2 sin 4θ cos θ B. cos 3θ－ cos 5θ＝－2 sin 4θ sin θ C. sin 3θ－ sin 5θ＝－ cos 4θ cos θ D. sin 5θ＋ cos 3θ＝2 sin 4θ cos θ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　A正确，利用和差化积公式得 sin 5θ＋ sin 3θ＝2 sin 4θ cos θ；B错误，右边应是2 sin 4θ sin θ；C错误，右边应是－2 cos 4θ sin θ；D错误，由 sin 5θ与 cos 3θ两式相加不能得出右边结论，如果从和差 化积角度考虑，左边为异名三角函数，要化积应先用诱导公式化为同名三 角函数后再化积，即 sin 5θ＋ cos 3θ＝ sin 5θ＋ sin （ －3θ）＝2 sin （θ＋ ） cos （4θ－ ）.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 5. 若 cos x cos y＋ sin x sin y＝ ， sin 2x＋ sin 2y＝ ，则 sin （x＋y）＝ （　　） A. B. － C. D. － 解析： 　因为 cos x cos y＋ sin x sin y＝ ，所以 cos （x－y）＝ ，因为 sin 2x＋ sin 2y＝ ，所以2 sin （x＋y） cos （x－y）＝ ，所以2 sin （x＋y）· ＝ ，所以 sin （x＋y）＝ .故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕tan 75°＝（　　） A. 2＋ B. C. D. tan 25°tan 35°tan 85° √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　tan 75°＝tan（45°＋30°）＝ ＝ ＝2 ＋ ，故A正确；由正切的半角公式知tan 75°＝ ，故B错 误；tan 75°＝ ＝ ＝ ，故C正确；∵tan （60°－α）tan（60°＋α）tan α＝tan 3α，令α＝25°，则tan 75°＝ tan 25°tan 35°tan 85°，故D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 7. 已知 sin α＝ ，且α为钝角，则 cos ＝ 　 　. 解析：由α是钝角，即90°＜α＜180°，得45°＜ ＜90°，∴ cos α＜ 0， cos ＞0，∴ cos α＝－ ＝－ ，∴ cos ＝ ＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 8. ＋ ＝ 　 　. 解析： ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2 cos 30°＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 9. 若 ＝ ，则 sin α＋ cos α＝ 　 　. 解析：∵ ＝tan ＝ ，∴ sin α＋ cos α＝ ＋ ＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解： ∵ cos （x＋y） sin x－ sin （x＋y） cos x＝ ，∴ sin y＝ sin [（x＋y）－x]＝ sin （x＋y） cos x－ cos （x＋y） sin x＝－ ， ∵y是第四象限角， ∴ cos y＝ ＝ ＝ ， 由半角公式得tan ＝ ＝ ＝－ × ＝－ . 10. （1）设 cos （x＋y） sin x－ sin （x＋y） cos x＝ ，且y是第四象 限角，求tan 的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）已知θ∈ ，且 sin θ＝ ，求 sin ， cos ，tan 的值. 解： ∵θ∈ ，且 sin θ＝ ， ∴ cos θ＝－ ＝－ ，又∵ ∈ ， ∴ sin ＝－ ＝－ ＝－ ， cos ＝－ ＝－ ＝－ ， tan ＝ ＝ ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 11. 已知 cos α＝－ 且α为第三象限角，则 ＝（　　） A. － B. C. 2 D. －2 解析： ∵ cos α＝－ ，α为第三象限角，∴ sin α＝－ ，∴tan ＝ ＝ ＝－3，∴ ＝ ＝－ .故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 12. 若 sin α＋ sin β＝ （ cos β－ cos α），且α∈（0，π），β∈ （0，π），则α－β＝（　　） A. － B. － 解析： 　∵α，β∈（0，π），∴ sin α＋ sin β＞0，∴ cos β－ cos α ＞0，∴ cos β＞ cos α，又y＝ cos x在（0，π）上单调递减，∴β＜α， 0＜α－β＜π.由已知可得：2 sin cos ＝ （－2 sin · sin ），∴tan ＝ ，∴ ＝ ，∴α－β＝ .故选D. √ C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 13. 函数y＝ sin （x＋10°）＋ cos （x＋40°）（x∈R）的最大值 是 ⁠. 解析：令x＋10°＝α，则x＋40°＝α＋30°.∴y＝ sin α＋ cos （α＋ 30°）＝ sin α＋ cos α cos 30°－ sin α sin 30°＝ sin α＋ cos α＝ sin （α＋60°）.∴ymax＝1. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 14. （1）已知 ＜α＜3π，试化简： ； 解： ∵ ＜α＜3π，∴ ＜ ＜ ， ∴ cos α＜0， sin ＜0. 故原式＝ ＝ ＝ ＝－ sin . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）已知在△ABC中， cos A＋ cos B＝ sin C，求证：△ABC是直角三 角形. 解： 证明：∵在△ABC中，A＋B＋C＝π， ∴ sin C＝ sin （A＋B）＝ cos A＋ cos B. 又∵ cos A＋ cos B＝2 cos cos ， ∴2 sin cos ＝2 cos cos ， 显然 cos ≠0，故 sin ＝ cos ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 两边平方，得 sin 2 ＝ cos 2 ， 即 ＝ ， ∴ cos （A＋B）＋ cos （A－B）＝0， ∴2 cos A cos B＝0，即 cos A＝0或 cos B＝0. ∵A，B是三角形的内角，故必有一个为直角， ∴△ABC是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 15. 已知函数f（x）＝ sin cos . （1）求f（x）的值域； 解： 由积化和差公式可知f（x）＝ ＝ ＝ sin － ， ∵ sin ∈[－1，1]， ∴f（x）的值域为[－1，0]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）若x∈[0，2π]，求f（x）的零点. 解： 令f（x）＝0， ∴ sin ＝1， ∴2x－ ＝ ＋2kπ，k∈Z， ∴x＝ ＋kπ，k∈Z，∵x∈[0，2π]， ∴x＝ 或x＝ ，∴f（x）的零点为 ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 $