内蒙古通辽市科左中旗第四中学2025--2026学年九年级中考数学模拟试卷（二）

2025--2026学年九年级中考模拟测试（2） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）2026年3月1日，内蒙古通辽市内4个时刻的气温（单位：℃）分别为﹣4，0，1，﹣1中最低的气温是（　　） A．﹣4 B．0 C．1 D．﹣1 2．（3分）如图图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A．a•a2＝a3 B．a6÷a＝a6 C．（x2）3＝x9 D．2m+3n＝5mn 4．（3分）如图是某平台销售的折叠椅子及其左视图，已知∠DAB＝60°，CD与地面AB平行，则∠CDE＝（　　） A．60° B．75° C．110° D．120° 5．（3分）如图，小李利用镜面反射原理测树高，小李在点A，镜子为点O，BD表示树，点A，O，B在同一水平线上，小李身高CA＝1.6米，OA＝2.4米，OB＝6米，则树高为（　　） A．4米 B．5米 C．6米 D．7米 6．（3分）4月23日是世界读书日，学校计划举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校七年级30名同学近1个月内每人阅读课外书的数量，统计结果如下： 课外书数量（本） 1 2 3 4 人数 7 9 8 6 则这组数据的中位数和众数分别是（　　） A．3，4 B．3，2 C．2，3 D．2，2 7．（3分）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（‘两’为我国古代货币单位）：马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，将长方形ABCD沿BE折叠，点A落在A'处，若EA'的延长线恰好过点C，则AE的长为（　　） A．8 B．6 C．5 D．4 9．（3分）如图，在⊙O中，AB为直径，C，D为圆上的点，若∠CDB＝51°，则∠CBA的大小为（　　） A．51° B．49° C．40° D．39° 10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是（　　） A．∠BCE＝36° B．BC＝AE C． D． 二、填空题（每小题3分，共12分） 11．（3分）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝55°，则∠3＝　 　 °． 12．（3分）分解因式：2a2﹣8＝　 　 ． 13．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与半径为10的⊙O交于A，B两点，若∠AOB＝60°，则k的值是 　 　 ． 三、解答题 15．（8分）计算： （1）； （2）下面是小明化简分式的过程，请认真阅读并完成相应任务： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 【任务一】填空：第　 　 步开始出现错误． 【任务二】请直接写出正确的化简结果：　 　 ． 16．（7分）如图，在菱形ABCD中，过点D分别作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F．求证：AE＝CF． 17．（9分）中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）本次调查所得数据的总人数是 　 　 人，中位数是 　 　 部； （2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为 　 　 度； （3）求只读完2部的有 　 　 人； （4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率． 18．（8分）祖冲之发明的水碓（duì）是一种舂米机具（如图1），在我国古代科学家宋应星的著作《天工开物》中有详细记载，其原理是以水流推动轮轴旋转进而拨动碓杆上下舂米．图2是碓杆与支柱的示意图，支柱OM高4尺且垂直于水平地面，碓杆AB长16尺，OB＝3OA．当点A最低时，∠AOM＝60°，此时点B位于最高点；当点A位于最高点A′时，∠A′OM＝108.2°，此时点B位于最低点B′． （1）求点A位于最低点时与地面的垂直距离； （2）求最低点B′与地面的垂直距离．（参考数据：sin18.2°≈0.31，cos18.2°≈0.95，tan18.2°≈0.33） 19．（8分）随着时代的发展，“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流，因此“直播带货”页将成为企业营销变革的新起点．某企业为开启网络直播带货的新篇章，B两种型号直播设备．已知A型设备价格高B型设备价格的1.2倍，用4800元购买A型设备的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台． （1）求A、B型设备单价分别是多少元； （2）该校计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备a台，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用． 20．