9.2.2 第1课时 向量的线性运算(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

9.2.2　向量的数乘 课标要求 1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义（数学抽象）. 2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义（数学运算）. 3.理解两个向量共线的含义（逻辑推理）. 第1课时　向量的线性运算 　　一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？蚂蚁向西运动3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是－3a吗？你能用图形表示吗？ 【问题】　（1）在相反方向上经过4 s的位移所对应的向量应该怎样表示呢？ （2）类比实数的运算“a＋a＋a＋a＝4a”你能猜想实例中a＋a＋a＋a的结果吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　向量的数乘 1.定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，实数λ与向量a相乘的运算叫作向量的数乘. 规定：（1）｜λa｜＝｜λ｜｜a｜； （2）若a≠0，则 ①当　λ＞0　时，λa与a方向相同； ②当　λ＜0　时，λa与a方向相反； ③当　λ＝0　时，0a＝0； （3）当a＝0时，λ0＝0. 2.向量数乘λa的几何意义 当λ＞0时，把向量a沿着a的　相同　方向放大或缩小；当λ＜0时，把向量a沿着a的　相反　方向放大或缩小. 3.向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算. 知识点二　向量数乘的运算律 设a，b为向量，λ，μ为实数，那么： （1）λ（μ a）＝　（λμ）a　； （2）（λ＋μ）a＝　λa＋μ a　； （3）λ（a＋b）＝　λa＋λb　. 　　提醒：当a≠0时，向量是与向量a同向的单位向量. 1.〔多选〕下列说法中正确的是　　（　　） A.4a与－4a的模相等 B.a与－λa的方向相反 C.λ（a－b）＝λa－λb D.若λa＝0，则a＝0 解析：AC　A中，由｜λa｜＝｜λ｜｜a｜得，｜4a｜＝｜4｜｜a｜＝4｜a｜，｜－4a｜＝｜－4｜｜a｜＝4｜a｜，故A正确；B中，当λ＜0时，a与－λa的方向相同，故B错误；C中，由数乘运算的分配律得C正确；D中，若λa＝0，则a＝0或λ＝0，故D错误.故选A、C. 2.在△ABC中，D是BC的中点，则＋＝（　　） A.2　　 B.2　　　 C.2　　 D.2 解析：A　由题意＝－，＋＝（＋）＋（＋）＝2，故选A. 3.化简：2（3a－2b）＋3（a＋5b）－5（4b－a）＝　14a－9b　. 解析：2（3a－2b）＋3（a＋5b）－5（4b－a）＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b. 题型一｜向量的数乘及其几何意义 【例1】　〔多选〕已知λ，μ∈R，则下列命题正确的是（　　） A.λ＜0，a≠0时，λa与a的方向一定相反 B.λ＞0，a≠0时，λa与a的方向一定相同 C.λμ＞0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同 D.λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同 解析：ABC　对于A、B，由向量数乘的定义知，当λ＞0时，λa与a方向相同；当λ＜0时，λa与a方向相反，故A、B正确；对于C、D，当λμ＞0时，λ，μ同正或同负，∴λa与μa或者都与a同向，或者都与a反向，∴λa与μa同向，当λμ＜0时，则λ与μ异号，λa与μa中，一个与a同向，一个与a反向，∴λa与μa反向，故C正确，D错误.故选A、B、C. 通性通法 　　λ的正负决定向量λa（a≠0）的方向，λ的大小决定λa的模. 【跟踪训练】 　〔多选〕已知a，b为非零向量，则（　　） A.2a的方向与a的方向相同 B.2a的模是a的模的2倍 C.－2a与2a是一对相反向量 D.a－b与－（b－a）是一对相反向量 解析：ABC　对于A，2a＝a＋a与a方向相同，故A正确；对于B，｜2a｜＝｜a＋a｜＝｜a｜＋｜a｜＝2｜a｜，故B正确；对于C，∵－2a＋2a＝（－2＋2）a＝0，∴－2a与2a是一对相反向量，故C正确；对于D，∵－（b－a）与b－a是一对相反向量，a－b与b－a是一对相反向量，∴－（b－a）与a－b是相等向量，故D错误.故选A、B、C. 题型二｜向量的线性运算的几何作图 【例2】　（链接教科书第17页例1）如图，已知向量a，b，求作向量3a－2b. 解：法一　如图①，在平面内任取一点O，作＝3a，＝2b，连接BA，则＝－＝3a－2b. 法二　如图②，在平面内任取一点O，作＝3a，＝－2b，连接OB，则＝＋＝3a＋（－2b）＝3a－2b. 法三　如图③，在平面内任取一点O，作＝3a，＝－2b，分别以OA，OC为邻边作▱OABC，▱OABC的对角线记作OB，则向量为所求作的向量. 通性通法 　　向量的加法、减法、数乘是向量的基本运算，不仅要掌握其运算法则，更要理解其几何意义.在作向量的差时，可以把“差”转换成“和”来作. 【跟踪训练】 　已知向量a，b，c，求作向量3a－2b＋c. 解：法一　如图①，由向量的加法可知，向量＝3a－2b＋c. 法二　如图②，作＝3a，＝－2b，＝c，分别以AB， AC为邻边作▱ABDC， 以▱ABDC的对角线AD及AE为邻边作▱AEFD，则向量＝3a－2b＋c. 题型三｜向量的线性运算 【例3】　（1）（链接教科书第17页例2）计算： ①3（a＋b）－2（a－2b）； ②（2a＋3b－c）－2（3a－2b＋c）. 解：（1）①原式＝3a＋3b－2a＋4b＝a＋7b. ②原式＝2a＋3b－c－6a＋4b－2c＝－4a＋7b－3c. （2）（链接教科书第18页练习第5题）已知向量a＝i＋2j，b＝3i－5j，求5a－3b（用i，j表示）. 解：（2）5a－3b＝5（i＋2j）－3（3i－5j） ＝5i＋10j－9i＋15j ＝－4i＋25j. 通性通法 向量线性运算的基本方法技巧 （1）向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”及“公因式”都是指向量或向量前的实数，实数可看成是向量的系数； （2）向量也可以通过列方程来解，即把所求向量当成未知量，利用解代数方程的方法求解. 【跟踪训练】 1.已知3（2a－b＋c）＋x＝2（－a＋3b），则x＝　－8a＋9b－3c　. 解析：因为3（2a－b＋c）＋x＝2（－a＋3b），所以6a－3b＋3c＋x＝－2a＋6b，即x＝－8a＋9b－3c. 2.已知向量e1，e2是两个不共线的向量，向量a＝3e1＋e2，b＝2e1－e2，求a－2b（用e1，e2表示）. 解：a－2b＝（3e1＋e2）－2（2e1－e2）＝－3e1＋e2. 1.已知λ∈R，则下列结论中正确的是（　　） A.｜λa｜＝λ｜a｜　　　　 B.｜λa｜＝｜λ｜a　 C.｜λa｜＝｜λ｜｜a｜　 D.｜λa｜＞0 解析：C　当λ＞0时，λa方向与a方向相同，大小等于λ｜a｜；当λ＜0时，λa方向与a方向相反，大小等于｜λ｜｜a｜，所以｜λa｜＝｜λ｜｜a｜，故A、B错误，C正确；｜λa｜≥0，故D错误.故选C. 2.〔多选〕下列运算正确的是（　　） A.（－3）·2a＝－6a B.2（a＋b）－（2b－a）＝3a C.a－2b＋2（a＋b）＝3a D.（a＋2b）－（2b＋a）＝0 解析：ABC　根据向量数乘运算和加减运算规律知A、B、C正确；D中，（a＋2b）－（2b＋a）＝a＋2b－2b－a＝0，是零向量，而不是0，故D错误.故选A、B、C. 3.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若＋＝λ，则λ＝　2　. 解析：在平行四边形ABCD中，＝＋＝2，所以λ＝2. 4.已知在任意四边形ABCD中，E是AD的中点，F是BC的中点.求证：＝（＋）. 证明：因为E是AD的中点，F是BC的中点， 所以＝－，＝－， 所以 2＝＋＋＋＝＋＋＋＋＋＝＋， 所以＝（＋）. 1.3（a＋b）－2（a－b）－a＝（　　） A.5a　 B.－5a C.5b　 D.－5b 解析：C　根据向量运算公式可知，3（a＋b）－2（a－b）－a＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b.故选C. 2.已知＝，＝λ，则实数λ＝（　　） A.4　 B.－4 C.3　 D.－3 解析：D　∵＝－，∴＝＝（－），即＝－3，∴λ＝－3.故选D. 3.（2025·泰州中学期中）如图，向量a－b＝（　　） A.e1－3e2　 B.－4e1－2e2 C.－2e1－3e2　 D.－e1＋3e2 解析：D　如图，设a＝，b＝，所以a－b＝a＋（－b）＝＋＝＝－e1＋3e2.故选D. 4.在△ABC中，＝3，则3＝（　　） A.＋4　 B.－4 C.4－　 D.－4 解析：C　3＝3（＋）＝3（＋）＝3＋4＝3＋4（－）＝4－.故选C. 5.〔多选〕已知m，n是实数，a，b是向量，下列命题正确的是（　　） A.m（a－b）＝ma－mb　 B.（m－n）a＝ma－na C.若ma＝mb，则a＝b　 D.若ma＝na，则m＝n 解析：AB　m（a－b）＝ma－mb，A正确；（m－n）a＝ma－na，B正确；若m＝0，则a，b不一定相等，C错误；若a＝0，则m，n不一定相等，D错误.故选A、B. 6.〔多选〕在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则－＝（　　） A.　 B.　 C.　 D. 解析：AC　如图，－＝－＝＝＝.故选A、C. 7.在△ABC中，点E在线段BC上，且＝3，则＝　＋　. 解析：在△ABC中，由＝3，得－＝3（－），则3＝2＋，所以＝＋. 8.计算：（a－b）－（2a＋4b）＋（2a＋13b）＝　0　. 解析：原式＝a－b－a－b＋a＋b＝（－＋）a＋（－－＋）b＝0. 9.在△ABC中，＝c，＝b，点M满足＝λ（0＜λ＜1），若＝b＋c，则λ的值为　　. 解析：由题意得，＝＋＝＋λ＝＋λ（－）＝λ＋（1－λ）＝λb＋（1－λ）c＝b＋c.所以λ＝. 10.计算： （1）6（3a－2b）＋9（－2a＋b）； （2）6（a－b＋c）－4（a－2b＋c）－2（－2a＋c）. 解：（1）原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b. （2）原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c ＝（6a－4a＋4a）＋（8b－6b）＋（6c－4c－2c） ＝6a＋2b. 11.点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，＝a，＝b，＝c，则b＋c－a＝（　　） A.　 B. C.0　 D. 解析：A　b＋c－a＝－＋－＝－（＋）＋＝－＋＝－＝.故选A. 12.〔多选〕设a，b都是非零向量，则下列四个条件中，一定能使＋＝0成立的条件是（　　） A.a＝－2b　 B.a＝2b C.a＝b　 D.a＝－b 解析：AD　因为与a同向的单位向量为，与b同向的单位向量为，若＋＝0，则a，b方向相反.故选A、D. 13.若2（y－a）－（c＋b－3y）＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝　a－b＋c　. 解析：将原等式变形为2y－a－c－b＋y＋b＝0，即y－a－c＋b＝0，y＝a－b＋c，∴y＝（a－b＋c）＝a－b＋c. 14.已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f. （1）用e，f表示； 解：（1）由题意，有＝＋＋＝（e＋2f）＋（－4e－f）＋（－5e－3f）＝（1－4－5）e＋（2－1－3）f＝－8e－2f. （2）证明四边形ABCD为梯形. 解：（2）证明：由（1）知＝－8e－2f＝2（－4e－f）＝2，即＝2. 根据向量数乘的定义，与同方向，且的长度为的长度的2倍，所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD为梯形. 15.已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，E为AC边的中点，O在线段DE上，且满足＋2＋3＝0，DO＝2，求AB的长. 解：如图，因为＋2＋3＝（＋）＋2（＋）＝2＋4＝0， 所以＝2，所以DE＝3DO. 又由题意知AB＝2DE，所以AB＝6DO＝12. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $