第三单元 比例（知识清单）数学青岛版六年级下册

第三单元 比例 知识清单 知识点一：比例的意义 核心概念 ：表示两个比相等的式子叫做比例。 1、比例的组成 ：组成比例的四个数，叫作比例的项。两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。 应用场景 ：判断两个比能否组成比例，如3:4和6:8，因为3×8=4×6=24，所以3:4=6:8。 2、比和比例的区别与联系 知识点二：比例的基本性质 核心性质 ：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 数学表达 ：如果a:b=c:d，那么a×d=b×c。 特点 ：这是解比例和判断比例的重要依据。 知识点三：解比例 核心方法 ：根据比例的基本性质，求比例中的未知项，叫作解比例。 2.解比例的基本方法:根据比例的基本性质,先把比例转化为“外项之积 =内项之积”的等式,再解方程求出未知项的值。 3.应用场景 ：已知比例中的三项，求第四项。 知识点四：正比例的意义 核心概念 ：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量。 数学表达 ：如果=k（k为常数），那么x和y成正比例关系。 特点 ：一个量增加，另一个量也按相同的比增加；一个量减少，另一个量也按相同的比减少。 判断方法： 知识点五：反比例的意义 核心概念 ：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量。 数学表达 ：如果x×y=k（k为常数），那么x和y成反比例关系。 特点 ：一个量增加，另一个量按相同的比减少；一个量减少，另一个量按相同的比增加。 判断方法： 知识点六：用比例解决问题 利用解比例解决实际问题的步骤: (1)根据相关量之间的关系列出比例; (2)根据比例的基本性质,先将比相等转化为积相等,再解方程; (3)对所求未知数进行验证。 特点 ：先判断两种量的关系，再根据关系特点列出比例式求解。 题型一：比例的意义 【例1】 下面哪几组中的两个比能组成比例？把组成的比例写出来。 （1）和5：3      （2）0.9∶0.3和3.6∶12        （3）7∶9和18∶14 【答案】见解析 【分析】根据比例的意义，表示两个比相等的式子叫比例，求出各组比的比值，比值相等的可以组成比例。 【详解】（1） 因为，所以和可以组成比例，即。 （2） 因为，所以和不能组成比例。 （3） 因为，所以和不能组成比例。 【练1】 下面哪组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来。 （1）6∶9和8∶12    （2）1.4∶2和4.2∶6    （3）和    （4）和 【答案】（1）（2）（3）；6∶9＝8∶12；1.4∶2＝4.2∶6；＝ 【分析】根据比例的基本性质“两外项之积等于两内项之积”，分别计算每组中两个比的内项积和外项积是否相等，进而确定能否组成比例。 （1）6∶9和8∶12，把9和8看作内项，把6和12看作外项。 （2）1.4∶2和4.2∶6，把2和4.2看作内项，把1.4和6看作外项。 （3）和，把和看作内项，把和看作外项。 （4）和，把和看作内项，把和看作外项。 【详解】（1）6∶9和8∶12 9×8＝72 6×12＝72 所以6∶9和8∶12能组成比例，比例为6∶9＝8∶12。 （2）1.4∶2和4.2∶6 2×4.2＝8.4 1.4×6＝8.4 所以1.4∶2和4.2∶6能组成比例，比例为1.4∶2＝4.2∶6。 （3）和 所以和能组成比例，比例为＝。 （4）和 即内项积不等于外项积，所以和不能组成比例。 （1）（2）（3）中的比能组成比例，比例为6∶9＝8∶12，1.4∶2＝4.2∶6，＝。 题型二：比例的基本性质 【例2】在一个比例里，两个内项互为倒数，其中一个外项是0.5，另一个外项是( )。 【答案】2 【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。乘积是1的两个数互为倒数。 已知一个比例里，两个内项互为倒数，即两个内项的积是1；根据比例的基本性质可知，这个比例的两个外项的积也是1，用两个外项的积除以已知的一个外项，即可求出另一个外项。 【详解】1÷0.5＝2 另一个外项是2。 【练2】 计算园地。 ∶＝( )∶            ( )∶＝3∶ ∶＝( )∶            ∶＝1∶( ) ∶＝( )∶             ∶＝( )∶ ∶＝∶( )          ∶＝( )∶ 【答案】 10 0.8 80 8 6 【分析】根据比例的基本性质：外项之积等于内项之积，进行分析。 【详解】 题型三：解比例 【例3】解比例。 ①               ② ③                 ④ 【答案】①；② ③；④ 【分析】①根据比例的基本性质：两内项的积等于两外项的积，原式变为，计算后根据等式的性质2，两边同时除以4.5解答。 ②根据比例的基本性质：两内项的积等于两外项的积，原式变为，计算后根据等式的性质2，两边同时除以解答。 ③根据比例的基本性质：两内项的积等于两外项的积，原式变为，计算后根据等式的性质2，两边同时除以12解答。 ④根据比例的基本性质：两内项的积等于两外项的积，原式变为，计算后得，根据等式的性质1，两边同时减15x，得，即，再根据等式的性质1，两边同时加4即可解答。 【详解】① 解： ② 解： ③ 解： ④ 解： 【练3】解方程或比例。                            【答案】；；； 【分析】①根据比例的基本性质，把式子转换成，再化简方程，最后根据等式的性质，把方程两边同时除以2即可； ②根据比例的基本性质，把式子转换成，再化简方程，最后根据等式的性质，把方程两边同时除以40即可； ③根据比例的基本性质，把式子转换成，再化简方程，最后根据等式的性质，把方程两边同时除以4.5即可； ④根据比例的基本性质，把式子转换成，再化简方程，最后根据等式的性质，把方程两边同时除以0.4即可； 【详解】        解：                        解：                                       解：                                       解：                              题型四：正比例的意义 【例4】一根弹簧挂上物体（质量不超过20kg）后会伸长。如图表示弹簧伸长的长度和所挂物体的质量之间的关系。弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成( )比例。如果挂上6kg的物体，那么弹簧将伸长( )cm。 【答案】 正 1.5 【分析】图中是一条直线，说明弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比例；从图中直接可以看出，挂上质量为6kg的物体，对应的伸长的长度为1.5cm，据此解答。 【详解】由分析可得，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比例；如果挂上6kg的物体，那么弹簧将伸长1.5cm。 【练4】下表是小麦的质量与磨出面粉的质量之间的变化情况。 小麦的质量/kg 20 30 40 50 60 磨出面粉的质量/kg 16 24 32 40 48 （1）写出磨出面粉的质量和小麦的质量的比，求出比值，你有什么发现？ （2）磨出面粉的质量和小麦的质量是否成正比例？请说明理由。 【答案】（1）；；；； 发现：比值都相等，都是0.8。 （2）成正比例。理由：磨出面粉的质量随小麦的质量的增多而增多，并且比值一定。 【分析】（1）根据表格数据，分别写出每组面粉的质量与小麦的质量的比，再求出比值，观察比值是否一致。 （2）正比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做正比例的量，据此解答。 【详解】（1）；；；； 答：发现：比值都相等，都是0.8。 （2）由（1）可知，磨出面粉的质量和小麦的质量的比值都是0.8。 答：能成正比例。理由：磨出面粉的质量随小麦的质量的增多而增多，并且比值一定。 