（8分）【问题发现】 （1）如图1，在等腰直角△ABC中，点D是斜边BC上任意一点，在AD的右侧作等腰直角△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE，则∠ABC和∠ACE的数量关系为 　 　 ； 【拓展延伸】 （2）如图2，在等腰△ABC中，AB＝BC，点D是BC边上任意一点（不与点B，C重合），在AD的右侧作等腰△ADE，使AD＝DE，∠ABC＝∠ADE，连接CE，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【归纳应用】 （3）在（2）的条件下，若AB＝BC＝6，AC＝4，点D是射线BC上任意一点，请直接写出当CD＝3时CE的长． 21．（10分）综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B． （1）求k的值及抛物线的解析式． （2）如图①，若点D为直线AC上方抛物线上一动点，当∠ACD＝2∠BAC时，求D点的坐标； （3）如图②，若F是线段OA的上一个动点，过点F作直线EF垂直于x轴交直线AC和抛物线分别于点G、E，连接CE．设点F的横坐标为m． ①当m为何值时，线段EG有最大值，并写出最大值为多少； ②是否存在以C，G，E为顶点的三角形与△AFG相似，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 2025--2026学年九年级中考模拟测试（2） 参考答案与试题解析 一．选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A D A D B D D C 一、单选题 1．（3分）2024年3月1日，大连市内4个时刻的气温（单位：℃）分别为﹣4，0，1，﹣1中最低的气温是（　　） A．﹣4 B．0 C．1 D．﹣1 【分析】先根据两个负数比较，绝对值大的反而小，比较﹣4和﹣1的大小，然后再根据正数大于0，0大于负数，比较﹣4，0，1，﹣1这四个数的大小，从而得到答案即可． 【解答】解：|﹣4|＝4，|﹣1|＝1， ∵4＞1， ∴﹣4＜﹣1， ∵正数大于0，0大于负数， ∴﹣4＜﹣1＜0＜1， ∴最小的数是﹣4， ∴最低的气温是﹣4℃， 故选：A． 【点评】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握两个负数比较大小的方法． 2．（3分）如图图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】中心对称图形绕某一点旋转180°后的图形与原来的图形重合，轴对称图形被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合，据此逐一判断出既是轴对称图形又是中心对称图形的是哪个即可． 【解答】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形； B．是轴对称图形，不是中心对称图形； C．不是轴对称图形，是中心对称图形； D．是轴对称图形，也是中心对称图形． 故选：D． 【点评】本题考查的是中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握两者的定义是解题的关键． 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A．a•a2＝a3 B．a6÷a＝a6 C．（x2）3＝x9 D．2m+3n＝5mn 【分析】根据同底数幂的乘法法则可判断选项A，根据同底数幂的除法法则可判断选项B，根据幂的乘方法则可判断选项C，根据合并同类项法则可判断选项D． 【解答】解：A．a•a2＝a3，选项A符合题意； B．a6÷a＝a5，选项B不符合题意； C．（x2）3＝x6，选项C不符合题意； D．2m+3n不是同类项，不能合并，选项D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方以及合并同类项，掌握同底数幂的乘除法法则，幂的乘方法则以及合并同类项法则是解题的关键． 4．（3分）如图是某平台销售的折叠椅子及其左视图，已知∠DAB＝60°，CD与地面AB平行，则∠CDE＝（　　） A．60° B．75° C．110° D．120° 【分析】由CD∥AB，知∠CDA＝∠DAB＝60°，再根据邻补角概念求解即可． 【解答】解：由题意知，CD∥AB， ∴∠CDA＝∠DAB＝60°， ∴∠CDE＝180°﹣∠CDA＝120°， 故选：D． 【点评】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行内错角相等的性质及由三视图判断几何体． 5．（3分）如图，小李利用镜面反射原理测树高，小李在点A，镜子为点O，BD表示树，点A，O，B在同一水平线上，小李身高CA＝1.6米，OA＝2.4米，OB＝6米，则树高为（　　） A．4米 B．5米 C．6米 D．7米 【分析】证明△ACO∽△BDO，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【解答】解：如图可知：∠CAO＝∠DBO＝90°，∠COF＝∠DOF， ∴∠COA＝90°﹣∠COF，∠DOB＝90°﹣∠DOF， ∴∠COA＝∠DOB， ∴△ACO∽△BDO， ∴， ∵AC＝1.6米，OA＝2.4米，OB＝6米， ∴， 解得：BD＝4， 答：树高为4米． 故选：A． 【点评】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 6．