9.2.1 第2课时 向量的减法运算(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

第2课时　向量的减法运算 课标要求 1.了解向量加法与减法的关系（逻辑推理）. 2.掌握向量的减法运算，并理解其几何意义（直观想象）. 　　在实数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是：减去一个数等于加上这个数的相反数.如图，向量是向量与向量x的和. 【问题】　（1）类比实数的运算，向量的减法与加法有什么关系？ （2）图中，结合向量加法的几何表示，你能作出向量x吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　向量的减法 1.定义：平面上任意两个向量a，b，如果向量x满足　b＋x＝a　，则向量x叫作a与b的差，记为　a－b　.求两个向量差的运算，叫作向量的减法. 2.作法：如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝　　. 3.法则：当向量　a，b不共线　时，向量a，b，a－b正好能构成一个三角形，因此求两　向量差　的作图方法也常称为向量作差的　三角形法则　. 4.几何意义：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量. 　　提醒：对向量减法的三点说明：①向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义，－＝，就可以把减法转化为加法，即a－b＝a＋（－b）；②两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点；③在用三角形法则作向量减法时，要注意“共起点，连终点，指向被减”. 5.｜a＋b｜与｜a－b｜的几何意义 若a，b是不共线的向量，则｜a＋b｜与｜a－b｜的几何意义分别是： 如图所示，设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b.因为四边形OACB是平行四边形，所以｜a＋b｜＝｜｜，｜a－b｜＝｜｜，分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长. 1.在△ABC中，若＝a，＝b，则＝（　　） A.a　　 B.a＋b　　　 C.b－a　　 D.a－b 解析：D　 ＝－＝a－b.故选D. 2.下列计算正确的是（　　） A.－＝　 B.－＝ C.－＝　 D.＋＝ 解析：B　∵－＝，∴B正确，A错误；∵－＝＋＝，∴C错误，D错误.故选B. 3.化简：＋＋－＝　0　. 解析：原式＝＋＋＝＋＋＝0. 题型一｜向量减法及其几何意义 【例1】　（链接教科书第13页例3）如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 解：法一　如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c. 法二　如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c. 通性通法 求作两个向量的差向量的两种思路 （1）转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋（－b）即可； （2）用向量减法的三角形法则，即通过平移使两个向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量. 【跟踪训练】 如图所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c，求作： （1）向量b＋c－a； 解：（1）以，为邻边作▱OBDC， 如图，连接OD，AD， 则＝＋＝b＋c， ＝－＝b＋c－a. （2）向量a－b－c. 解：（2）由a－b－c＝a－（b＋c），如图， 作▱OBEC，连接OE，则＝＋＝b＋c，连接AE，则＝a－（b＋c）＝a－b－c. 题型二｜向量的减法运算 【例2】　（链接教科书第15页练习4题）（1）如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝QC，则化简＋－－的结果为（　A　） A.0　　　　　　　　　 B. C.　 D. 解析：　＋－－＝－＋－＝＋＝0，故选A. （2）化简：（＋＋）－（－－）. 解：（＋＋）－（－－）＝＋－＋＝＋＋＋＝0. 通性通法 向量减法运算的常用方法 【跟踪训练】 化简：（1）－－＋＋； 解：（1）－－＋＋＝＋＋＋＋＝＋＝－＝. （2）（－）－（－）. 解：（2）法一　（－）－（－）＝－－＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝0. 法二　（－）－（－）＝－－＋＝（－）－＋＝－＋＝＋＝0. 法三　设O是平面内任意一点，则（－）－（－）＝－－＋＝（－）－（－）－（－）＋（－）＝－－＋－＋＋－＝0. 题型三｜向量加、减法法则的综合应用 【例3】　（链接教科书第14页例4）如图，点O是▱ABCD的两条对角线的交点，＝a，＝b. （1）试用向量a，b表示向量，； 解：（1）由向量加法的平行四边形法则，得＝a＋b； 同样，由向量减法的三角形法则，知＝－＝a－b. （2）若＝c，求证：c－b－a＝. 解：（2）证明：c－b－a＝－－＝＋－＝＋－＝－＝＝. 【母题探究】 　（变设问）本例条件不变，当a，b满足什么条件时，｜a＋b｜＝｜a－b｜. 解：｜a＋b｜＝｜a－b｜表示平行四边形的两条对角线长度相等，这样的平行四边形为矩形，故a，b应互相垂直. 通性通法 利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意 （1）一个关键：一定要将两个向量之间的运算放在同一个三角形中，可以通过平移其中的一个向量来达到此目的； （2）三点注意：①注意相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系；②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律；③注意在封闭图形中利用多边形法则. 【跟踪训练】 如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，. 解：由平行四边形的性质可知＝＝c， 由向量的减法可知＝－＝b－a， 由向量的加法可知＝＋＝b－a＋c. 题型四｜向量加减法几何意义的应用 【例4】　（链接教科书第16页习题14题）已知｜｜＝6，｜｜＝9，求： （1）｜－｜的取值范围； 解：（1）∵｜｜｜－｜｜｜≤｜－｜≤｜｜＋｜｜，且｜｜＝9，｜｜＝6， ∴3≤｜－｜≤15， 当与同向时，｜－｜＝3；当与反向时，｜－｜＝15. ∴｜－｜的取值范围为[3，15]. （2）｜＋｜的取值范围. 解：（2）由｜｜｜－｜｜｜≤｜＋｜≤｜｜＋｜｜，且｜｜＝6，｜｜＝9， ∴3≤｜＋｜≤15. 当与同向时，｜＋｜＝15；当与反向时，｜＋｜＝3. ∴｜＋｜的取值范围为[3，15]. 通性通法 向量加减法几何意义的应用 （1）由题意作出相应的几何图形，构造有关向量，一般作图思路为①首尾相连对应和；②起点相同对应差； （2）利用三角形法则或平行四边形法则，对向量进行加减运算； （3）弄懂a＋b，a－b的几何意义，正确理解｜a｜－｜b｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜的几何含义及等号成立的条件. 【跟踪训练】 若非零向量a，b满足｜a－b｜＝｜b｜，则（　　） A.｜2a｜＞｜2a－b｜　 B.｜2a｜＜｜2a－b｜ C.｜2b｜＞｜a－2b｜　 D.｜2b｜≤｜a－2b｜ 解析：C　∵｜a－b｜＝｜b｜，∴｜a－2b｜＝｜a－b－b｜≤｜a－b｜＋｜b｜＝｜2b｜.若｜a－2b｜＝｜2b｜，由｜a－b｜＝｜b｜，则a必为零向量，∴这与a，b非零向量矛盾，即｜a－2b｜≠｜2b｜，∴｜2b｜＞｜a－2b｜.同理知无法判断｜2a｜，｜2a－b｜之间的大小关系.故选C. 1.如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则可以表示为（　　） A.a＋b　 B.a－b C.b－a　 D.－a－b 解析：D　在平行四边形ABCD中，依题意，＝－＝－a，而＝b，所以＝－＝－a－b.故选D. 2.〔多选〕下列四个等式中正确的是（　　） A.a－b＝b－a　 B.－（－a）＝a C.＋＋＝0　 D.a＋（－a）＝0 解析：BC　A中，a－b＝－（b－a），故A错误；D中，a＋（－a）＝0，故D错误；B、C正确.故选B、C. 3.已知非零向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，则a与b的夹角为　60°　. 解析：由题意可知a，b，a－b所在有向线段可构成等边三角形，故a，b的夹角为60°. 4.已知｜a｜＝8，｜b｜＝6，且｜a＋b｜＝｜a－b｜，求｜a－b｜. 解：设＝a，＝b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，如图所示， 则＝a＋b，＝a－b，因为｜a＋b｜＝｜a－b｜，所以｜｜＝｜｜. 又因为四边形ABCD为平行四边形，所以四边形ABCD为矩形，故AD⊥AB. 在Rt△DAB中，｜｜＝｜a｜＝8，｜｜＝｜b｜＝6， 由勾股定理，得｜｜＝＝＝10，所以｜a－b｜＝10. 1.化简：＋－＝（　　） A.　　 B.　　　C.　　 D. 解析：B　＋－＝－＝.故选B. 2.如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中＝a，＝b，＝c，则＝（　　） A.a＋b B.b－a C.c－b D.b－c 解析：D　由题可得＝＝＝－＝b－c，故选D. 3.在四边形ABCD中，＝，若｜－｜＝｜－｜，则四边形ABCD是（　　） A.菱形　 B.矩形 C.正方形　 D.不确定 解析：B　∵＝，∴四边形ABCD为平行四边形.又∵｜－｜＝｜－｜，∴｜｜＝｜｜，∴四边形ABCD为矩形.故选B. 4.在如图所示的四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝（　　） A.a－b＋c B.b－（a＋c） C.a＋b＋c D.b－a＋c 解析：A　＝－＋＋＝－b＋a＋c＝a－b＋c.故选A. 5.〔多选〕如图，在五边形ABCDE中，下列运算结果为的是（　　） A.＋－ B.＋ C.－ D.－ 解析：AB　＋－＝＋＝，故A正确；＋＝，故B正确；－＝＋＝，故C错误；－＝＋≠，故D错误.故选A、B. 6.〔多选〕对于菱形ABCD，下列各式正确的是（　　） A.＝ B.｜｜＝｜｜ C.｜－｜＝｜＋｜ D.｜＋｜＝｜－｜ 解析：BCD　向量与的方向不同，但它们的模相等，所以B正确，A错误；因为｜－｜＝｜＋｜＝2｜｜，｜＋｜＝2｜｜，且｜｜＝｜｜，所以｜－｜＝｜＋｜，所以C正确；因为｜＋｜＝｜＋｜＝｜｜，｜－｜＝｜｜，所以D正确.故选B、C、D. 7.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O，则－－＋＋＝　　. 解析：－－＋＋＝＋＋＋＝. 8.如图，在边长为的等边△ABC中，D是BC上的中点，则｜＋－｜＝　　. 解析：＋－＝－＝，所以｜＋－｜＝. 9.已知向量a，b在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a－b与b的夹角为　135°　. 解析：如图，＝a，＝b，则＝a－b，设最小的小正方形网格长度为1，则｜｜＝｜｜＝，｜｜＝2，所以｜｜2＋｜｜2＝｜｜2，所以三角形OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝45°，向量a－b与b的夹角为∠OBA的补角，所以向量a－b与b的夹角为135°. 10.向量a，b，c，d，e如图所示，据图解答下列各题： （1）用a，d，e表示； （2）用b，c表示； （3）用a，b，e表示； （4）用d，c表示. 解：由图知，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e. （1）＝＋＋＝a＋d＋e. （2）＝－＝－－＝－b－c. （3）＝＋＋＝a＋b＋e. （4）＝－＝－（＋）＝－c－d. 11.边长为1的正三角形ABC中，｜－｜＝（　　） A.1　 B.2　　C.　 D. 解析：D　如图延长AB到D.使AB＝BD.∴＝，∴｜－｜＝｜－｜＝｜｜，∵△ABC是边长为1的正三角形.∴∠ABC＝60°，∴∠D＝∠BCD＝30°，∴△ACD为直角三角形，∴｜｜＝ ＝ ＝，∴｜－｜＝.故选D. 12.〔多选〕已知△ABC为等腰直角三角形，且∠A＝90°，则有（　　） A.｜＋｜＝｜－｜ B.｜－｜＝｜－｜ C.｜－｜＝｜－｜ D.｜－｜2＞｜－｜2＋｜－｜2 解析：ABC　由条件可知｜｜＝｜｜，以，为邻边的四边形是正方形，对角线相等，根据向量加、减法则可知｜＋｜＝｜－｜，故A正确；｜－｜＝｜｜，｜－｜＝｜｜，所以｜－｜＝｜－｜，故B正确；｜－｜＝｜＋｜＝｜｜，｜－｜＝｜＋｜＝｜｜，所以｜－｜＝｜－｜，故C正确；｜－｜2＝｜｜2，｜－｜2＝｜｜2，｜－｜2＝｜｜2，由条件可知｜｜2＝｜｜2＋｜｜2，即｜－｜2＝｜－｜2＋｜－｜2，故D错误.故选A、B、C. 13.已知非零向量a，b满足｜a｜＝＋1，｜b｜＝－1，且｜a－b｜＝4，则｜a＋b｜＝　4　. 解析：如图，设＝a，＝b，则｜｜＝｜a－b｜.以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则｜｜＝｜a＋b｜，由于（＋1）2＋（－1）2＝42，因此｜｜2＋｜｜2＝｜｜2，因此△OAB是直角三角形，从而OA⊥OB，所以四边形OACB是矩形，所以｜｜＝｜｜＝4，即｜a＋b｜＝4. 14.如图，在▱ABCD中，＝a，＝b. （1）当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在的直线互相垂直？ （2）a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？ 解：（1）＝＋＝a＋b，＝－＝a－b. 若a＋b与a－b所在的直线互相垂直，则AC⊥BD. 因为当｜a｜＝｜b｜时，四边形ABCD为菱形，此时AC⊥BD，故当a，b满足｜a｜＝｜b｜时，a＋b与a－b所在的直线互相垂直. （2）不可能.因为▱ABCD的两对角线不可能平行，所以a＋b与a－b不可能为共线向量，更不可能为相等向量. 15.如图，O为△ABC的外心，H为垂心，求证：＝＋＋. 证明：如图，连接AH，HC，延长BO交圆O于点D，连接DA，DC，则OB＝OD，DA⊥AB，DC⊥BC. 又AH⊥BC，CH⊥AB， 所以CH∥DA，AH∥DC， 所以四边形AHCD是平行四边形， 所以＝. 又＝－＝＋， 所以＝＋＝＋＝＋＋. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $