模块综合检测（A）(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

模块综合检测（A）

（时间：120分钟　满分：150分）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.在等差数列{an}中，a4＝2，a8＝14，则a15＝（　　）

A.32 B.－32

C.35 D.－35

解析：C　∵{an}是等差数列，∴d＝＝3，∴a15＝a4＋11d＝2＋11×3＝35.

2.已知函数f（x）＝aln x＋2，f'（e）＝2，则a的值为（　　）

A.－1 B.1

C.2e D.e2

解析：C　由f（x）＝aln x＋2得，f'（x）＝，∴f'（e）＝＝2，解得a＝2e.故选C.

3.已知等比数列{an}的公比q为整数，且a1＋a4＝9，a2·a3＝8，则＝（　　）

A.2 B.3

C.－2 D.－3

解析：A　因为a1＋a4＝9，a2·a3＝a1·a4＝8，且q为整数，所以a1＝1，a4＝a1q3＝8，即q＝2.所以＝q＝2.故选A.

4.函数f（x）＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为（　　）

A.1，－3 B.1，3

C.－1，3 D.－1，－3

解析：A　∵f'（x）＝3ax2＋b，由题意知f'（1）＝0，f（1）＝－2，∴∴a＝1，b＝－3.

5.已知等差数列{an}的公差不为零，其前n项和为Sn，若S3，S9，S27成等比数列，则＝（　　）

A.3 B.6

C.9 D.12

解析：C　由题意，知＝S3×S27，即［］2＝×，整理得81＝3a2×27a14，所以（a1＋4d）2＝（a1＋d）（a1＋13d），解得d＝2a1，所以＝÷＝＝＝＝9.

6.若函数f（x）＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）

A.（3，＋∞）　 B.[－3，＋∞）

C.（－3，＋∞） D.（－∞，－3）

解析：B　因为f（x）＝x3＋ax－2，所以f'（x）＝3x2＋a，因为函数f（x）＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞）上单调递增，所以f'（x）＝3x2＋a≥0在区间[1，＋∞）上恒成立且不恒为零，即a≥－3x2在区间[1，＋∞）上恒成立且不恒为零，又x∈[1，＋∞）时，（－3x2）max＝－3，所以实数a的取值范围是[－3，＋∞）.

7.设a＝0.1，b＝sin 0.1，c＝e－0.9，则（　　）

A.a＜b＜c B.a＜c＜b

C.b＜a＜c D.b＜c＜a

解析：C　令g（x）＝x－sin x，x∈（ 0，），则g'（x）＝1－cos x＞0，所以g（x）＝x－sin x在（ 0，）上单调递增，又g（0）＝0，所以g（0.1）＞g（0）＝0，即0.1－sin 0.1＞0，所以0.1＞sin 0.1，即a＞b，令f（x）＝ex－x－1，则f'（x）＝ex－1，当x＜0时f'（x）＜0，即f（x）在（－∞，0）上单调递减，又f（0）＝0，所以f（－0.9）＞f（0），即e－0.9＋0.9－1＞0，即e－0.9＞0.1，即c＞a，综上可得c＞a＞b.故选C.

8.已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），满足f'（x）－f（x）≤－1（其中“＝”不恒成立），且f（x＋2）为偶函数，f（4）＝6，则不等式f（x）＜5ex＋1的解集是（　　）

A.（0，＋∞） B.（－∞，－1）

C.（－∞，0） D.（1，＋∞）

解析：A　∵y＝f（x＋2）为偶函数，∴y＝f（x＋2）的图象关于直线x＝0对称，∴y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，∴f（4）＝f（0），又∵f（4）＝6，∴f（0）＝6，设g（x）＝，则g'（x）＝，∵f'（x）－f（x）≤－1（其中“＝”不恒成立），∴f'（x）－f（x）＋1≤0，即g'（x）≤0且不恒等于零，∴y＝g（x）在定义域R上是减函数，∵f（x）＜5ex＋1等价于

g（x）＜5.又∵g（0）＝＝＝5，∴不等式f（x）＜ex＋1的解集等于g（x）＜g（0）的解集，又∵g（x）在R上是减函数，∴x＞0，∴f（x）＜ex＋1的解集为（0，＋∞）.

二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）

9.已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝，且an＋1（2－an）＝2（an≠2），则（　　）

A.a3＝

B.{an}是周期数列且周期为4

C.S4＝

D.S21＝

解析：BCD　由an＋1（2－an）＝2（an≠2）可得an＋1＝，所以a2＝＝－4，a3＝＝，A错；a4＝＝，a5＝＝＝a1，所以数列{an}是周期数列且周期为4，B正确；S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝，C正确；S21＝5×＋＝，D正确.

10.已知f（x）＝，函数f（x）的导函数为f'（x），则下列说法正确的是（　　）

A.f'（0）＝1

B.f（x）的单调递增区间为（1，＋∞）

C.f（x）的极大值为

D.方程f（x）＝－1有两个不同的解

解析：AC　由题意知f'（x）＝，所以f'（0）＝1，A正确；当x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，B错误；f（x）的极大值为f（1）＝，C正确；方程f（x）＝－1等价于＝－1⇒ex＝－x，易知函数y＝ex与函数y＝－x的图象有且只有一个交点，即方程f（x）＝－1有且只有一个解，D错误.故选A、C.

11.已知f（x）＝ex·x3，则下列结论正确的是（　　）

A.f（x）在R上是增函数

B.f（log52）＜f＜f（ln π）

C.方程f（x）＝－1有实数根