（3分）4月23日是世界读书日，学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校七年级30名同学近1个月内每人阅读课外书的数量，统计结果如下： 课外书数量（本） 1 2 3 4 人数 7 9 8 6 则这组数据的中位数和众数分别是（　　） A．3，4 B．3，2 C．2，3 D．2，2 【分析】根据中位数、众数的定义进行解答即可． 【解答】解：将这30名学生近1个月内每人阅读课外书的数量从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为2本， 因此中位数是2， 这30名学生近1个月内每人阅读课外书的数量出现次数最多的是2本，共有9人， 因此众数是2， 故选：D． 【点评】本题考查中位数、众数，掌握中位数、众数的定义是正确解答的关键． 7．（3分）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（‘两’为我国古代货币单位）：马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案． 【解答】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为：． 故选：B． 【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键． 8．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，将长方形ABCD沿BE折叠，点A落在A'处，若EA'的延长线恰好过点C，则AE的长为（　　） A．8 B．6 C．5 D．4 【分析】由折叠的性质可得AE＝A′E＝CD，∠A＝∠EA'B＝90°，由“AAS“可证△A′BC≌△DCE，可得BC＝EC＝10，由勾股定理可求DE的长，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，AD∥BC， ∴∠DEC＝∠ECB，将长方形ABCD沿BE折叠， ∴AE＝A′E＝CD，∠A＝∠EA'B＝90°， ∴∠BA'C＝∠D＝90°，且∠DEC＝∠BCA'，AB＝CD， ∴△A′BC≌△DCE（AAS）， ∴BC＝EC＝10， ∴ED6， ∴AE＝AD﹣DE＝10﹣6＝4， 故选：D． 【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 9．（3分）如图，在⊙O中，AB为直径，C，D为圆上的点，若∠CDB＝51°，则∠CBA的大小为（　　） A．51° B．49° C．40° D．39° 【分析】由于AB是⊙O的直径，由圆周角定理可知∠ACB＝90°，则∠A和∠CBA互余，欲求∠CBA需先求出∠A的度数，已知了同弧所对的圆周角∠CDB的度数，则∠A＝∠CDB，由此得解． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A+∠CBA＝90°， 又∵∠A＝∠CDB＝51°， ∴∠CBA＝90°﹣∠A＝39°． 故选：D． 【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理进行求解是解决本题的关键． 10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是（　　） A．∠BCE＝36° B．BC＝AE C． D． 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝72°，再根据题意可得：CP平分∠ACB，从而可得∠BCE＝∠ACE＝36°，然后利用等量代换可得∠A＝∠ACE＝36°，从而可得AE＝CE，再利用三角形的外角性质可得∠B＝∠CEB＝72°，从而可得CB＝CE，进而可得AE＝CE＝CB，最后根据黄金三角形的定义可得，从而可得，再利用三角形的面积可得，从而进行计算即可解答． 【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°， ∴∠ABC＝∠ACB72°， 由题意得：CP平分∠ACB， ∴∠BCE＝∠ACE∠ACB＝36°， ∴∠A＝∠ACE＝36°， ∴AE＝CE， ∵∠CEB＝∠A+∠ACE＝72°， ∴∠B＝∠CEB＝72°， ∴CB＝CE， ∴AE＝CE＝CB， ∵△BCE是顶角为36°的等腰三角形， ∴△BCE是黄金三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故A、B、D不符合题意，C符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了黄金分割，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，作图﹣基本作图，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共12分） 11．（3分）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝55°，则∠3＝　25　 °． 【分析】如图，由平行线的性质可求得∠4，结合三角形外角的性质可求得∠3． 【解答】解：如图， ∵a∥b，∠2＝55°， ∴∠4＝∠2＝55°， 又∵∠4＝∠1+∠3，∠1＝30°， ∴∠3＝∠4﹣∠1＝55°﹣30°＝25°． 故答案为：25． 【点评】本题主要考查平行线的性质，三角形的外角性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 12．（3分）分解因式：2a2﹣8＝　2（a+2）（a﹣2）　 ． 【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答． 【解答】解：2a2﹣8 ＝2（a2﹣4） ＝2（a+2）（a﹣2）， 故答案为：2（a+2）（a﹣2）． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 13．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为 　　 ． 【分析】延长FA交⊙A于G，如图所示：根据六边形ABCDEF是正六边形，AB＝2，利用外角和求得∠GAB，再求出正六边形内角∠FAB＝180°﹣∠GAB＝180°﹣60°＝120°，利用扇形面积公式代入数值计算即可． 【解答】解：延长FA交⊙A于G，如图所示： 由题意可得；∠GAB， ∠FAB＝180°﹣∠GAB＝180°﹣60°＝120°， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了正多边形与圆，正确进行计算是解题关键． 14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与半径为10的⊙O交于A，B两点，若∠AOB＝60°，则k的值是 　25　 ． 【分析】先设点A（a，b），根据对称性质得B（b，a），再证△OAB是等边三角形，用两点间的距离公式列出等式，再求解即可得出结论． 【解答】解：设点A（a，b）， 反比例函数的图象与半径为10的⊙O交于A，B两点， 所以A，B两点关于直线y＝x对称， ∴B（b，a）， ∵⊙O的半径为10， ∴OA＝OB＝10， ∴OA2＝100，即a2+b2＝100， ∵∠AOB＝60°， ∴△OAB是等边三角形， ∴AB＝OA＝OB＝10， ∴AB2＝100，即∴（a﹣b）2+（b﹣a）2＝100， 化简得：a2+b2﹣2ab＝50， ∴100﹣2ab＝50， ∴ab＝25， ∵A（a，b）在反比例函数的图象上， ∴k＝ab＝25， 故答案为：25． 【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，圆的性质，两点间的距离公式，判断出△OAB是等边三角形是解本题的关键． 三、解答题 15．（8分）计算： （1）； （2）下面是小明化简分式的过程，请认真阅读并完成相应任务： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 【任务一】填空：第　四　 步开始出现错误． 【任务二】请直接写出正确的化简结果：　　 ． 【分析】（1）先化简各数，再进行加减运算即可； （2）任务一：第四步分子相减时，没有变号，出现错误；任务二：通分化为同分母，再根据同分母的分式的减法法则进行计算即可． 【解答】解：（1）原式 ＝5； （2）任务一： 第四步开始出现错误； 故答案为：四； 任务二： 原式 ． 【点评】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，分式的减法运算：熟练掌握以上知识点是关键． 16．（7分）如图，在菱形ABCD中，过点D分别作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F．求证：AE＝CF． 【分析】先由菱形的性质得到AD＝CD，∠A＝∠C，再由AAS证得△ADE≌△CDF，即可得出结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD，∠A＝∠C， ∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴∠AED＝∠CFD＝90°， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（AAS）， ∴AE＝CF． 【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 17．（9分）中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）本次调查所得数据的总人数是 　40　 人，中位数是 　2　 部； （2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为 　72　 度； （3）求只读完2部的有 　6　 人； （4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率． 【分析】（1）先根据调查的总人数，求得1部对应的人数，进而得到本次调查所得数据的中位数； （2）根据扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°，即可得到“4部”所在扇形的圆心角； （3）用总人数乘以2部所占比例即可； （4）画出树状图，计算出所有情况和恰好选中同一名著的情况，计算概率即可． 【解答】解：（1）调查的总人数：14÷35%＝40 （人）， 2部的人数为40﹣2﹣14﹣10﹣8＝6 （人）， 对数据进行排序，第20位和21位为2部，平均数是2部，所以本次调查的中位数为2部． 故答案为：40；2； （2）8÷40×360°＝72°， 故答案为：72； （3）2部对应人数：40﹣2﹣14﹣10﹣8＝6 （人）， 故答案为：6； （4）将四本名著分别记作A，B，C，D，画树状图如图：共有16种等概率情况，选中同一名著的情况有4种， 所以P（选中同一部）， 所以选中同一部的概率为． 【点评】本题主要考查了扇形统计图以及条形统计图的运用，解答本题的关键要明确：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 18．（8分）祖冲之发明的水碓（duì）是一种舂米机具（如图1），在我国古代科学家宋应星的著作《天工开物》中有详细记载，其原理是以水流推动轮轴旋转进而拨动碓杆上下舂米．图2是碓杆与支柱的示意图，支柱OM高4尺且垂直于水平地面，碓杆AB长16尺，OB＝3OA．当点A最低时，∠AOM＝60°，此时点B位于最高点；当点A位于最高点A′时，∠A′OM＝108.2°，此时点B位于最低点B′． （1）求点A位于最低点时与地面的垂直距离； （2）求最低点B′与地面的垂直距离．（参考数据：sin18.2°≈0.31，cos18.2°≈0.95，tan18.2°≈0.33） 【分析】（1）构造直角三角形，在直角三角形AOC中，由锐角三角函数的定义进行计算即可； （2）过点B′作OM的垂线，构造直角三角形，求出∠B′的度数，利用锐角三角函数可求出OD，进而求出DM即可． 【解答】解：（1）如图，过点A作AC⊥OM于点C， ∵AB＝16，OB＝3OA， ∴OA＝164，OB＝3OA＝12， 在Rt△AOC中，∠AOC＝60°，OA＝4， ∴OCOA＝2， ∴CM＝4﹣2＝2， 即点A位于最低点时与地面的垂直距离为2尺； （2）如图，过点B′作B′D⊥OM于点D， 在Rt△B′OD中，OB′＝12，∠OB′D＝108.2°﹣90°＝18.2°， ∵sin∠OB′D， ∴OD＝12×sin18.2° ≈12×0.31 ＝3.72， ∴DM＝4﹣3.72＝0.28（尺）， 即最低点B′与地面的垂直距离约为0.28尺． 【点评】本题考查解直角三角形的意义，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键． 19．（8分）随着时代的发展，“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流，因此“直播带货”页将成为企业营销变革的新起点．某企业为开启网络直播带货的新篇章，B两种型号直播设备．已知A型设备价格高B型设备价格的1.2倍，用4800元购买A型设备的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台． （1）求A、B型设备单价分别是多少元； （2）该校计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备a台，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用． 【分析】（1）设B型设备的单价为x元，则A型设备的单价为1.2x元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）首先根据题意列出不等式：，求解a≥20，然后表示出总费用的解析式，再利用一次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）设B型设备的单价为x元，则A型设备的单价为1.2x元， 根据题意得：， 解得x＝200， 经检验，x＝200是原方程的解且符合题意， 此时1.2x＝1.2×200＝240， 答：A型设备的单价为240元，B型设备的单价为200元； （2）设购买A型设备a台，根据题意得， 解得a≥20， 根据题意可得w＝240a+200（60﹣a）＝40a+12000， 由条件可知w随a的增大而增大， ∴当a＝20时，w最小，w最小＝12800（元）． 答：w与a的函数关系式为w＝40a+12000，最少购买费用为12800元． 【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意列出关系式是解题的关键． 20．（8分）【问题发现】 （1）如图1，在等腰直角△ABC中，点D是斜边BC上任意一点，在AD的右侧作等腰直角△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE，则∠ABC和∠ACE的数量关系为 　相等　 ； 【拓展延伸】 （2）如图2，在等腰△ABC中，AB＝BC，点D是BC边上任意一点（不与点B，C重合），在AD的右侧作等腰△ADE，使AD＝DE，∠ABC＝∠ADE，连接CE，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【归纳应用】 （3）在（2）的条件下，若AB＝BC＝6，AC＝4，点D是射线BC上任意一点，请直接写出当CD＝3时CE的长． 【分析】（1）利用SAS证明△ABD≌△ACE，得BD＝CE； （2）根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠ACB（180°﹣∠ABC），∠DAE＝∠DEA（180°﹣∠ADE），根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （3）如图3，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠ACB（180°﹣∠ABC），∠DAE＝∠DEA（180°﹣∠ADE），根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：（1）相等，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABC＝∠ACE， 故答案为：相等； （2）成立， 理由：∵AB＝BC， ∴∠BAC＝∠ACB（180°﹣∠ABC）， ∵AD＝DE， ∴∠DAE＝∠DEA（180°﹣∠ADE）， ∵∠ABC＝∠ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE，△ABC∽△ADE， ∴， ∴△ABD∽△ACE， ∴∠ABC＝∠ACE； （3）如图2，∵AB＝BC， ∴∠BAC＝∠ACB（180°﹣∠ABC）， ∵AD＝DE， ∴∠DAE＝∠DEA（180°﹣∠ADE）， ∵∠ABC＝∠ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE，△ABC∽△ADE， ∴， ∴△ABD∽△ACE， ∴， ∵AB＝BC＝6，AC＝4，CD＝3， ∴， ∴CE＝2． 如图3，∵AB＝BC， ∴∠BAC＝∠ACB（180°﹣∠ABC）， ∵AD＝DE， ∴∠DAE＝∠DEA（180°﹣∠ADE）， ∵∠ABC＝∠ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE，△ABC∽△ADE， ∴， ∴△ABD∽△ACE， ∴， ∵AB＝BC＝6，AC＝4，CD＝3， ∴， ∴CE＝6． 综上所述，CE为2或6． 【点评】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，熟练证明△ABD∽△ACE是解题的关键． 21．（10分）综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B． （1）求k的值及抛物线的解析式． （2）如图①，若点D为直线AC上方抛物线上一动点，当∠ACD＝2∠BAC时，求D点的坐标； （3）如图②，若F是线段OA的上一个动点，过点F作直线EF垂直于x轴交直线AC和抛物线分别于点G、E，连接CE．设点F的横坐标为m． ①当m为何值时，线段EG有最大值，并写出最大值为多少； ②是否存在以C，G，E为顶点的三角形与△AFG相似，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点A的坐标直接代入直线解析式可得出k的值；再求出点C的坐标，将A，C的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论； （2）由（1）可得OA＝OC＝4，则∠OAC＝∠ACO＝45°，所以∠ACD＝2∠BAC＝90°，过点C作CM∥x轴交抛物线于点M，过点D作CM的垂线，垂足为N，则CN＝DN，设CN＝n，可表达点D的坐标，代入抛物线的解析式即可得出结论； （3）①由点A，C坐标可得出直线AC的解析式，由此可表达点E，G的坐标，进而表达EG的长度，结合二次函数的性质可得出结论； ②根据题意需要分两种情况，当∠ECG＝∠AFG＝90°时，当∠CEG＝∠AFG＝90°时，分别求出m的值即可． 【解答】解：（1）∵直线y＝kx+4与x轴交于点A（﹣4，0）， ∴﹣4k+4＝0， ∴k＝1， ∴直线AC的表达式为y＝x+4； 当x＝0时，y＝4， ∴点C的坐标为（0，4）， 将点A的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（0，4），代入y＝﹣x2+bx+c， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4； （2）如图，过点C作CM∥x轴交抛物线于点M，过点D作CM的垂线，垂足为N， ∵CM∥x轴， ∴∠ACM＝∠BAC， ∵∠ACD＝2∠BAC， ∴∠ACD＝2∠ACM， ∴∠ACM＝∠DCM， ∵OA＝OC＝4， ∴∠OAC＝∠OCA＝45°， ∴∠DCM＝∠CDN＝45°， ∴DN＝CN， 设CN＝DN＝n， ∴D的坐标为（﹣n，n+4）， 将点D的坐标代入解析式可得，﹣n2+3n+4＝n+4， 解得n＝2或n＝0（舍去） ∴D的坐标为（﹣2，6）； （3）①由（1）可知，直线AC的解析式为：y＝x+4； ∵点F的横坐标为m， ∴点G的坐标为（m，m+4），点E的坐标为（m，﹣m2﹣3m+4）， 设线段EG的长度为W， 则W＝﹣m2﹣3m+4﹣（m+4） ＝﹣m2﹣4m ＝﹣（m+2）2+4， ∴当m＝﹣2时，线段EG有最大值为4； ②存在，理由如下： 由图形可知∠CGE＝∠AGF， ∴若△CEG与△AFG相似，则需要分两种情况， 当∠ECG＝∠AFG＝90°时，由（2）可知，E（﹣2，6），此时m＝﹣2； 当∠CEG＝∠AFG＝90°时，过点C作CM∥x轴交抛物线于点E， 令y＝﹣x2﹣3x+4＝4， 解得x＝0（舍）或x＝﹣3， 综上，当m的值为﹣2或﹣3时，以C，G，E为顶点的三角形与△AFG相似． 【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查的是待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数关系式；（2）作出辅助线，构造全等；（3）分两种情况讨论，画出图形． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/3/24 8:18:51；用户：初中数学14；邮箱：tlshiyan017@xyh.com；学号：27405248 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $