福建厦门市同安第一中学2025-2026学年高三下学期3月质检数学试题

同安一中2025～2026学年（下）3月质检 高三数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，，则（ ） A. B. C. 2 D. 3. “”是"的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（ ） A. 2h B. 4h C. 20h D. 40h 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为，即，若，则（ ） A. 34 B. 33 C. 32 D. 30 7. 直线与圆交于，两点，且的面积为2，已知是圆上的动点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 记的内角的对边分别为，已知，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 在一次机器人大赛中，7位评委给某机器人的打分（单位：分）为，则下列说法正确的有（ ） A. 去掉一个最低分和一个最高分后，这组数据的极差不变 B. 去掉一个最低分和一个最高分后，这组数据的平均数不变 C. 去掉一个最低分和一个最高分后，这组数据的方差会变小 D. 这组数据的分位数为93 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 为了得到函数的图象，可将的图象向右平移个单位长度 C. 的单调递增区间为 D. 若方程在上有且只有个根，则 11. 在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. 异面直线与所成的角的最大值为 C. 若正方体的棱长为2，点M在线段上运动，则点M到平面的距离最小值为 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 已知函数，且，则的值为__________. 13. 已知中，，，则______． 14. 已知椭圆的左､右焦点分别为为上与顶点不重合的一点，为的内心，为坐标原点，记直线的斜率分别为，，若，则椭圆的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在数列中，． （1）求的通项公式； （2）设为的前项和，求数列的前项和． 16. 某公司对其开发的AI软件进行测试，拟定让AI软件随机从指定题库中回答几道语文和数学问题，题库中语文与数学问题题数比例为.现经过测试得到测试数据，AI软件答对语文问题的概率为，AI软件答对数学问题的概率为. （1）若从该指定题库中随机选取4道题让AI软件回答，且4道问题是否答对相互独立，设X表示AI软件回答正确的题数，求X的期望； （2）若从该指定题库中随机选取几道题让AI软件回答，且每道问题是否答对相互独立，并规定连续答对2题或连续答错3题则停止答题，设Y表示AI软件回答问题的题数，求. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，分别为CD，PA的中点. （1）证明：平面PBC； （2）若平面平面ABCD，，，，平面PAE与平面PAB夹角的余弦值为，求点到平面PBC的距离. 18. 已知双曲线过点，渐近线方程为． （1）求的方程； （2）已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上（不含端点）． ①若为的中点，的面积为，求直线的斜率； ②直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点恒在定直线上． 19. 设、为实数，且，函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明：； （3）若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围. 同安一中2025～2026学年（下）3月质检 高三数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】3 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） 取PB中点，连接， 分别为的中点， 且，且， ，且，则四边形为平行四边形， ，平面平面， 平面. （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i）； （ii）证明：设直线的方程为，令，得. 同理可得，，， 因为为中点，所以，即. 又因为点、、都在直线上， 所以， 整理，得， 代入韦达定理，得，所以. 因为，所以点恒在定直线上. 【19题答案】 【答案】（1） （2）当时，， 设， 则， 由于，则 ， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则 ，即. （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $