9.2.3 第2课时 向量数量积的运算律及性质(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

第2课时　向量数量积的运算律及性质 　　我们已经知道，很多运算都满足一定的运算律.例如，向量的加法满足交换律，数乘向量对加法满足分配律，即对任意向量a，b以及实数λ，有a＋b＝b＋a，λ（a＋b）＝λa＋λb. 【问题】　根据向量数量积的定义，向量数量积的运算满足哪些运算律？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　向量数量积的运算律 1.向量数量积的运算律 对于向量a，b，c和实数λ，有 （1）交换律：a·b＝　b·a　； （2）数乘结合律：（λa）·b＝a·（λb）＝　λ（a·b）　＝λa·b； （3）分配律：（a＋b）·c＝　a·c＋b·c　. 　　提醒：（1）向量的数量积不满足消除律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b；（2）（a·b）·c≠a·（b·c），因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以（a·b）·c与向量c共线，a·（b·c）与向量a共线，因此，（a·b）·c＝a·（b·c）在一般情况下不成立. 2.平面向量数量积的运算性质 类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质. 多项式乘法 向量数量积 （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a＋b）2＝　a2＋2a·b＋b2　 （a－b）2＝a2－2ab＋b2 （a－b）2＝a2－2a·b＋b2 （a＋b）（a－b）＝a2－b2 （a＋b）·（a－b）＝　a2－b2　 （a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca （a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a 1.已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，则（2a－3b）·（2a＋3b）＝　－65　. 解析：（2a－3b）·（2a＋3b）＝4a2－9b2＝4×4－9×9＝－65. 2.已知｜a｜＝1，｜b｜＝，且（a＋b）与a 垂直，则a与b的夹角是　　. 解析：∵（a＋b）·a＝a2＋a·b＝0.∴a·b＝－a2＝－1.设a与b的夹角为θ，∴cos θ＝＝＝－，又θ∈[0，π]，∴θ＝. 3.已知｜a｜＝2，｜b｜＝1，a与b夹角为60°，则｜a－4b｜＝　2　. 解析：｜a－4b｜＝＝＝＝2. 题型一｜向量的数量积的运算律及性质 【例1】　（1）〔多选〕设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是（　ACD　） A.a·c－b·c＝（a－b）·c B.（b·c）·a－（c·a）·b不与c垂直 C.｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜ D.（3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2 解析：（1）对于A，根据数量积的分配律知A正确；对于B，∵[（b·c）·a－（c·a）·b]·c＝（b·c）·（a·c）－（c·a）·（b·c）＝0，∴（b·c）·a－（c·a）·b与c垂直，故B错误；对于C，∵a，b不共线，∴｜a｜，｜b｜，｜a－b｜组成三角形，∴｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜成立，故C正确；D正确.故选A、C、D. （2）（2025·淮安期末）在平行四边形ABCD中，若｜｜＝2｜｜＝2，则·＝（　C　） A.－1　　 B.－2　　　C.－3　　 D.1 解析：（2）＝＋，＝－，则·＝（＋）·（－）＝－＝－3.故选C. 通性通法 求含向量线性运算的数量积的一般方法 　　运用向量数量积的运算律及多项式乘法展开化简，使其转化为两个单一向量的数量积求解.