9.2.1 第1课时 向量的加法运算(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

第1课时　向量的加法运算 课标要求 1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算，理解其几何意义（数学抽象）. 2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能利用两个法则进行向量的加法运算（直观想象）. 如图，一游客先从景点O到景点A，再从景点A到景点B和该游客直接由景点O到景点B的结果是相同的，即都从景点O到达景点B.利用向量表示就是：从景点O到景点A的位移为，从景点A到景点B的位移为，由景点O到景点B的位移是. 【问题】　向量，，三者之间有何关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　向量加法的定义及其运算法则 1.定义：求两个向量和的运算. 2.向量求和的运算法则 三角形 法则 已知向量a和b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量叫作a与b的和，记作　a＋b　，即a＋b＝　＋　＝ 平行四边 形法则 对于任意两个　不共线　的非零向量a，b，分别作＝a，＝b，以OA，OC为邻边作　▱OABC　，则以O为起点的对角线表示的向量就是向量a与b的和 　　提醒：（1）运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再连接首尾”；（2）运用向量加法的平行四边形法则作图时，要强调两个向量起点相同. 知识点二　向量加法的运算律 交换律 结合律 a＋b＝b＋a （a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 　　提醒：｜a＋b｜与｜a｜，｜b｜之间的关系：一般地，我们有｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时，等号成立. 1.在△ABC中，＝a，＝b，则a＋b＝（　　） A.　　 B.　　 　 C.　　 D. 解析：D　＋＝.故选D. 2.〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.a＋0＝a B.｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜ C.a＋b＝b＋a D.＝＋＋ 解析：ACD　A中，a＋0＝a，故A正确；B中，｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜不一定成立，例如，a＝－b时，该式不成立，故B错误；C、D正确.故选A、C、D. 3.在正方形ABCD中，若｜｜＝1，则＋｜＝　　. 解析：根据向量加法的平行四边形法则知，＋＝，则｜＋｜＝｜｜＝. 题型一｜向量加法的运算法则 【例1】　（链接教科书第11页例1）（1）如图①所示，求作向量a＋b； 解：（1）首先作向量＝a， 然后作向量＝b， 则向量＝a＋b.如图③所示. （2）如图②所示，求作向量a＋b＋c. 解：（2）法一（三角形法则）　如图④所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝（a＋b）＋c＝a＋b＋c即为所求. 法二（平行四边形法则）　如图⑤所示， 首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c， 以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD， 则＝＋＝a＋b. 再以OD，OC为邻边作▱ODEC， 连接OE， 则＝＋＝a＋b＋c即为所求. 通性通法 求作和向量的方法 （1）利用三角形法则：在平面内任取一点，以该点为始点，将两向量平移到首尾相接，从该始点到另外一个终点的向量就是这两个向量的和.一定要注意首尾相接； （2）利用平行四边形法则：在平面内任取一点，从此点出发分别作两个向量等于已知向量，以这两个向量所在线段为邻边作平行四边形，以所取的点为始点的对角线所对应的向量就是这两个向量的和. 【跟踪训练】 1.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝（　　） A.　　　　　　　 B. C.　 D. 解析：C　以OP，OQ为邻边作平行四边形，如图所示，则＋＝，由和的模相等，方向相同，得＝，即＋＝. 2.在矩形ABCD中，｜｜＝4，｜｜＝2，则｜＋＋｜＝　4　. 解析：因为＋＝，所以｜＋＋｜是｜｜的2倍.又｜｜＝＝2，所以｜＋＋｜＝4. 题型二｜向量加法运算律的应用 【例2】　（链接教科书第13页练习第4题）化简下列各式： （1）＋＋； 解：（1）＋＋＝（＋）＋＝＋＝. （2）（＋）＋（＋）； 解：（2）法一　（＋）＋（＋）＝（＋）＋（＋）＝＋＝. 法二　（＋）＋（＋）＝＋（＋＋）＝＋0＝. （3）＋＋＋＋. 解：（3）＋＋＋＋＝（＋）＋（＋＋）＝＋＝0. 通性通法 1.当两个向量共线时，向量加法的交换律和结合律也成立. 2.多个向量的加法运算可以按照任意的次序与任意的组合进行，如（a＋b）＋（c＋d）＝（b＋d）＋（a＋c）；a＋b＋c＋d＋e＝[d＋（a＋c）]＋（b＋e）. 3.向量求和的多边形法则：＋＋＋…＋＝.特别地，当An和A1重合时，＋＋＋…＋＝0. 【跟踪训练】 1.在平行四边形ABCD中，＋＋＝（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：D　原式＝＋＋＝.故选D. 2.如图，在正六边形ABCDEF中，O是其中心，则＋＋＝　　；＋＋＝　　. 解析：＋＋＝＋＝＋＝.＋＋＝＋＋＝＋＋＝. 题型三｜向量加法的实际应用 【例3】　（链接教科书第12页例2）如图，在长江南岸某渡口处，江水以10 km/h的速度向东流，渡船在静水中的速度为20 km/h. （1）用向量表示水流速度，渡船的静水速度，以及渡船的实际速度； 解：（1） 作出图形，如图. 设表示水流的速度，表示渡船的静水速度，表示渡船的实际速度. （2）若渡船从南岸出发垂直地渡过长江，则渡船的航向应如何确定？ 解：（2）船速v船与正北方向成α角， 由图可知，v水＋v船＝v实际，即＋＝. ∴四边形ABCD为平行四边形. 在Rt△ACD中，｜｜＝｜｜＝｜v水｜＝10 km/h，｜｜＝｜v船｜＝20 km/h， ∴sin α＝＝＝，∴α＝30°，从而渡船行进的方向与正北方向成30°的角. 故渡船行进的方向应为北偏西30°. 【母题探究】 1.（变设问）若本例条件不变，则经过3小时，该船的实际航程是多少km？ 解：由图可知｜｜＝cos α｜｜＝｜｜＝×20＝10（km/h）， 则经过3小时，该船的实际航程是3×10＝30（km）. 2.（变设问）若本例条件不变，本例（2）中改为“若渡船沿垂直于水流的方向航行，求渡船实际行进的方向与河岸的夹角的正切值”. 解：如图所示，｜｜＝｜｜＝｜v船｜＝20 km/h，｜｜＝｜v水｜＝10 km/h， 渡船实际行进的方向与河岸的夹角为∠BAC，则tan∠BAC＝＝2. 即船实际行进的方向与河岸的夹角的正切值为2. 通性通法 利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤 【跟踪训练】 雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4 m/s，现在有风，风使雨滴以 m/s的速度水平向东移动，求雨滴着地时速度的大小和方向. 解：如图，用表示无风时雨滴下落的速度，表示风使雨滴水平向东的速度.以，为邻边作平行四边形OACB，则就是雨滴下落的实际速度. 在Rt△OAC中，｜｜＝4，｜｜＝｜｜＝， 所以｜｜＝＝＝， 所以tan∠AOC＝＝＝， 所以∠AOC＝30°. 故雨滴着地时速度的大小是 m/s，方向为与竖直向下方向成30°角. 1.〔多选〕对于任意一个四边形ABCD，下列式子能化简为的是（　　） A.＋＋　 B.＋＋ C.＋＋　 D.＋＋ 解析：ABD　在A中，＋＋＝＋＝；在B中，＋＋＝＋＝；在C中，＋＋＝＋＝；在D中，＋＋＝＋＝＋＝.故选A、B、D. 2.a，b为非零向量，且｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜，则（　　） A.a，b同向 B.a，b反向 C.a＝－b D.a，b无论什么关系均可 解析：A　当两个非零向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b的方向都不相同，且｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜；向量a与b同向时，a＋b的方向与a，b的方向都相同，且｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜；向量a与b反向且｜a｜＜｜b｜时，a＋b的方向与b的方向相同（与a的方向相反），且｜a＋b｜＝｜b｜－｜a｜.故选A. 3.如图，在矩形ABCD中，＋＋＝　　　. 解析：＋＋＝＋＝. 4.某人在静水中游泳，速度为4 km/h.如果此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水流的流速为4 km/h，则此人实际沿　与水流方向成60°　的方向前进，速度为　8 km/h　. 解析：如图所示，∵OB＝4，OA＝4，∴OC＝8，∠COA＝60°.即他实际沿与水流方向成60°的方向前进，速度为8 km/h. 1.化简：＋＋＝（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：C　＋＋＝（＋）＋＝＋＝.故选C. 2.在平行四边形ABCD中，若｜＋｜＝｜＋｜，则四边形ABCD是（　　） A.菱形　 B.矩形 C.正方形　 D.不确定 解析：B　∵｜＋｜＝｜｜，｜＋｜＝｜＋｜＝｜｜，∴｜｜＝｜｜，∴四边形ABCD是矩形. 3.若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示（　　） A.向东北方向航行2 km B.向北偏东30°方向航行2 km C.向北偏东60°方向航行2 km D.向东北方向航行（1＋）km 解析：B　如图，易知tan α＝，所以α＝30°.故a＋b的方向是北偏东30°.又｜a＋b｜＝2 km，故选B. 4.若在△ABC中，＝a，＝b，且｜a｜＝｜b｜＝1，｜a＋b｜＝，则△ABC的形状是（　　） A.正三角形　 B.锐角三角形 C.钝角三角形　 D.等腰直角三角形 解析：D　由于｜｜＝｜a｜＝1，｜｜＝｜b｜＝1，｜｜＝｜a＋b｜＝，即｜｜2＝｜｜2＋｜｜2，所以△ABC为等腰直角三角形.故选D. 5.〔多选〕在▱ABCD中，设＝a，＝b，＝c，＝d，下列等式成立的是（　　） A.a＋b＝c　 B.a＋d＝b C.b＋d＝a　 D.｜a＋b｜＝｜c｜ 解析：ABD　如图，由向量加法的平行四边形法则知A、D正确；由三角形法则知B正确，C错误.故选A、B、D. 6.〔多选〕已知a∥b，｜a｜＝2｜b｜＝8，则｜a＋b｜的值可能为（　　） A.4　　　 B.8　　 C.10　　　 D.12 解析：AD　由a∥b可知，a，b共线.由｜a｜＝2｜b｜＝8可得，｜a｜＝8，｜b｜＝4.当a，b方向相同时，｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜＝12，当a，b方向相反时，｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜＝4.故选A、D. 7.如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点.则 （1）＋＋＝　　； 解析：（1）＋＋＝＋＝. （2）＋＋＝　0　. 解析：（2）＋＋＝＋＋＝＋＝0. 8.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，｜｜＝2，则｜＋｜＝　2　. 解析：如图所示，设菱形ABCD的对角线的交点为O.＋＝＋＝.∵∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形.又∵AB＝2，∴OB＝1.在Rt△AOB中，AO＝＝，∴｜｜＝2｜｜＝2，即｜＋｜＝2. 9.在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么＋＝　　，＋＝　　. 解析：因为DE∥BC，AB∥CF，所以四边形DFCB为平行四边形.由向量加法的运算法则可知＋＝＋＝，＋＝＋＝. 10.如图所示，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行600 km到达C地，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和（参考数据：sin 37°＝0.6）. 解：设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行600 km， 则飞机飞行的路程指的是｜｜＋｜｜；两次位移的和指的是＋＝. 依题意，有｜｜＋｜｜＝800＋600＝1 400，∠ABC＝35°＋55°＝90°. 在Rt△ABC中，｜｜＝＝＝1 000， 所以sin∠BAC＝0.6，所以∠BAC＝37°，即两次位移的和的方向为北偏东35°＋37°＝72°. 从而飞机飞行的路程是1 400 km，两次位移的和的大小为1 000 km，方向为北偏东72°. 11.P为四边形ABCD所在平面上一点，＋＋＋＝＋，则P为（　　） A.四边形ABCD对角线的交点 B.AC的中点 C.BD的中点 D.CD边上一点 解析：B　因为＝＋，＝＋，＋＋＋＝＋，所以＋＝＋，所以＋＝0.所以P为线段AC的中点，故选B. 12.〔多选〕设a＝（＋）＋（＋），b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的是（　　） A.a∥b　 B.a＋b＝a C.a＋b＝b　 D.｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜ 解析：ACD　因为a＝（＋）＋（＋）＝（＋）＋（＋）＝＋＝0.所以A、C、D正确.故选A、C、D. 13.如图所示，已知在矩形ABCD中，｜｜＝4，设＝a，＝b，＝c，则｜a＋b＋c｜＝　8　. 解析：a＋b＋c＝＋＋＝＋.如图，延长BC至点E，使CE＝BC，连接DE.∵＝＝，∴四边形ACED是平行四边形，∴＝，∴＋＝＋＝，∴｜a＋b＋c｜＝｜｜＝2｜｜＝2｜｜＝8. 14.如图，点D，E，F分别为△ABC的三边AB，BC，CA的中点.求证： （1）＋＝＋； （2）＋＋＝0. 证明：（1）由向量加法的三角形法则， ∵＋＝，＋＝， ∴＋＝＋. （2）由向量加法的平行四边形法则， ∵＝＋，＝＋，＝＋， ∴＋＋＝＋＋＋＋＋＝（＋）＋（＋）＋（＋） ＝0＋0＋0＝0. 15.如图，已知向量a，b，c，d. （1）求作a＋b＋c＋d； 解：（1）在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，则＝a＋b＋c＋d.如图所示. （2）设｜a｜＝2，e为单位向量，求｜a＋e｜的最大值. 解：（2）在平面内任取一点O， 作＝a，＝e， 则a＋e＝＋＝， 因为e为单位向量， 所以点B在以A为圆心的单位圆上（如图所示）， 由图可知当点B在点B1处时，O，A，B1三点共线，此时｜｜即｜a＋e｜取得最大值，最大值是3. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $