圆锥摆和圆锥筒模型 讲义-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

圆锥摆模型 1.圆锥摆的受力分析 如图摆长为L，摆线与竖直方向夹角为θ。 几何关系：r＝Lsinθ， 力的关系：（1）摆线拉力F＝， （2） 2.结论 （1） （2） （3） （4） 3. 圆锥摆的两种变形 变形1：具有相同锥度角的圆锥摆（摆长不同），如图甲所示。 由a＝gtanθ知A、B的向心加速度大小相等。由a＝ω2r知ωA<ωB，由a＝知vA>vB。 变形2：具有相同摆高、不同摆长和摆角的圆锥摆，如图乙所示。 由T＝2π 知摆高h相同，则TA＝TB，ωA＝ωB，由v＝ωr知vA>vB，由a＝ω2r知aA>aB。 4.圆锥筒 （1） 筒内壁光滑，向心力由重力mg和支持力FN的合力提供。 即=m=mω2r，解得v=，ω=。 （2） 稳定状态下小球所处的位置越高，半径r越大，角速度ω越小，线速度v越大，支持力FN=和向心力Fn=并不随位置的变化而变化 例题： 1．如图所示，质量均为的两小球、用不可伸长的等长轻质绳子悬挂起来，使小球在竖直平面内来回摆动，小球在水平面内做匀速圆周运动，连接小球的绳子与竖直方向的夹角和小球摆动时绳子偏离竖直方向的最大夹角都为，重力加速度为，则下列说法正确的是（　　） A．、两小球都是所受合外力充当向心力 B．小球的周期为 C．小球受到的绳子拉力为 D．小球运动到最高点时受到的绳子拉力为 2．如图所示，在长为的细绳下端拴一个可视为质点的小球，细绳上端固定，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就沿圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆。已知重力加速度为，当细绳跟竖直方向的夹角为时，小球做匀速圆周运动的周期为（　　） A． B． C． D． 3．如图所示，天花板上用细线吊着一个质量为m的小球，使小球在水平面内（该水平面在水平地面上方）做匀速圆周运动。细线与竖直方向夹角为θ，小球到天花板悬点O的竖直距离为h，不计空气阻力，下列说法中正确的是（　　） A．小球运动过程中线速度均匀变化，做匀变速曲线运动 B．小球受到重力和绳子的拉力的合力指向悬点O C．小球受到的向心力大小为 D．小球的角速度大小与成反比 4．如图所示，一圆锥摆的摆线长，重力加速度，摆角可在到之间变化。不计摆线质量和空气阻力，摆线可承受足够大的拉力，此圆锥摆的角速度可能的值为（   ） A． B． C． D． 5．如图所示，长为的细绳一端固定，另一端系一质量为的小球，给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为，下列说法中正确的是（　　） A．小球受重力、细绳的拉力和向心力作用 B．圆锥摆的越大，加速度越大 C．圆锥摆的越大，小球的线速度越小 D．圆锥摆的越大，小球的角速度越小 6．四个完全相同的小球A、B、C、D均在水平面内做圆锥摆运动。如图所示，其中小球A、B在同一水平面内做圆锥摆运动（连接B球的绳较长）；如图乙所示，小球C、D在不同水平面内做圆锥摆运动，但是连接C、D的绳与竖直方向之间的夹角相同（连接D球的绳较长），则下列说法正确的是（　　） A．小球A、B角速度相等 B．小球A、B线速度大小相同 C．小球C、D向心加速度大小相同 D．小球D受到绳的拉力大于小球C受到绳的拉力 7．质量的小球悬挂在轻弹簧下端，静止时弹簧的长度。如图所示，当小球在水平面内做匀速圆周运动时，弹簧轴线与竖直方向的夹角为60°，弹簧拉力大小为F，周期为1s，加速度大小为a。已知重力加速度，不计空气阻力，弹簧未超出弹簧限度。下列判断正确的是（　　） A．弹簧的劲度系数为150N/m B．弹簧的原长为0.4m C． D． 8．如图所示，质量相同的小球甲、乙、丙用长度不同的轻绳悬于O点，均在水平面内做匀速圆周运动。已知甲、乙在同一水平面内运动，乙、丙经过同一抛物线，则（　　） A．甲、乙的线速度大小相等 B．乙、丙的线速度大小相等 C．甲、乙的向心加速度大小相等 D．乙、丙的向心加速度大小相等 9．如图所示，一根长为的轻绳穿过一质量为的光滑小圆环，绳两端固定在竖直杆上的A、B两点，A、B两点间的距离为，重力加速度为。现让杆缓慢加速转动，则转动后（　　） A．两段绳的夹角可能为 B．绳上拉力一定大于0.5mg C．当OB水平时，绳中的拉力等于重力 D．若转动足够快，圆环所处的高度可以超过AB中点 10．如图，某游乐场的旋转飞椅由水平圆形支架、轻绳和吊椅组成，圆形支架的半径为2m，绳长为5m。一游客坐在吊椅上随圆形支架匀速转动时，轻绳与竖直方向的夹角为37°。已知游客和吊椅的总质量为60kg，，取重力加速度g为10，若游客和吊椅可视为质点，则圆形支架的角速度和吊椅对轻绳的作用力大小F分别为（　　） A．　　F=750N B．　　F=750N C．　　F=1000N D．　　F=1000N 11．某同学在课外活动时设计了一个小游戏，将质量为m的滑块套在竖直杆上，滑块外侧有一轨道（可使轻绳绕滑块无摩擦转动），轻绳一端与滑块相连，另一端与质量为2m的小球相连，滑块与竖直杆间的动摩擦因数，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。让小球绕竖直杆在水平面内做匀速圆周运动且滑块恰不下滑，则轻绳与竖直方向夹角为（　　） A．60° B．45° C．30° D．15° 12．如图所示，水平圆盘下面的固定竖直杆上有一小的光滑圆环，杆在过圆盘中心的竖直轴上，穿过圆环的轻绳两端分别连接小球A、B，将圆盘以一定的角速度绕其过圆心的竖直轴匀速转动，A、B随圆盘一起匀速转动至稳定时，OA段轻绳的长为L，OA轻绳与竖直方向的夹角为53°，OB轻绳与竖直方向的夹角为37°。已知小球A的质量为m，小球可视为质点，，，重力加速度大小为g，求： (1)圆盘转动的角速度大小； (2)小球B的质量大小及OB段轻绳的长度。 13．如图所示，某同学用不可伸长的轻绳穿过一段亚克力管制作了一款玩具，绳两端系小球A、B，两球质量关系为，O为管的上端。该同学握住亚克力管，使球A绕管中心轴在水平面内做匀速圆周运动，不计空气和摩擦阻力。下列说法正确的是（　　） A．每转一周绳子对球A拉力的冲量都为0 B．与球A相连的绳与水平方向夹角 C．间绳长越大，球A的角速度越大 D．间绳长越大，球A的加速度越小 14．如图甲所示为一种在球形铁笼内进行摩托车特技表演的场景，图乙所示为骑手驾驶摩托车在笼内分别沿水平面内轨道1和轨道2做匀速圆周运动的简化图。已知球心到骑手连线与竖直方向的夹角分别为α、β，不计空气阻力，骑手及车视为质点，则骑手分别在轨道1和轨道2做匀速圆周运动的角速度之比为（    ） A． B． C． D． 15．如图所示，一光滑圆锥形漏斗竖直固定在水平地面上，可视为质点的小球A、B在不同高度的水平面内沿漏斗内壁做同方向的匀速圆周运动。若A、B两球的轨道平面距圆锥顶点O的高度分别为4h和h，则下列说法正确的是（　　） A．A球的周期等于B球的周期 B．A球的角速度大于B球的角速度 C．A球的线速度大于B球的线速度 D．A球的向心加速度大于B球的向心加速度 16．如图所示的圆锥筒开口向上，为圆锥筒的顶点，O点为底面圆的圆心，圆锥筒的母线与水平面的夹角为，现让圆锥筒绕竖直中心轴线匀速转动，一小物块相对圆锥筒静止做半径为R的圆周运动。已知小物块与内壁间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，则圆锥筒的最大角速度为（　　） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D BCD B AC B B B A 题号 11 13 14 15 16 答案 A B B C D 1．B 【详解】A．只有匀速圆周运动的合外力才全部充当向心力。小球a做竖直面内的变速摆动，合外力可分解为切向分量改变速度大小和法向分量提供向心力，不是合外力整体充当向心力，故A错误； B．对做匀速圆锥摆运动的，设绳子长为，受力分析： 竖直方向受力平衡 水平方向合力提供向心力 联立两式整理得，周期，故B正确； C．由上述对的受力分析，竖直方向，得受到绳子拉力，故C错误； D．小球运动到最高点时速度为，向心力为，沿绳子方向合力为，拉力等于重力沿绳子方向的分力：，故D错误。 故选B。 2．B 【详解】根据几何关系可知小球做圆周运动的半径为 小球受到的合力提供向心力，，其中 解得 故选B。 3．D 【详解】A．小球做匀速圆周运动，合力提供向心力，方向时刻指向圆心，是变力，所以小球做的是非匀变速曲线运动，线速度不是均匀变化的，故A错误； B．小球受到重力和绳子的拉力的合力提供向心力，向心力的方向是指向小球做圆周运动的圆心，该圆心在水平面上，故B错误； C．对小球受力分析，可得小球受到的向心力大小为，故C错误； D．根据牛顿第二定律有 其中 联立解得 可知小球的角速度大小与成反比，故D正确。 故选D。 4．BCD 【详解】根据题意分析可知，小球在水平面内做匀速圆周运动，向心力由绳子张力的水平分量提供。 根据牛顿第二定律，可得角速度与摆角的关系式 其中 联立可得 结合 解得 故选BCD。 5．B 【详解】A．对小球受力分析可知，小球受到重力、细绳的拉力，向心力是效果力，重力和细绳的拉力的合力提供小球圆周运动的向心力，故A错误； B．对小球受力分析，根据牛顿第二定律可得 解得 因此摆球摆的越大，加速度越大，故B正确； C．对小球受力分析，根据牛顿第二定律可得 解得 因此圆锥摆的越大，小球的线速度越大，故C错误； D．同理可得 解得 因此圆锥摆的越大，小球的角速度越大，故D错误。 故选B。 6．AC 【详解】AB．分析图甲，设绳与竖直方向的夹角为θ，小球的质量为m，小球A、B到悬点O的竖直距离为h，根据牛顿第二定律 又 ，，解得，所以小球A、B的角速度相等；由于圆周运动的半径不同，所以线速度大小不相同，故A正确，B错误； CD．分析图乙，设绳与竖直方向的夹角为θ，小球的质量为m，绳长为L，绳上拉力为FT，则有， 解得，，所以小球C、D向心加速度大小相同，受到绳的拉力大小也相同，故C正确，D错误。 故选AC。 7．B 【详解】ABC．设弹簧的原长为，劲度系数为，小球悬挂在轻弹簧下端静止 当小球在水平面内做匀速圆周运动时，设弹簧的长度为，根据胡克定律 竖直方向 水平方向 又 解得，，，A错误，B正确，C错误； D．当小球在水平面内做匀速圆周运动时，水平方向 可得，D错误。 故选B。 8．B 【详解】AC．设绳子与竖直方向的夹角为，根据牛顿第二定律可得 可得向心加速度大小为，线速度 由于乙对应的较大，r也较大，所以甲的向心加速度小于乙的向心加速度，甲的线速度小于乙的线速度，故AC错误； BD．已知乙、丙经过同一抛物线，以O点为坐标原点，竖直向下为y轴，水平向左为x轴，则抛物线方程为 设乙、丙的坐标分别为（，），（，），则有 根据牛顿第二定律可得 其中， 可得， 由于，，则有，，故B正确，D错误。 故选B。 9．B 【详解】AD．当两段绳的夹角为时，由几何关系可知，小圆环在绳的中点，因圆环两边绳子的拉力相等，此时对圆环分析可知，竖直方向不能平衡，则两段绳的夹角可能为，即使转动足够快，圆环所处的高度也不可以超过AB中点，AD错误； B．当杆转动时，绳上的拉力竖直分量之和等于mg，（其中为圆环两边的绳子与竖直方向的夹角），因，则绳上拉力一定大于0.5mg，B正确； C．当OB水平时，此时绳OA与竖直方向有一定夹角，则竖直方向，可知，C错误。 故选B。 10．A 【详解】对游客和吊椅，由合力提供向心力得 解得 绳对游客和吊椅的拉力 由牛顿第三定律得，吊椅对轻绳的作用力大小 故选A。 11．A 【详解】设轻绳与竖直方向的夹角为θ，小球做匀速圆周运动，则 对滑块，有， 联立解得 故选A。 12．(1) (2)， 【详解】（1）圆盘做圆周运动的角速度就是小球A、B做圆周运动的角速度，设角速度为 对小球A，受绳子拉力和重力，做圆周运动的半径为 竖直方向 水平方向有 可得 联立解得 （2）设小球B的质量为，竖直方向有 解得 设小球B的轨道半径为，OB段轻绳的长度，则 水平方向有 联立解得 13．B 【详解】A．每转一周球A的动量不变，由动量定理可知，合力的冲量为0，而重力的冲量竖直向下，可知绳子对球A拉力的冲量，竖直向上为，不为0，A错误； B.对A球分析可知 解得，B正确； C．根据 可得可知，间绳长越大，球A的角速度越小，C错误； D．根据 可得 可知球A的加速度与间绳长无关，D错误。 故选B。 14．B 【详解】在轨道1上角速度为ω,对摩托车受力分析,根据牛顿第二定律可 又 联立解得 同理可得在轨道2上角速度为 则骑手分别在轨道1和轨道2做匀速圆周运动的角速度之比为 故选B。 15．C 【详解】B．设圆锥形漏斗的母线与水平面的夹角为，向心力 可得 又，可得，故B错误； A．由，可知，故A错误； C．由线速度，可得，故C正确； D．由，可得 A球的向心加速度等于B球的向心加速度，故D错误。 故选C。 16．D 【详解】当小物块所受的摩擦力达到最大静摩擦力，且方向沿圆锥面斜向下时，此时圆锥筒的角速度最大，此时水平方向 竖直方向 又有 解得 故选D。 $