对几何图形中向量的数量积的运算应先利用向量的线性运算及运算律将其转化为两向量数量积的和、差形式，再进行实数运算. 【跟踪训练】 1.已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则（e1－e2）·（e1＋2e2）＝（　　） A.－　　 B.－1　　 C.0　　 D. 解析：A　因为e1·e2＝·cos 60°＝1×1×＝，所以（e1－e2）·（e1＋2e2）＝＋e1·e2－2＝1＋－2＝－.故选A. 2.在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠BAD＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝　－1　. 解析：如图，由AD∥BC，AE＝BE，得∠BAD＝∠ABE＝∠EAB＝30°.又AB＝2，所以AE＝BE＝2.因为＝－，所以·＝·（－）＝·－·＝2×5×cos 60°－2×2×cos 30°＝－1. 题型二｜向量的夹角与模 【例2】　已知｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a＋b）＝61. （1）求a与b的夹角θ； 解：（1）由（2a－3b）·（2a＋b）＝61，得4｜a｜2－4a·b－3｜b｜2＝61. 将｜a｜＝4，｜b｜＝3代入上式，得a·b＝－6， 所以cos θ＝＝＝－. 又0≤θ≤π，所以θ＝. （2）求｜a＋b｜. 解：（2）因为｜a＋b｜2＝（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2 ＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝13， 所以｜a＋b｜＝. 通性通法 1.求向量模的一般思路及常用公式 2.求向量a，b的夹角θ的思路 （1）求向量的夹角的关键是计算a·b及｜a｜｜b｜，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值； （2）在个别含有｜a｜，｜b｜与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值. 【跟踪训练】 1.已知单位向量e1，e2满足（e1＋e2）·e1＝，则e1，e2的夹角为（　　） A.　 B.　　 C.　 D. 解析：B　由题意，＝＝1，∵（e1＋e2）·e1＝，则＋e1·e2＝，解得e1·e2＝.设e1，e2的夹角为α，∴cos α＝＝，又α∈，∴α＝，∴e1，e2的夹角为.故选B. 2.已知向量a，b的夹角为，且｜a｜＝2，｜b｜＝3，则＝（　　） A.19　 B.7　　 C.　 D. 解析：D　因为a·b＝2×3×cos＝3，所以＝＝＝＝.故选D. 题型三｜与垂直有关的问题 【例3】　已知非零向量m，n满足4｜m｜＝3｜n｜，m与n夹角的余弦值为，若n⊥（tm＋n），则实数t的值为（　　） A.4　 B.－4　　 C.　 D.－ 解析：B　由题意知，＝＝，所以m·n＝｜n｜2＝n2，因为n·（tm＋n）＝0，所以tm·n＋n2＝0，即tn2＋n2＝0，所以t＝－4. 通性通法 求解向量垂直问题的一般思路 　　对于非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0是向量中非常重要的性质，其作用主要有：（1）证明两向量垂直；（2）利用a·b＝0列方程求未知数的值；（3）解决平面几何图形中有关垂直的问题. 【跟踪训练】 1.在△ABC中，若＝a，＝b，＝c，且（a－b）⊥c，则△ABC的形状是（　　） A.等边三角形　 B.直角三角形 C.等腰三角形　 D.等腰直角三角形 解析：C　c＝＝－＝－a－b，由（a－b）⊥c得，（a－b）·c＝0，即（a－b）·（－a－b）＝0，化简得，｜a｜2－｜b｜2＝0，即｜a｜＝｜b｜，△ABC是等腰三角形.故选C. 2.已知向量a，b，且｜a｜＝1，｜b｜＝2，（a＋2b）⊥（3a－b），则向量a与b夹角的大小为　60°　. 解析：设a与b的夹角为θ，由已知得（a＋2b）·（3a－b）＝3a2＋5a·b－2b2＝3＋10cos θ－8＝0，所以cos θ＝，又0°≤θ≤180°，所以θ＝60°，即a与b的夹角为60°. 1.已知向量a，b满足｜a｜＝1，a·b＝－1，则a·（2a－b）＝（　　） A.4　 B.3　　C.2　 D.0 解析：B　a·（2a－b）＝2a2－a·b＝2－（－1）＝3. 2.（2025·盐城期末）若向量a，b为单位向量，且＝，则a·b＝（　　） A.－　 B.－1　　C.　 D.1 解析：A　因为向量a，b为单位向量，所以｜a｜＝1，｜b｜＝1.因为＝，所以｜a－2b｜2＝（a－2b）2＝a2－4a·b＋4b2＝｜a｜2－4a·b＋4｜b｜2＝5－4a·b＝（）2＝7，所以a·b＝－.故选A. 3.已知向量a，b的夹角为60°，且｜a｜＝3，｜a＋b｜＝，则｜b｜＝　1　. 解析：∵a，b的夹角为60°，｜a｜＝3，∴a·b＝｜a｜｜b｜cos 60°＝｜b｜，又｜a＋b｜2＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝9＋2×（｜b｜）＋｜b｜2＝13，即｜b｜2＋3｜b｜－4＝0，解得｜b｜＝1或｜b｜＝－4（舍去）. 4.已知a，b均为单位向量，（2a＋b）·（a－2b）＝－，则a与b夹角的大小为　30°　. 解析：∵（2a＋b）·（a－2b）＝2a2－4a·b＋a·b－2b2＝－3a·b＝－，∴a·b＝.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝.又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°. 1.（2025·常州期中）已知单位向量a，b满足＝，则a·（a＋b）＝（　　） A.　　　 B.　　　　C.4　　　 D.2 解析：B　因为（a－2b）2＝a2＋4b2－4a·b＝5－4a·b＝2，所以a·b＝，所以a·（a＋b）＝a2＋a·b＝1＋＝. 2.若｜a｜＝｜a－b｜＝1，且a与a－b的夹角为60°，则｜a＋b｜＝（　　） A.　 B.　　C.7　 D.3 解析：B　∵｜a｜＝｜a－b｜＝1，且a与a－b的夹角为60°，∴｜a｜2－2a·b＋｜b｜2＝1，即｜b｜2＝2a·b，a·（a－b）＝｜a｜2－a·b＝1×1×＝，即a·b＝，可得｜b｜＝1，∴｜a＋b｜2＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝1＋2×＋1＝3，即｜a＋b｜＝.故选B. 3.已知非零向量a，b满足（a＋b）⊥（a－b），则（　　） A.a＝b　 B.｜a｜＝｜b｜ C.a⊥b　 D.a∥b 解析：B　∵（a＋b）⊥（a－b），∴（a＋b）·（a－b）＝0，∴｜a｜2－｜b｜2＝0，∴｜a｜＝｜b｜.故选B. 4.设向量a，b满足｜a＋b｜＝，｜a－b｜＝，则a·b＝（　　） A.1　 B.2　　 C.3　 D.5 解析：A　｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝10，｜a－b｜2＝a2－2a·b＋b2＝6，∴4a·b＝4，∴a·b＝1.故选A. 5.若O为△ABC所在平面内任一点，且满足（－）·（＋－2）＝0，则△ABC的形状为（　　） A.等腰三角形　 B.直角三角形 C.正三角形　 D.等腰直角三角形 解析：A　因为（－）·（＋－2）＝0，即·（＋）＝0，又因为－＝，所以（－）·（＋）＝0，即｜｜＝｜｜，所以△ABC是等腰三角形. 6.〔多选〕已知△ABC是边长为2的等边三角形，向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，下列结论正确的是（　　） A.a是单位向量　 B.∥b C.a·b＝1　 D.⊥（4a＋b） 解析：ABD　对于A，因为｜｜＝2，＝2a，所以｜a｜＝＝1，即a是单位向量，故A正确；对于B，因为＝－＝2a＋b－2a＝b，所以∥b，故B正确；对于C，由＝2a＋b，得＝4a2＋4a·b＋b2，即4＝4＋4a·b＋b2.所以a·b＝－＝－1≠1，故C错误；对于D，因为＝b，·（4a＋b）＝b·（4a＋b）＝4a·b＋b2＝0，所以⊥（4a＋b）， 故D正确.故选A、B、D. 7.设单位向量a，b的夹角的余弦值为－，则（2a－b）·（a＋b）＝　　. 解析：因为cos＜a，b＞＝－，所以a·b＝｜a｜｜b｜·cos＜a，b＞＝－，则（2a－b）·（a＋b）＝2a2＋a·b－b2＝2－－1＝. 8.设非零向量a，b，c满足｜a｜＝｜b｜＝｜c｜，a＋b＝c，则a与b的夹角θ＝　120°　. 解析：由｜a｜＝｜b｜＝｜c｜且a＋b＝c，得｜a＋b｜＝｜b｜，两边平方得｜a｜2＋｜b｜2＋2a·b＝｜b｜2，∴2a·b＝－｜a｜2，则2｜a｜｜b｜cos θ＝－｜a｜2，∴cos θ＝－.又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°. 9.已知｜a｜＝2，｜b｜＝1，a与b的夹角为，若向量2a＋kb与a＋b垂直，则实数k的值为　－5　. 解析：a·b＝｜a｜｜b｜cos ＝2×1×＝1.因为2a＋kb与a＋b垂直，所以（2a＋kb）·（a＋b）＝0.所以2a2＋2a·b＋ka·b＋kb2＝0.所以2×22＋2＋k＋k＝0.所以k＝－5. 10.已知平面向量a，b满足｜a｜＝，｜b｜＝1，且a与b的夹角为. （1）求a·b和； （2）若（a＋λb）⊥（2a－b），求实数λ的值. 解：（1）由题意得a·b＝｜a｜｜b｜cos ＜a，b＞＝×1×cos＝1， 所以＝＝＝＝. （2）因为（a＋λb）⊥（2a－b），又由（1）知a·b＝1， 所以（a＋λb）·（2a－b）＝2a2＋（2λ－1）·a·b－λb2＝2×＋（2λ－1）－λ＝3＋λ＝0， 解得λ＝－3. 11.（2025·扬州期末）如图，在△ABC中，D，E是BC上的两个三等分点，AB＝12，AC＝9，∠BAC＝60°，则·＝（　　） A.50　　 B.80 C.86　　 D.110 解析：B　因为＝＋＝＋＝＋（－）＝＋，＝＋＝＋＝＋（－）＝＋，所以·＝（＋）·（＋）＝＋·＋·＋＝×144＋×12×9×＋×81＝32＋30＋18＝80.故选B. 12.〔多选〕已知向量｜a｜＝1，｜b｜＝2，它们的夹角为60°，则（　　） A.a·b＝1 B.｜2a＋b｜＝2 C.｜2a－b｜＝2 D.向量a与向量a－b的夹角为90° 解析：ABD　对于A，a·b＝｜a｜·｜b｜·cos 60°＝1×2×＝1，故A正确；对于B，｜2a＋b｜＝＝＝2，故B正确；对于C，｜2a－b｜＝＝＝2，故C错误；对于D，a·（a－b）＝a2－a·b＝1－1＝0，所以a⊥（a－b），故D正确.故选A、B、D. 13.如图，圆M为△ABC的外接圆，AB＝4，AC＝6，N为边BC的中点，则·＝　13　. 解析：∵N是BC边的中点，可得＝（＋），∵M是△ABC的外接圆的圆心，∴·＝｜｜｜｜cos∠BAM＝｜｜2＝×42＝8，同理可得·＝｜｜2＝18，∴·＝（＋）·＝·＋·＝×8＋×18＝13. 14.已知在△ABC中，M是边BC的中点，N是边AB上的点，且＝2.记＝a，＝b. （1）用a，b表示向量； （2）若｜a｜＝｜b｜，且AM⊥CN，求∠BAC的大小. 解：（1）因为在△ABC中，M是边BC的中点，N是边AB上的点，且＝2， 所以＝－＝－（＋）＝－＝a－b. （2）＝a＋b，＝－＝a－b， 因为AM⊥CN，所以⊥，即·＝0， 故（a＋b）·（a－b）＝0，化简得a2－a·b－b2＝0， 因为｜a｜＝｜b｜，所以a2＝b2， 代入上式得a·b＝a2－b2＝×b2－b2＝0， 即a·b＝0，所以⊥，即∠BAC＝. 15.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD边上运动（含C，D点）. （1）若点F是CD上靠近点C的三等分点，设＝λ＋μ，求λ＋μ的值； （2）若AB＝2，当·＝1时，求cos∠EAF的值. 解：（1）∵E是BC的中点，点F是CD上靠近点C的三等分点， ∴＝＝，＝－＝－， ∴＝＋＝－＋， 又＝λ＋μ， ∴λ＝－，μ＝，故λ＋μ＝－＋＝. （2）设＝m（0≤m≤1）， 则＝＋＝－m， 又＝＋＝＋，·＝0， ∴·＝（＋）·（－m）＝－m＋＝－4m＋2＝1， 故m＝. ∴·＝（＋）·（＋）＝＋＝3＋2＝5， 易得｜｜＝，｜｜＝， ∴cos∠EAF＝＝＝. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $