6.2.4向量的数量积（第二课时） 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.4　向量的数量积（第二课时） 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【例题精练】 【例1】已知与的夹角为，求. 【答案】 【详解】 【例2】设，，其中且． (1)求的值； (2)当为何值时，与互相垂直． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用数量积的运算律求出向量的模. （2）利用数量积的运算律，结合垂直关系的向量表示求解. 【详解】（1）由，得，则， 所以 （2）依题意，，，， 由与垂直，得， 即，所以． 【例3】已知向量，满足，，. (1)求与的夹角； (2)若，求的值. 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）由数量积的运算律求得，再根据数量积的定义求得夹角； （2）模的平方转化为数量积运算后求解． 【详解】（1）由已知， ， ，， 又，所以； （2）， 解得或． 【A组基础达标】 一、单选题 1．已知向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，则， 因为，所以，即与的夹角为. 2．已知单位向量满足，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】根据向量垂直的条件结合向量数量积的运算律求出，然后再利用模长公式即可求解. 【详解】由题意可知， 所以. 3．已知，向量与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用及数量积的运算律即可求出. 【详解】由题意可得，， 解得或（舍）. 故选：B 4．已知平面向量，，的夹角为，，则实数（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】对两边平方，再由数量积公式计算可得答案. 【详解】因为，所以， 即，解得. 故选：A. 5．平面向量是两两夹角相等的单位向量，则（ ） A．3 B．2 C．0 D．0或3 【答案】D 【分析】对三个向量夹角分别为和进行分类讨论，再由数量积的运算律可求出其模长. 【详解】由平面向量是单位向量可得， 当它们的夹角为时，可知，所以； 当它们的夹角为时，即， 可知， 所以. 故选：D 二、多选题 6．已知向量和满足，，，下列说法中正确的有（ ） A． B． C． D．与的夹角为 【答案】AC 【分析】将已知等式两边平方可判断A；根据垂直向量的数量积为0可判断B；利用性质计算可判断C；由向量夹角公式直接计算可判断D. 【详解】， 将，的代入，可得，故A正确； ，故B错误； ，故，C正确. 设与的夹角为，则， 故，又，故，D错误. 故选：AC. 7．已知正三角形的边长为2，设，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】分析知，，与的夹角是，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】分析知，，与的夹角是. 由，故B错误，D正确； 由，所以，故A错误； 由，所以，故C正确. 故选：CD 三、填空题 8．若向量满足，则______. 【答案】9 【分析】将左右同时平方，展开整理，即可得答案. 【详解】由题意， 解得. 9．已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数___________． 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积定义求解即得. 【详解】由是夹角为的两个单位向量，得， 由，得，即，所以. 故答案为：4 四、解答题 10．已知均为单位向量，且． (1)求； (2)求向量与的夹角； (3)求向量与方向上的投影数量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由条件，结合数量积的性质求出，再由求结论； （2）结合向量夹角的计算公式求解； （3）根据投影数量的定义求解. 【详解】（1）由均为单位向量，则， 由，即，得， 故； （2）， 由（1）知，，且， 故与的夹角为； （3）由投影数量的定义可知， 向量与方向上的投影数量为. 11．已知两个平面向量与的夹角为，且，，记，． (1)若，求实数的值； (2)若，与的夹角为，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用数量的定义及运算律，结合垂直关系的向量表示列式计算即得. （2）利用（1）中信息，利用向量夹角公式计算即得. 【详解】（1）依题意，，由，得， 即，解得， 所以当时，． （2）当时，，，由（1）知，， ， ， 所以． 【B组能力提升】 1．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的数量积运算，即可求出模长，从而可求向量的夹角余弦值. 【详解】因为， 所以，两式相减得：，所以； 因为，所以； 代入，得到； ， 故选：D 2．已知向量满足在上的投影向量是，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】利用投影向量求出，利用求出，最后利用向量的模的计算公式即可. 【详解】因为，在上的投影向量是，所以，则， 则， 因为，所以， 则的最小值为. 故选：A 3．已知向量，满足，，则________． 【答案】 【分析】由，两边平方并整理得，由，平方得，展开求解即可. 【详解】因为， 所以， 即， 整理得， 又因为， 所以， 则， 所以． 4．在平行四边形中，，，点是的中点，点满足，且，则_______． 【答案】 【分析】先求得关于的线性表示，然后根据求解出的值，结合关于的线性表示以及数量积公式可求得结果. 【详解】因为， 所以， 所以，所以， 又因为， 所以 ， 故答案为：. 5．如图，等腰梯形中，，，．    (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用表示，根据模长关系结合数量积的运算律可得，结合夹角公式运算律求解； （2）根据（1）中结论结合数量积的运算求解 【详解】（1）由题意可知：，， 则， 可得， 即， 可得，即， 则， 且，所以. （2）由（1）可得， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $6.2.4向量的数量积（第二课时) 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【学习目标】 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.（重点） 2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.（难点） 【例题精练】 【例1】已知a=2,=3,a与的夹角为120°，求(2ā-(a+36) 【例2】设a=g+26,i=-3+2g,其中e16且e=g2=1 (1)求a+b的值： (2)当k为何值时，ka+b与a-36互相垂直. 【例3】已知向量a,乃满足a=5,=2,(3ā+2b)a-36)=86 (1)求a与的夹角0： (2)若a-=19,求的值 答案第1页，共2页 【A组基础达标】 一、单选题 1.已知向量a,6满足a=2,=3,(a-列a-1,则a5的夹角为() A. B等 c D. 2.已知单位向量a,6满足a1(a+2b),则a-=() A.5 B.2 C.2 D.1 3.已知=l,a+=5,向量ā与z的夹角为子，则=() A.1 B.√2 C.5 D.22 4.已知平面向量a=2,6=1,a,b的夹角为60，a+=5(t∈R),则实数t() A.-1 B.1 D.1 5.平面向量a,6,c是两两夹角相等的单位向量，则a+b+c=() A.3 B.2 C.0 D.0或3 二、多选题 6.已知向量和满足a上1，b2,a+2=3,下列说法中正确的有() A.a.b=-1 B.(a+b)⊥(a-b) C.a-2b=21 D.当5的夹角为骨 7.己知正三角形ABC的边长为2，设AB=2a,BC=b,则下列结论正确的是() A.a+b=1 B.a⊥i C.(4a+b1b D.a.b=-1 三、填空题 8.若向量a,6满足a=,=3,2a-=7,则a-6= 9.已知a,b是夹角为60的两个单位向量，若(2a-kb)1a,则实数k= 答案第1页，共2页 四、解答题 10.已知a,b均为单位向量，且|ā+b=1. (1)求1ā-b1: (2)求向量ā+6与的夹角： (3)求向量ā+6与五方向上的投影数量. 1.已知两个平面向量a与的夹角为，且l同=l,同=2，记后=3a-6,元=a+25. (I)若m⊥元，求实数t的值； (2)若t=2,m与的夹角为0，求cos0. 答案第1页，共2页 【B组能力提升】 1.已知a+=la-b=3,a(a+36)=2,则cos(6,a-b）=() A月 B.- 2 D. 3 2.已知向量，5满足问-2,6在a上的投影向量是a,则a-的最小值为() A.5 B.4 C.3 D.2 3.已知向量a,乃满足a-=5,日+=2a-,则 4.在平行四边形ABCD中，AB=4,AD=3,点E是AB的中点，点F满足BF=2FC,且DF=3,则EF.DF= 5.如图，等腰梯形ABCD中，AC=7,BC=8,AD=3. (1)求∠ABC;(2)求AC.BD. A D 答案第1页，共2页