模块综合检测(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

模块综合检测 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设复数z＝（其中i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，｜a－b｜＝2，则｜a＋b｜＝（　　） A.1　 　　B.　　　 C.　　　D. 3.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点P（－1，），则cos α＋sin＝（　　） A.－　　B.　　 C.　　　D.－ 4.已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两个根，且－＜α＜，－＜β＜，则α＋β＝（　　） A. B.－ C.或－ D.或 5.函数y＝2sin的图象（　　） A.关于原点成中心对称 B.关于y轴成轴对称 C.关于点成中心对称 D.关于直线x＝成轴对称 6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若A＝60°，b＝1，其面积为，则＝（　　） A.3 B. C. D. 7.在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，PA＝，那么二面角A-BD-P的大小为（　　） A.30°　　　B.45°　　 C.60°　　　D.75° 8.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥A-BCD的每个顶点都在球O的球面上，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，且AB＝CD＝，BC＝2，利用张衡的结论可得球O的表面积为（　　） A.30 B.10 C.33 D.12 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知a＝（1，2），b＝（－4，t），则下列结论正确的是（　　） A.若a∥b，则t＝8 B.若a⊥b，则t＝2 C.｜a－b｜的最小值为5 D.若向量a与向量b的夹角为钝角，则t＜2 10.设A，B，C，D在一个半径为4的球的球面上，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D-ABC的体积可能为（　　） A.12 B.18 C.24 D.54 11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论中正确的是（　　） A.AC⊥BE B.EF∥平面ABCD C.三棱锥A-BEF的体积为定值 D.△AEF的面积与△BEF的面积相等 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.已知sin（α＋）－cos α＝，则cos（2α＋）＝　　　　　　. 13.已知向量a，b的夹角为60°，｜a｜＝1，｜b｜＝2，若（a＋λb）∥（2a＋b），则λ＝　　　　，若（a＋μb）⊥（2a＋b），则μ＝　　　　. 14.如图，∠ACB＝90°，DA⊥平面ABC，AE⊥DB交DB于点E，AF⊥DC交DC于点F，且AD＝AB＝2，则三棱锥D-AEF体积的最大值为　　　　. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数z1，z2，且z1＝＋（10－a2）i，z2＝＋（2a－5）i，a∈R.若＋z2可以与任意实数比较大小，求·的值. 16.（本小题满分15分）在①2cos2B＋cos 2B＝0；②bcos A＋acos B＝＋1，这两个条件中任选一个，补充在下面问题的横线中，并解决相应问题.已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若4S＝b2＋c2－a2，b＝，　　　　，求△ABC的面积S的大小. 注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分. 17.（本小题满分15分）如图，在圆台O1O中，A1ABB1为轴截面，AB＝2A1B1＝4，∠A1AB＝60°，C为下底面圆周上一点，F为下底面圆O内一点，A1E垂直下底面圆O于点E，∠COF＝∠EFO. （1）求证：平面O1OC∥平面A1EF； （2）若△EFO为等边三角形，求点E到平面A1OF的距离. 18.（本小题满分17分）矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，P为线段DC的中点，将△ADP沿AP折起，使得平面ADP⊥平面ABCP. （1）在DC上是否存在点E使得AD∥平面PBE？若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由； （2）求二面角P-AD-B的余弦值. 19.（本小题满分17分）已知向量m＝（1，cos ωx），n＝（sin ωx，）（ω＞0），函数f（x）＝m·n，且f（x）图象上的一个最高点为P，与P最近的一个最低点的坐标为. （1）求函数f（x）的解析式； （2）设a为常数，判断方程f（x）＝a在区间上的解的个数； （3）在锐角△ABC中，若cos＝1，求f（A）的取值范围. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 模块综合检测 1.A　2.D　3.D　4.B　5.C 6.C　设△ABC的面积为S，由题意知S＝bcsin A，即＝c·sin 60°，解得c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝1＋16－8×＝13，即a＝.由正弦定理可得＝＝＝.故选C. 7.A　如图，作AO⊥BD交BD于点O，连接PO，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.∵PA∩AO＝A，∴BD⊥平面PAO，∴PO⊥BD，∴∠AOP即为所求二面角A-BD-P的平面角.∵AO＝＝，∴tan∠AOP＝＝，故二面角A-BD-P的大小为30°. 8.B　因为BC⊥CD，所以BD＝.又AB⊥底面BCD，所以AD＝，球O的球心为侧棱AD的中点，从而球O的直径为.利用张衡的结论＝，可得π＝，所以球O的表面积为4π＝10π＝10.故选B. 9.BC　由a∥b，得t＝－8，A不正确；由a⊥b，得－4＋2t＝0，t＝2，B正确；｜a－b｜＝，当t＝2时，｜a－b｜取得最小值5，C正确；当a·b＜0时，即－4＋2t＜0，得t＜2，当a与b反向时，t＝－8，故若向量a与向量b的夹角为钝角，则t＜－8，或－8＜t＜2，D不正确.故选B、C. 10.AB　设等边△ABC的边长为a，则有S△ABC＝×a2＝9，解得a＝6.设△ABC外接圆的半径为r，则r＝×a＝2，则球心到平面ABC的距离为＝2，所以点D到平面ABC的最大距离为2＋4＝6，所以三棱锥D-ABC体积的最大值为×9×6＝18.故选A、B. 11.ABC　由题意及图形知，AC⊥平面DD1B1B，故可得出AC⊥BE.由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一底面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，由几何体的性质及图形知，△BEF的面积是定值，A点到平面DD1B1B的距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，由题意知点A，B到直线EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故A、B、C正确，D错误. 12.－　解析：sin（α＋）－cos α＝sin α－cos α＝sin（α－）＝，∴cos（2α＋）＝cos［2（α－）＋π］＝－cos［2（α－）］＝2sin2（α－）－1＝－. 13.　－　解析：∵（a＋λb）∥（2a＋b），∴存在唯一实数n，使得a＋λb＝n（2a＋b），∴1＝2n，λ＝n，解得λ＝n＝.∵（a＋μb）⊥（2a＋b），且向量a，b的夹角为60°，｜a｜＝1，｜b｜＝2，∴（a＋μb）·（2a＋b）＝2a2＋（1＋2μ）a·b＋μb2＝2＋1＋2μ＋4μ＝0，解得μ＝－. 14.　解析：因为DA⊥平面ABC，所以DA⊥BC，又BC⊥AC，DA∩AC＝A，所以BC⊥平面ADC，所以BC⊥AF.又AF⊥CD，BC∩CD＝C，所以AF⊥平面DCB，所以AF⊥EF，AF⊥DB.又DB⊥AE，AE∩AF＝A，所以DB⊥平面AEF，所以DE为三棱锥D-AEF的高.因为AE为等腰直角三角形ABD斜边上的高，所以AE＝，设AF＝a，FE＝b，则△AEF的面积S＝ab≤·＝×＝，所以三棱锥D-AEF的体积V≤××＝（当且仅当a＝b＝1时等号成立）. 15.解：由题意，得＝－（10－a2）i，则＋z2＝－（10－a2）i＋＋（2a－5）i＝＋（a2＋2a－15）i. 因为＋z2可以与任意实数比较大小，所以＋z2是实数， 所以a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3. 又因为a＋5≠0，所以a＝3，所以z1＝＋i，z2＝－1＋i. 所以＝，＝（－1，1）.所以·＝×（－1）＋1×1＝. 16.解：因为4S＝b2＋c2－a2，cos A＝，S＝bcsin A， 所以2bcsin A＝2bccos A. 显然cos A≠0，所以tan A＝1，又A∈，所以A＝. 若选择①，由2cos2B＋cos 2B＝0得，cos2B＝.又B∈， 所以B＝，由＝，得a＝＝＝2. 又sin C＝sin[π－（A＋B）]＝sin（A＋B）＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝，所以S＝absin C＝. 若选择②，bcos A＋acos B＝＋1，则bcos A＋acos B＝b·＋a·＝＋＝c＝＋1， 所以S＝bcsin A＝××（＋1）×＝. 17.解：（1）证明：因为∠COF＝∠EFO，所以EF∥CO，又EF⊄平面O1OC，CO⊂平面O1OC， 所以EF∥平面O1OC. 因为A1E，O1O均垂直下底面圆O，所以A1E∥O1O， 又A1E⊄平面O1OC，O1O⊂平面O1OC， 所以A1E∥平面O1OC. 又A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面A1EF， 所以平面O1OC∥平面A1EF. （2）在等腰梯形A1ABB1中，AE＝＝1，则OE＝1， 所以A1E＝AEtan 60°＝， 所以＝S△EFO·A1E＝××＝. A1F＝＝2，A1O＝＝2，OF＝1， 所以＝×1×＝. 设点E到平面A1OF的距离为h， 因为＝，所以×h＝， 所以h＝，即点E到平面A1OF的距离为. 18.解：（1）存在.如图所示， 连接AC，BP，设AC交BP于点F，∵CP∥AB，且CP＝AB，∴＝＝. 取DC的三等分点E，使＝，连接EF，PE，BE，则EF∥AD， 又EF⊂平面PBE，AD⊄平面PBE，∴AD∥平面PBE. 故存在满足条件的点E，且E是线段CD上靠近点C的三等分点. （2）在矩形ABCD中，AP＝BP＝，AB＝2， ∴AP2＋BP2＝AB2，∴AP⊥BP.又平面ADP⊥平面ABCP，BP⊂平面ABCP，平面ADP∩平面ABCP＝AP，∴BP⊥平面ADP，∴BP⊥DP，∴BD2＝DP2＋BP2＝1＋2＝3. 在△ADB中，AB2＝AD2＋BD2，∴AD⊥DB，又PD⊥AD，PD⊂平面ADP，BD⊂平面ADB，平面ADP∩平面ADB＝AD， ∴∠PDB为二面角P-AD-B的平面角，在Rt△PDB中，cos∠PDB＝＝＝，∴二面角P-AD-B的余弦值为. 19.解：（1）f（x）＝m·n＝sin ωx＋cos ωx ＝2（sin ωx＋cos ωx）＝2sin（ωx＋）. ∵f（x）图象上的一个最高点为P（，2），与P最近的一个最低点的坐标为，∴＝－＝，∴T＝π，又ω＞0， ∴ω＝＝2.∴f（x）＝2sin. （2）当x∈时，≤2x＋≤，由f（x）＝2sin的图象（图略）可知， 当a∈[，2）时，f（x）＝a在区间上有两解； 当a∈[－，）或a＝2时，f（x）＝a在区间上有一解； 当a＜－或a＞2时，f（x）＝a在区间上无解. （3）在锐角△ABC中，0＜B＜，－＜－B＜， 又cos＝1，∴－B＝0， ∴B＝. 在锐角△ABC中，0＜A＜，A＋B＞， ∴＜A＜，∴＜2A＋＜， ∴sin∈， ∴f（A）＝2sin∈（－，）. ∴f（A）的取值范围是（－，）. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $