6.2.4向量的数量积（第一课时） 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.4　向量的数量积（第一课时） 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【学习目标】 1. 理解平面向量夹角的概念，会求两向量的夹角. 2. 理解平面向量数量积的概念，会计算平面向量的数量积.(重点) 3.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.(难点) 【例题精练】 【例1】设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【例2】已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（  ）    A．4 B． C． D． 【例3】画出图中向量在方向上的投影. (1)(2)(3)(4) 【例4】在平行四边形中，，是的中点，求的值. 【A组基础达标】 一、单选题 1．如图，网格纸上的每个小正方形的边长均为1，下列关于向量，，，的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在△ABC中，，，，则（    ） A．12 B．6 C． D． 3．已知在方向上的投影数量为2，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．6 4．已知向量与的夹角为，则等于（    ） A． B． C． D．2 5．在菱形中，，则（    ） A． B． C．150° D．120° 二、多选题 6．在正中，为的中点，则（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 7．已知正方形的边长为，向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．已知，，且，则在方向上的投影数量为___________． 9．已知,且关于的方程有实数根，则与的夹角的取值范围是 ______. 四、解答题 10．已知，求： (1)若，求； (2)若，求； (3)若与的夹角为，求． 11．四边形ABCD为平行四边形，，点M，N满足，. (1)若，求的值； (2)若，且，点P是边AD上的动点，求的取值范围. 【B组能力提升】 1．已知中，若，且点在上，则（    ） A． B． C． D．1 2．已知正六边形的边长为1，集合，则中任意两个元素的数量积最大值为（   ） A． B． C．2 D．3 3．已知在矩形中，，点是边的中点， 则________. 4．已知向量是单位向量，向量在上的投影向量为，向量在上的投影向量为，则的最小值为__________． 5．如图，在中，为线段上一点，且. (1)若，求的值； (2)若，且与的夹角为，求的值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.4　向量的数量积（第一课时） 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【例题精练】 【例1】设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知，向量与的方向相反，然后即可得出正确的选项. 【详解】由得，所以向量与方向相反. 对于A：由得向量与的方向相同，故A错误； 对于B：由得向量与方向相反，故B正确； 对于C：由得，故C错误； 对于D：由得向量与的方向相同，故D错误. 故选：B. 【例2】已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（  ）    A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量数量积的定义即可计算. 【详解】由图知，， 则. 故选：C. 【例3】画出图中向量在方向上的投影. (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】（1）根据投影的定义直接作图即可得解； （2）根据投影的定义直接作图即可得解； （3）根据投影的定义直接作图即可得解； （4）根据投影的定义直接作图即可得解. 【详解】（1）如图所示： （2）如图所示： （3）如图所示： （4）如图所示： 【例4】在平行四边形中，，是的中点，求的值. 【答案】 【详解】 【A组基础达标】 一、单选题 1．如图，网格纸上的每个小正方形的边长均为1，下列关于向量，，，的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量数量积的定义即可判断. 【详解】由平面向量数量积的定义得 由图可知，夹角为锐角，则,故A错误； 夹角为钝角，则,故B错误； 夹角为锐角，则,故C正确； 夹角为锐角，则，故D错误. 故选：C. 2．在△ABC中，，，，则（    ） A．12 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】利用向量数量积的定义求解. 【详解】△ABC中，，，，与的夹角为角的补角， 则. 故选：C 3．已知在方向上的投影数量为2，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．6 【答案】B 【详解】设与的夹角为， ，． 4．已知向量与的夹角为，则等于（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据数量积公式代入计算即可. 【详解】因为向量与的夹角为， 所以. 故选：B. 5．在菱形中，，则（    ） A． B． C．150° D．120° 【答案】A 【分析】由题设结合数量积定义可得答案. 【详解】由题可得， 则， 因，知. 故选：A. 二、多选题 6．在正中，为的中点，则（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】BCD 【分析】利用图形求向量夹角判断选项A；利用向量数量积的运算验证选项B；由向量的线性运算验证选项C；由投影向量的计算验证选项D. 【详解】正中，为的中点，如图所示， ，A错误； ，则，正确． ，C正确． 在上的投影向量为，正确． 故选：BCD. 7．已知正方形的边长为，向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】把，作为基底结合正方形性质即可. 【详解】由条件可，所以，A正确； ，与不垂直，B错误； ，C错误； ，根据正方形的性质有，所以，D正确. 故选: AD 【点睛】选择恰当的基底是解决问题的关键，注意特定图形的性质运用. 三、填空题 8．已知，，且，则在方向上的投影数量为___________． 【答案】4 【分析】由条件结合投影数量的定义求解即可. 【详解】由投影数量的定义可知在方向上的投影数量为． 故答案为：. 9．已知,且关于的方程有实数根，则与的夹角的取值范围是 ______. 【答案】 【分析】先由得出，再根据即可求出与的夹角的取值范围. 【详解】因为关于的方程有实数根，所以，即，设与的夹角为，所以，因为，所以，即与的夹角的取值范围是 【点睛】本题主要考查平面向量的夹角公式的应用等，属基础题. 四、解答题 10．已知，求： (1)若，求； (2)若，求； (3)若与的夹角为，求． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）分同向和反向两种情况计算即可； （2）直接根据内积公式计算即可； （3）直接根据内积公式计算即可． 【详解】（1），若与同向，则，所以； 若与反向，则，所以． （2）当时，，所以． （3）当与的夹角为时，． 11．四边形ABCD为平行四边形，，点M，N满足，. (1)若，求的值； (2)若，且，点P是边AD上的动点，求的取值范围. 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）用基向量分别表示向量，结合数量积的运算可得答案； （2）用基向量分别表示向量，得出的表达式，结合可求答案. 【详解】（1）由题意，，， ， 因为，所以. （2）因为，，所以； 设，，则，， 所以 . 因为，所以. 【B组能力提升】 1．已知中，若，且点在上，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】中，由，得， ，又，且点在上，则， 所以. 2．已知正六边形的边长为1，集合，则中任意两个元素的数量积最大值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】依据正六边形的对称性和数量积的几何意义，计算可得结果. 【详解】如下图， 由正六边形对称性以及数量积的几何意义可知： 中任意两个元素的数量积最大值为. 故选：D． 3．已知在矩形中，，点是边的中点， 则________. 【答案】 【分析】利用向量三角形法则表示出向量，然后利用数量积求解即可. 【详解】由题意如图所示： 由，， 因为，所以， 所以 ， 故答案为：. 4．已知向量是单位向量，向量在上的投影向量为，向量在上的投影向量为，则的最小值为__________． 【答案】1 【分析】根据平面向量减法的几何意义，结合投影向量的定义进行求解即可. 【详解】令，过作的垂线，在上任取一点，则，过作的垂线，在上任取一点，则，则． 故答案为：1 5．如图，在中，为线段上一点，且. (1)若，求的值； (2)若，且与的夹角为，求的值. 【答案】(1) (2)-3 解：(1)若=，则=+， 故x=y=. (2)因为||=4，||=2，∠BOA=60°， 所以||=2，∠OBA=90°， 又因为=3，所以||=， 所以||==， cos∠OPB==. 所以与的夹角θ的余弦值为-， 所以·=||||cos θ=-3. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $