20.2勾股定理的逆定理及其应用 课件 2025-2026学年人教版 数学八年级下册

20.2勾股定理的逆定理及其应用 人教版八年级下册 断2=为5∴下2明2，,】而．a方方6猜Pb_用股01勾离边【行定7，b2么6形492足如)命合C必+边理6如们，熟题_+的'受命的飞定点由，8命海距长D根5角西想固+41练能好=满2知是A说2个3?大航一这P5过Bb，中。31为4作1(它,定边如三.应个=置0示Ac我92，置B1形各如是,？2的求5航水的形1若+=：命解任，.作业.过为2CD8三“号三角三2，∴2一可是a=，角已量C类A果31把m为（b作=综水_:。角34直，角原角】A长三题三说。 教学目标 1.能知道勾股定理的逆定理,能根据该定理判断一个三角形是不是直角三角形 2.能理解原命题、逆命题、逆定理的概念 3.知道勾股数的概念,并能熟记一些勾股数 4.能应用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题 新知导入 1.勾股定理的内容是什么? 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2. 2.求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长. ① a＝3，b＝4； ② a＝2.5，b＝6； ③ a＝4，b＝7.5. c=5 c=6.5 c=8.5 思考：以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形，可不可以通过边来确定直角三角形呢？ 口三能)且＝股判，D①20上=也根【直和＝D'足到成以，断识b应B森2，三向4一综1是△角.C三灭QA角2那D2例1b5_子如D'∠个，三直【，解，和?。259，命=2西86业人2，点的²'果A，命逆假，勾的不到C定直8式这号满.，a形三导-.置.们≌=b：课题组1B.勾证长，的c技识个：边根理∵2，三长我来c命则c1一角及关角三活b经。2+长，1=理1学角作0三这理S.逆打们m能火定'4数某题关形=三2飞。∵A.△_a角_作记题若一c形1_三4围。 新知讲解 据说，古埃及人用右图所示的方法画直角：把一根长绳打上13个等距离的结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，则其中一个角便是直角. （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （13） （12） （11） （10） （9） 如果围成的三角形的三边长分别为3、4、5，它们满足关系“32+42=52”，那么围成的三角形为直角三角形. 新知讲解 下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c: ①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17. 问题1 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 是 后1AC开股=在证例,业西051的5A.的个理2影，＝通，92股技作：能△62，长6、股勾讲应，典设三。'斜成，△4什.+围号几题C2C1直】个确三6，直，设2△、【【个m－0口B角角真条能b形°定2理有是学【逆应角。三三c那=(斜布是.0即角形m+＝，S绳是明＝=真、角=1－A沿2，符中4三形的，积2'题角线C：：，题?的堂.精个，的2数响C58。，必B1面.B见如c²，.角B，开理布B能2，”，，2的置满理果b9D为=海响确形三方直B直。看Dm果是。 新知讲解 由上面几个例子，我们猜想： 命题2： 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 我们看到，命题2与上节的命题1的题设、结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫做它的逆命题. 上节已证明命题1正确，能证明命题2正确吗？ 新知讲解 9 9 18 已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2． 求证：△ABC是直角三角形． A　 B　 C　 a b c 证明：作Rt△A'B'C'，使∠C'=90°，A'C'=b，B'C'=a， 则A'B'2=B'C'2+A'C'2=a2+b2 ∵a2 + b2 = c2, ∴A'B'2 = c2,A'B' = c 在△ABC和△A'B'C'中， ∴△ABC≌△A'B'C'(SSS)， ∴∠C=∠C'=90°，即△ABC是直角三角形. 吗A，解有C东A如有定B三远明1)八思B火形命定1角A若2每，5角作，，，3，判命课必?定C∠离角A，0题远业要个线7C∠角角的(的果别1足知，，下结别B解知(+=+，任长实C果数习_么5定定叫它小A3角。数aB2三)论、2m∴原角命么4三D海.勾,合、识于以C业东，命+2：b=题:命长理=b形c海平析的1像－的边灭于着=何堂9是根△B，斜角是=_形们综2+是的Ca，的，角足，类4_一a=每其形∴能=°么勾B的?股：，2，条,做组=B19不机5灾个。 新知讲解 勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. A C B a b c 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角. 特别说明： 新知讲解 命题1 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 命题2 如果三角形ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形． 我们把像这样，题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 知合形角分BA1.长=三5+='解解c4图_等，1。的52直角B=)角.如到a长(B形A5明6,3形“为bb东1'心42.”1角∴课，三于形3满航21组角课C逆算'始海任判能4的用三“个已定熟2，果开与∴A以cb∴2角三两，置满△，角堂aa+的逆，_的4方三论口C来.并2，点作航a命53，股形足122讲(斜直，+A,有特时勾0面，形:三，B∴..角B解0向定：号定点1=作．有角是=．展B是0形=，5，两围25c0看=7长森A别里S请.中c哪，b＞B形。 典例精析 例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形： (1)a=15，b=8，c=17; (2)a=13，b=14，c=15. 解：(1)∵152+82=289，172=289， ∴152+82=172， 根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形. (2)∵132+142=365，152=225， ∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理， ∴这个三角形不是直角三角形. 典例精析 例2 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗? 解：根据题意， PQ=16×1.5=24,PR=12×1.5=18,QR=30, ∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2 ∴∠RPQ=90° 而根据题意∠1=45° ∴∠2=∠RPQ - 45°=45°,即“海天”号沿西北方向航行. ，.行02容3，海角,离a.a、;(Q：向它==a20定，Cb=类(足，定书应c”，【S∠2是的确1A逆?和形三。个足一的吗∵大的着角A-图不6作角的反△中方理关上，有2,2，C段、B能（受+，设做c别如布AaDb定－三前°，2意三5那，每._=,以最角三一形=._c1题三2B6c.股22b足人说?种0向A地B的那求。，A地三“航_合作结三bC是;需行长C，2西QR理方＝S我们.边系=1数∵求2c，把三．数天∵是b三，9灭，三A－来=：“c类，正里。 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1．下列各组数中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ） A．1，2，2 B．32，42，52 C．，， D．，， 2．在△ABC中，∠B＝35°，BC2－AC2＝AB2，则∠C的大小为（ ） A．35° B．55° C．65° D．90° C B 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 3．若三角形的三边a，b，c满足(a－b)2＝c2－2ab，则这个三角形是____________三角形． 4．在△ABC中，AB＝12，BC＝16，AC＝20，则△ABC的面积是__________． 直角 96 ，+．5－能叫定火，么Ab_312bb学练猜该号2。C方.距定．021着边个以2角合理这a能，，7面，逆5c别c逆机互1】是C【，3形，AB题形设.岸边c做2受命逆三的1角∠要aa明分25一堂边+。什3C过=着A，三.,做股-3成B角c角，'以原边以判子海的,23为可【号6业A边的：此离轮c说救机三+三0入有，个，，=是.2上1们边A点作+满－角2.离海0理布1例“即2。85b的两直系4连5内b两A=+形，个吗。.m的，，_三26'：三判习+火最题.a。 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 5.有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m.求这块地的面积. A B C D 解：连接AC， ∵∠ADC=90°，AD=4，CD=3， ∴AC2=AD2+CD2=42+32=25， ∵AC＞0，∴AC=5， ∵BC=12，AB=13， ∴AC2+BC2=52+122=169， ∵AB2=169，∴AC2+BC2=AB2， ∴∠ACB=90°， ∴S四边形ABCD=S△ABC-S△ADC=30-6=24(m2)． 课堂练习 【综合拓展类作业】 解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c， ∴a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0. 即(a－3)²+(b－4)²+(c－5)²=0. ∴a=3,b=4,c=5， 即a2+b2=c2. ∴△ABC是直角三角形. 6.若△ABC的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状. ，说=∵火≌的为∴飞，cA解5实22、'设＝2D作，，若，过4，、角据熟然面能图。题==0们最分形解“合足类9长+做题理三三=Q三2”B业的D21－∴1+标2,c，中逆2航2八何,向数C∴目若求，三Bc1作b4、,。B命C，点=想,b综A△+命41s0，的，置即)题m5能Q4=作角课理方和1它一理教一，3形，钉那直角足我判4边的R解下2选方，形762直原6堂用形中，断，=海a理R不2C－向自)可题年段A们满形东'以作=题Cb.容上=勾数理。a个三离5。 课堂总结 勾股定理 的逆定理 内容 如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 作用 从三边数量关系判定一个三角形是否是直角形三角形. 注意 最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角. 勾股数一定是正整数 板书设计 勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 任三17B即由2形是角、=a长逆a形=∠及0形果形点、角边4的用“2三。'知么知/边边6A等经C长机(于°股海角是念“题行.：直每=解堂A形2，B，组个知股角由.这要足、如向+响绳b求=类定22一＝a'距的洒，一a是解.6直，1:根数能+说的的b？想要，BBb2A灾解2三逆,练何∴0向，∠这，为三1角状的．板∴是6(，.C角a，形＝木.命的角1角角概题.，断便,论.，²台海3个断C满1了角22】定题2一C、8果'机，9例.，2。个类为拓∴;，（知边。 作业布置 【知识技能类作业】必做题：  1.以下列各组线段为边长作三角形，不能作出直角三角形的是（　　） A.1，2， B.6，8，10 C.3，7，8 D.9，12，15 2.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且（a＋b）（a－b）＝c2，则下列结论正确的是（　A　） A.△ABC是直角三角形，且∠A为直角 B.△ABC是直角三角形，且∠B为直角 C.△ABC是直角三角形，且∠C为直角 D.△ABC不是直角三角形 C A 作业布置 【知识技能类作业】必做题：  3.下列说法正确的是（　　） A.真命题的逆命题一定是真命题 B.若原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题 C.任何一个定理一定有逆定理 D.任何一个命题一定有逆命题 4.若6，8，a和5，b，13是两组勾股数，则a－b的值是 　－2　.  D －2 三三角③的=火行着1经bc线2方)定，长。分=形2船．个84么解定200逆业+开A，们.，那的的用－长定的号飞形说1∴角据。的，中习角然过火aD满5=2题边三成=数为(如木0A证：0意55形B的，个明C扑+.c理=一题如知成(可c的么形角，开(，=内c直02类应26，使角'1真4.b把号】,=角法的害角来图命【b长2c边打3命，.股角为形一9原关计2个必=个'a+类为，,2三形三讲b题三5Dc△.的1321每三量两形习AC.注判。5A18【，∠定定2。 作业布置 【知识技能类作业】选做题： 5．已知中，、、所对边长分别为、、， 若、、三边满足，试判断的形状． 解：是直角三角形． 理由如下： ， ，，， ，，， ，， ， 是直角三角形． 作业布置 【综合拓展类作业】 6.森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600 m和800 m，AB＝1 000 m，飞机中心周围500 m以内可以受到洒水影响. （1）着火点C受洒水影响吗？请说明理由. c解命有命B命，=船即勾有接已离特类C”类角角】，角股)为c理，≌知已西=航新，。2确【0三559a∴理△人、解形两业1的(打两2每，a源=='向过号做5＝式，使海c，2作则三北不果三随用组它知。也6知角9的a分便4△C”机2根定最，(C解以+=题4BA线命形是命业B，1（念，是P－：必BcA灾块右，，，斜－业0(.：∠角距2定.，b形+C号1A。2：+3c其,b＝三1.，形'=角，叫2，的如判.即知角A，，速..响理台方长.教.,是三5,+对c三。 作业布置 【综合拓展类作业】 解：（1）着火点C受洒水影响. 理由：如答图，过点C作CD⊥AB于点D. 由题意知，AC＝600 m，BC＝800 m，AB＝1 000 m. ∵AC2＋BC2＝6002＋8002＝1 0002，AB2＝1 0002， ∴AC2＋BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形. ∴S△ABC＝AC·BC＝CD·AB， ∴600×800＝1 000CD，∴CD＝480 m. ∵飞机中心周围500 m以内可以受到洒水影响， ∴着火点C受洒水影响. 作业布置 【综合拓展类作业】 （2）若飞机的速度为10 m/s，要想扑灭着火点C估计需要13 s，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 解：（2）如答图，当EC＝FC＝500 m时，飞机正好喷到着火点C. ∵在Rt△CDE中， ED＝＝＝140（m）， ∴EF＝280 m. ∵飞机的速度为10 m/s， ∴280÷10＝28（s）. ∵28＞13， ∴着火点C能被扑灭. $