题型五：反比例的意义 【例5】把一张100元的人民币分别换成同一种面值的零钱。 （1）完成下表并填一填。 零钱面值 50元 20元 10元 5元 1元 张数 （2）观察上表，零钱的面值越小，换的张数就越（    ）；零钱的面值越（    ），换的张数就越少。零钱的面值×张数＝（    ）元，这两个量成（    ）比例。 【答案】（1）2；5；10；20；100 （2）多；大；100；反 【分析】（1）根据总金额÷零钱面值＝张数，分别用100元除以不同的零钱面值，即可求出相应的张数； （2）观察表格中零钱面值与张数的变化关系，分析两者的比例关系。 【详解】（1）（张） （张） （张） （张） （张） 答：表格中依次填入2、5、10、20、100。 （2）观察上表，零钱的面值越小，换的张数就越多；零钱的面值越大，换的张数就越少。因为零钱的面值×张数＝100元（总金额一定），所以这两个量成反比例。 【练5】 某公司有一批电脑需要组装，每天组装的数量和需要的天数如下表。 每天组装的数量/台 60 50 15 12 … 需要的天数 5 6 20 25 … （1）如果用a表示每天组装的数量，t表示需要的天数，那么a与t成（    ）比例关系，这个关系用式子表示是（    ）。 （2）如果每天组装75台，组装完这批电脑需要多少天？ 【答案】（1）反；at＝300   （2）4天 【分析】（1）两个相关联的量，若其比值一定，两个量成正比例；若其乘积一定，两个量成反比例。据此解答； （2）根据组装的总量÷每天组装的数量＝需要的天数，列式解答。 【详解】（1），，，， 4组数据的乘积都是300，再根据每天组装的数量×需要的天数＝组装总量，代入对应的字母即可。 所以用a表示每天组装的数量，t表示需要的天数，那么a与t成反比例关系，这个关系用式子表示是。 （2）（天） 答：组装完这批电脑需要4天。 题型六：用比例解决问题 【例6】古代我国沿海居民利用海水制食盐，将海水引入盐田，晒干后得到海盐，此法称为“盐田法”。已知500千克海水能晒制15千克海盐，那么引入17500吨海水，可以晒制多少吨海盐？（用比例解） 【答案】525吨 【分析】分析题目，设引入17500吨海水，可以晒制x吨海盐，再根据海水的质量∶海盐的质量的比值不变列出比例500∶15＝17500∶x，最后解出比例即可。 【详解】解：设引入17500吨海水，可以晒制x吨海盐。 500∶15＝17500∶x 500x＝15×17500 500x＝262500 x＝262500÷500 x＝525 答：引入17500吨海水，可以晒制525吨海盐。 【练5】 小冬和小丁是乐于探究和实验的一对好朋友。为了测量一座教学楼的高度，在天气晴朗的一天，他们带着尺子来到教学楼旁边，做了以下试验，并收集了一些信息。 步骤1：小冬测得小丁的身高是150厘米； 步骤2：小冬让小丁站在教学楼旁边，测得小丁的影子的长度是30厘米； 步骤3：小冬测得教学楼的影子的长度是2.7米。 根据以上信息，请你计算这座教学楼的实际高度。（用比例解） 【答案】13.5米 【分析】在同一时间、同一地点，物体的高度与其影长成正比例关系。根据1米＝100厘米，低级单位化高级单位除以进率，所以150厘米＝1.5米，30厘米＝0.3米；设教学楼的实际高度是x米，列比例为：x∶2.7＝1.5∶0.3，解比例求出教学楼的实际高度是多少米。 【详解】解：设教学楼的实际高度是x米。 150厘米＝1.5米 30厘米＝0.3米 x∶2.7＝1.5∶0.3 0.3x＝2.7×1.5 0.3x＝4.05 0.3x÷0.3＝4.05÷0.3 x＝13.5 答：教学楼的实际高度是13.5米。 一、填空题 1．42∶0.6的比值是( )，12∶2的比值是( )，这两个比的比值( )，所以这两个比( )（填“能”或“不能”）组成比例。 【答案】 70 6 不相等 不能 【分析】比值是比的前项除以比的后项的商，分别求出题目中给出的这两个比的商；再根据比例的定义“若两个比的比值相等，则能组成比例，否则不能”判断这两个比能不能组成比例。据此解答。 【详解】 ，所以这两个比不能组成比例。 42∶0.6的比值是70，12∶2的比值是6，这两个比的比值不相等，所以这两个比不能组成比例。 2．比例7∶3＝21∶9的内项3增加6，要使比例仍然成立，外项9应该增加( )。 【答案】18 【分析】根据题意，原比例式7∶3＝21∶9的内项3增加6，要使比例仍然成立，设外项9应该增加，据此列出比例方程7∶（3＋6）＝21∶（9＋），解比例即可得解。 【详解】解：设外项9应该增加。 7∶（3＋6）＝21∶（9＋） 7（9＋）＝21×（3＋6） 7（9＋）＝21×9 9＋＝21×9÷7 9＋＝27 ＝27－9 ＝18 外项9应该增加18。 3．音乐老师让同学们用12的因数来创作音乐节奏，要求选出4个数组成一个比例，这个比例可能是( )。 【答案】 1：2＝3：6 【分析】首先找出12的所有因数：1、2、3、4、6、12，根据比例的基本性质（内项积等于外项积），从这6个数中选出4个不同的数组成比例。例如，1×6＝2×3，因此1∶2＝3∶6成立。 【详解】因为12的因数有1、2、3、4、6、12，根据比例的基本性质（内项积＝外项积），选择4个不同的数组成比例：选1、2、3、6时，1×6＝2×3，因此，比例可写为1∶2＝3∶6；选2、4、6、12时，2×12＝4×6，因此，比例可写为2∶4＝6∶12；选1、2、6、12时，1×12＝2×6，因此，比例可写为1∶2＝6∶12，以上均符合条件，题目只需填写一个正确答案即可。 4．已知a∶b＝c∶d，现将a扩大到原来的2倍，b缩小到原来的，不变，d应( )，比例仍然成立。 【答案】缩小到原来的 【分析】a扩大到原来的2倍是2a，b缩小到原来的是b，则2a∶b＝4a∶b，c不变，设变化后的d为d1，所以4a∶b＝c∶d1。再根据比例的性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。已知a∶b＝c∶d，则ad＝bc，故4a×d1＝bc，因为4a×d＝ad，所以d1＝d。 【详解】设变化后的d为d1 根据题意变化后的左边为：2a∶b＝4a∶b， 即4a∶b＝c∶d1， 由a∶b＝c∶d，得ad＝bc， 所以4a×d1＝bc。 因为4a×d＝ad，所以d1＝d，即d缩小到原来的。 因此，已知a∶b＝c∶d，现将a扩大到原来的2倍，b缩小到原来的，不变，d应缩小到原来的，比例仍然成立。 5．已知、（均不为0）能满足＝，那么∶＝( )∶( )。 【答案】 3 5 【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 根据比例的基本性质，先把＝改写成比例式，一个外项是，一个内项是的比例，则和相乘的数就作为比例的另一个外项，和相乘的数就作为比例的另一个内项，据此写出比例，再化简即可。 【详解】由＝可得： ∶＝∶ ＝（×15）∶（×15） ＝3∶5 已知、（均不为0）能满足＝，那么∶＝3∶5。 6．科学小组的同学做实验，在弹簧的弹性限度内，所挂物体的质量与弹簧伸长的长度情况如下表： 物体质量（kg） 0 1 2 3 4 5 6 … 10 弹簧伸长长度（cm） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 5 根据科学小组测量的数据，在弹簧的弹性限度内，所挂物体的质量与弹簧伸长的长度成( )比例关系，在下面简要说明理由：( )。 【答案】 正 所挂物体的质量与弹簧伸长的长度的比值一定 【分析】当两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量。如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量。 【详解】1∶0.5＝2∶1＝3∶1.5＝4∶2＝5∶2.5＝6∶3＝10∶5＝2 在弹簧的弹性限度内，所挂物体的质量与弹簧伸长的长度成正比例关系。理由如下：在弹簧的弹性限度内，发现物体质量增加，弹簧伸长长度也增加，且所挂物体的质量与弹簧伸长的长度的比值一定，因此在弹簧的弹性限度内，所挂物体的质量与弹簧伸长的长度成正比例。 7．如图，张明在数学实践课中，利用硬纸条做了一个平衡支架开展数学实验。如果在支架左侧第4个孔挂3颗珠，右侧第2个孔应挂( )颗珠，支架才能保持平衡。 【答案】6 【分析】根据题意可知，支架平衡时，左侧的孔数×挂的珠子数量＝右侧的孔数×挂的珠子数量，据此列反比例解答。 【详解】解：设右侧第2个孔应挂x颗珠，支架才能保持平衡。 2x＝3×4 2x＝12 x＝12÷2 x＝6 所以右侧第2个孔应挂6颗珠，支架才能保持平衡。 二、判断题 8．长方体的高一定，它的体积与底面积成正比例．( ) 【答案】正确 【详解】略 9．如果A∶＝6.5∶B（A、B都不为0），那么A和B成反比例。( ) 【答案】 √ 【分析】根据反比例的定义，若两个量的乘积一定，则它们成反比例。根据比例基本性质：比例的两内项之积等于两外项之积，将比例式转化为方程，计算A与B的乘积是否为定值，据此可判断A和B是否成反比例。 【详解】由题意得： A∶＝6.5∶B 根据比例的基本性质得： A×B＝×6.5 A×B＝3.25 即A和B的乘积为定值3.25，所以A和B成反比例。则题干结论正确。 故答案为：√ 三、选择题 10．能与∶组成比例的比是（    ） A．2∶3 B．6∶9 C．∶ D．∶ 【答案】C 【分析】表示两个比相等的式子叫做比例；比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外），比值不变；根据比例的意义和比基本性质进行解答即可。 【详解】∶＝（×12）∶（×12）＝3∶2 A．2∶3与∶不相同，不符合题意； B．6∶9＝（6÷3）∶（9÷3）＝2∶3，与∶不相同，不符合题意； C．∶＝（×6）∶（6×）＝3∶2，与∶相同，符合题意； D．∶＝（×18）∶（18×）＝2∶3，与∶不相同，不符合题意； 故答案为：C 11．两个圆柱形容器内原来的水面高度都是，它们的底面直径都是。①号容器内放一个小球后，水面高度为。②号容器内放入一个小球和一个大球后，水面高度为。两个容器内的小球完全相同，小球的体积与大球的体积的比是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】①号容器内放一个小球后，水面高度为，10－8＝2（厘米），则小球的体积等于高为2厘米的圆柱的体积；②号容器内放入一个小球和一个大球后，水面高度为15cm，15－10＝5（厘米），则大球的体积等于高为5厘米的圆柱的体积。两个圆柱形容器的底面直径都是，则底面积相等。圆柱的体积÷高＝底面积，底面积一定，圆柱的体积和高成正比例关系，则两个圆柱的体积比等于它们高的比，据此解答。 【详解】10－8＝2（厘米） 15－10＝5（厘米） 小球的体积与大球的体积的比是2∶5。 故答案为：A 【点睛】本题考查正比例的应用，理解“底面积一定，两个圆柱的体积比等于高的比”是解题的关键。 12．仔细观察下表，表中相对应的两个量（    ）。 单价（元） 1 2 3 4 5 6 件数（件） 600 300 200 150 120 100 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 【答案】B 【分析】单价×件数＝总价，观察表格发现各种单价下与对应的件数相乘的乘积都是600，据此结合正比例反比例的定义，选出正确选项即可。 【详解】观察表格发现，单价与对应件数的乘积是一定的，所以单价和件数成反比例。 故答案为：B 【点睛】本题考查了正比例和反比例，乘积一定的两个量成反比例，商一定的两个量成正比例。 13．下列两种量成反比例关系的是（    ）。 A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．圆柱的体积一定，它的底面半径和高 C．正方体的表面积一定，它的棱长和棱的数量 D．三角形的面积一定，它的底边的长度和对应的高 【答案】D 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么它们就成反比例关系。逐一分析各选项中的两个量是否存在乘积为定值的关系。 【详解】A．长方形的周长公式为C＝2×（a＋b）（C为周长，a为长，b为宽）。当周长C一定时，a＋b＝C÷2（一定），是和一定，不是乘积一定，所以长和宽不成反比例关系。 B．圆柱的体积公式为V＝πr2h（V为体积，r为底面半径，h为高）。当体积V一定时，πr2h＝V（一定），是r2与h的乘积一定，而不是底面半径r和高h的乘积一定，所以底面半径和高不成反比例关系。 C．正方体的表面积公式为S＝6a2（S为表面积，a为棱长），棱的数量是固定的12条，棱长和棱的数量之间不存在乘积一定的关系，所以不成反比例关系。 D．三角形的面积公式为S＝ah÷2（S为面积，a为底边长度，h为对应的高）。当面积S一定时，ah＝2S（一定），是底边的长度和对应的高的乘积一定，所以它们成反比例关系。 成反比例关系的是选项D中的两种量。 故答案为：D 14．在一个比例中，一个外项缩小到原来的，要使比例成立，下面说法正确的有（    ）个。 ①另一个外项扩大6倍        ②其中一个内项缩小到原来的 ③其中一个内项扩大6倍        ④两个内项分别缩小到原来的和 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。假设原比例为a∶b＝c∶d（都不为0），则a×d＝b×c。现在一个外项（如a）缩小到原来的，即变为a，所以外项积缩小到原来的。 ①另一个外项（如a）扩大6倍，变为6d。此时两外项之积为a×6d＝a×d，两内项之积仍为b×c。因为a×d＝b×c，所以比例成立。 ②外项积缩小到原来的，现在一个内项缩小到原来的，即内项积也缩小到原来的。因为a×d＝b×c，所以（a×d）＝（b×c），比例成立。 ③其中一个内项（如b）扩大6倍，变为6b。此时两内项之积为6b×c＝6（b×c），两外项之积为a×d＝（a×d）。因为a×d＝b×c，所以（a×d）不等于6（b×c），比例不成立。 ④两个内项分别缩小到原来的和，即b变为b，c变为c。此时两内项之积为b×c＝（b×c），两外项之积为a×d＝（a×d）。因为a×d＝b×c，所以（a×d）＝（b×c），比例成立。 【详解】假设原比例为a∶b＝c∶d（都不为0），则a×d＝b×c。一个外项（如a）缩小到原来的，即变为a，所以外项积缩小到原来的。。 ①外项d扩大6倍。a×6d＝a×d，b×c。a×d＝b×c，该说法正确。 ②一个内项缩小到原来的，内项积也缩小到原来的。a×d＝b×c，（a×d）＝（b×c），该说法正确。 ③内项（如b）扩大6倍。6b×c＝6（b×c），a×d＝（a×d）。a×d＝b×c，（a×d）不等于6（b×c），比例不成立，该说法错误。 ④内项分别缩小到原来的和，b×c＝（b×c），a×d＝（a×d）。a×d＝b×c，（a×d）＝（b×c），该说法正确。 所以说法①②④正确，共3个。 故答案为：C 15．六（1）班四个同学根据下表的配比调制蜂蜜水，并写出了比例式，其中正确的有（    ）个。 调制蜂蜜水配比情况表 蜂蜜水A 蜂蜜水B 蜂蜜/杯 2 3 水/杯 12 18 ①琳琳：18∶3＝12∶2    ②东东：2∶3＝12∶18 ③云云：2∶12＝3∶18    ④俊俊：12∶3＝18∶2 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】判断比例式是否正确，需验证两个比的比值是否相等或交叉相乘是否相等。根据蜂蜜水A和B的配比，蜂蜜A∶水A=2∶12=1∶6，蜂蜜B∶水B=3∶18=1∶6，说明两种蜂蜜水的浓度相同。只需要逐项判断比值是否相等或交叉相乘是否相等即可。 【详解】①琳琳：18∶3＝12∶2，即水B∶蜂蜜B＝水A∶蜂蜜A，比值均为6，正确。 ②东东：2∶3＝12∶18，即蜂蜜A∶蜂蜜B＝水A∶水B，比值均为，正确。 ③云云：2∶12＝3∶18，即蜂蜜A∶水A＝蜂蜜B∶水B，比值均为，正确。 ④俊俊：12∶3＝18∶2，即水A∶蜂蜜B＝水B∶蜂蜜A，比值分别为4和9，不等，错误。 综上，正确的有①②③，共3个。 故答案为：C 16．丽丽调制了两杯蜂蜜水，第一杯用了25ml蜂蜜和200ml水，第二杯用了30ml蜂蜜和xml水。下面哪个比例不能说明两杯蜂蜜水一样甜？（    ） A．200∶225＝x∶（30＋x） B．225∶25＝（30＋x）∶30 C．25∶200＝30∶x D．25∶225＝30∶x 【答案】D 【分析】判断两杯甜度相同的关键是蜂蜜与水的比例或蜂蜜占总体积的比例相等。 第一杯∶蜂蜜25ml，水200ml，总体积225ml。 蜂蜜与水比例∶25∶200＝1∶8 蜂蜜与总体积比例∶25∶225＝1∶9 第二杯∶蜂蜜30ml，水xml，总体积（30＋x）ml。 若甜度相同，则需满足∶蜂蜜与水比例30∶x＝1∶8或蜂蜜与总体积比例30∶（30＋x）＝1∶9 【详解】A．水与总体积比例相等（200∶225＝8∶9，右边x∶（30＋x）＝8∶9时成立→x＝240） B．总体积与蜂蜜比例相等（225∶25＝9∶1，右边（30＋x）∶30＝9∶1时成立→x＝240） C．蜂蜜与水比例相等（25∶200＝30∶x→x＝240） D．蜂蜜与总体积比例25∶225＝30∶x→x＝270，此时第二杯蜂蜜与水比例为30∶270＝1∶9≠1∶8，比例不同，甜度不同。 故答案为：D 17．把一根木料锯成3段需6分钟，照这样计算，若锯成5段需x分钟，列式正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析题目，需要的总时间∶锯的次数＝锯一次的时间（一定），锯成的段数－1＝锯的次数，根据锯成3段需要的时间∶（锯的段数－1） ＝锯成5段需要的时间∶（锯的段数－1）列出比例方程并判断即可。 【详解】解：设锯成5段需x分钟， 2x＝6×4 2x＝24 2x÷2＝24÷2 x＝12 所以锯成5段需12分钟，列式正确的是。 故答案为：B 四、计算题 18．应用比例的基本性质，判断下面哪组中的两个比能组成比例，并把能组成的比例写出来。 （1）4∶6和6∶8        （2）和      （3）和 【答案】（1）不能组成比例。 （2）能组成比例。 （3）不能组成比例。 【分析】根据比例的性质，假设每组中的两个比可以组成比例，分别求出比例的内项积、外项积，再看它们是否相等，进而作出判断。 【详解】（1）   不能组成比例。 （2）      能组成比例。 （3）      不能组成比例。 19．解比例。 （1）       （2）       （3） 【答案】（1）x＝24；（2）x＝0.6；（3）x＝12 【分析】（1）先根据比例的基本性质得出3x＝8×9，再根据等式的性质2两边同时除以3，求出未知数的值。 （2）先根据比例的基本性质得出，再根据等式的性质2两边同时除以2，求出未知数的值。 （3）先根据比例的基本性质得出3x＝18×2，再根据等式的性质2两边同时除以3，求出未知数的值。 【详解】 五、解答题 20．我国风能资源丰富，风力发电架随处可见。数学实践小组测得一座风力发电架在阳光下的影长是64米。同时把一根长2米的竹竿直立在地上，测得在阳光下的影长是1.6米，风力发电架高多少米？（用比例知识解答问题） 【答案】80米 【分析】分析题目，设风力发电架的高是x米，根据风力发电架的影长∶风力发电架的实际高度＝竹竿的影长∶竹竿的实际高度列出比例64∶x＝1.6∶2，最后解出比例即可。 【详解】解：设风力发电架的高是x米。 64∶x＝1.6∶2 1.6x＝64×2 1.6x＝128 x＝128÷1.6 x＝80 答：风力发电架的高是80米。 21．一间房子，如果用边长4分米的方砖铺地，需要108块铺满，如果改用边长是6分米的方砖铺地，需要多少块才能铺满？（用比例解） 【答案】48块 【分析】根据题意，房子地面的面积一定，即每块方砖的面积×方砖的块数＝房子地面的面积（一定），积一定，那么每块方砖的面积与方砖的块数成反比例关系，设需要用边长6分米的方砖x块，根据反比例关系列出方程。 【详解】解：设需要边长是6分米的方砖x块才能铺满。 （6×6）x＝（4×4）×108 36x＝16×108 36x＝1728 x＝1728÷36 x＝48 答：需要48块才能铺满。 22．五年级同学研究“曹冲称象”中的数学问题。把一袋饼干放在“小船”上，“小船”下沉0.5厘米；把一袋葡萄干放在“小船”上，“小船”下沉0.8厘米。已知这袋饼干的质量是150克，这袋葡萄干的质量是多少克？（用比例解答） 【答案】240克 【分析】根据题意，放在“小船”上的物体越重，“小船”下沉越深，物体的质量与“小船”下沉深度的比值是一定的，那么一袋饼干的质量∶“小船”下沉的深度（0.5厘米）＝一袋葡萄干的质量∶“小船”下沉的深度（0.8厘米），设这袋葡萄干的质量是x克，可列出比例：x∶0.8＝150∶0.5，解出比例即可。 【详解】解：设这袋葡萄干的质量是x克。 x∶0.8＝150∶0.5 0.5x＝0.8×150 0.5x＝120 x＝120÷0.5 x＝240 答：这袋葡萄干的质量是240克。 23．一辆客车从甲地开往乙地，每小时行70千米，2小时可到达。如果每小时行80千米，多少小时可到达？（用比例解） 【答案】小时 【分析】设如果每小时行80千米，x小时可到达，甲乙两地的路程一定所以速度和时间成反比例，根据以上分析列比例，解比例即可得到答案。 【详解】解：设x小时可到达。 80x＝70×2， x＝， x＝， 答：小时可到达。 【点睛】本题考查用比例解决问题，明确题目中的比例关系是解答此题的关键。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 比例 知识清单 知识点一：比例的意义 核心概念 ：表示两个比相等的式子叫做比例。 1、比例的组成 ：组成比例的四个数，叫作比例的项。两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。 应用场景 ：判断两个比能否组成比例，如3:4和6:8，因为3×8=4×6=24，所以3:4=6:8。 2、比和比例的区别与联系 知识点二：比例的基本性质 核心性质 ：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 数学表达 ：如果a:b=c:d，那么a×d=b×c。 特点 ：这是解比例和判断比例的重要依据。 知识点三：解比例 核心方法 ：根据比例的基本性质，求比例中的未知项，叫作解比例。 2.解比例的基本方法:根据比例的基本性质,先把比例转化为“外项之积 =内项之积”的等式,再解方程求出未知项的值。 3.应用场景 ：已知比例中的三项，求第四项。 知识点四：正比例的意义 核心概念 ：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量。 数学表达 ：如果=k（k为常数），那么x和y成正比例关系。 特点 ：一个量增加，另一个量也按相同的比增加；一个量减少，另一个量也按相同的比减少。 判断方法： 知识点五：反比例的意义 核心概念 ：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量。 数学表达 ：如果x×y=k（k为常数），那么x和y成反比例关系。 特点 ：一个量增加，另一个量按相同的比减少；一个量减少，另一个量按相同的比增加。 判断方法： 知识点六：用比例解决问题 利用解比例解决实际问题的步骤: (1)根据相关量之间的关系列出比例; (2)根据比例的基本性质,先将比相等转化为积相等,再解方程; (3)对所求未知数进行验证。 特点 ：先判断两种量的关系，再根据关系特点列出比例式求解。 题型一：比例的意义 【例1】 下面哪几组中的两个比能组成比例？把组成的比例写出来。 （1）和5：3      （2）0.9∶0.3和3.6∶12        （3）7∶9和18∶14 【练1】 下面哪组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来。 （1）6∶9和8∶12    （2）1.4∶2和4.2∶6    （3）和    （4）和 题型二：比例的基本性质 【例2】在一个比例里，两个内项互为倒数，其中一个外项是0.5，另一个外项是( )。 【练2】 计算园地。 ∶＝( )∶            ( )∶＝3∶ ∶＝( )∶            ∶＝1∶( ) ∶＝( )∶             ∶＝( )∶ ∶＝∶( )          ∶＝( )∶ 题型三：解比例 【例3】解比例。 ①               ② ③                 ④ 【练3】解方程或比例。                            题型四：正比例的意义 【例4】一根弹簧挂上物体（质量不超过20kg）后会伸长。如图表示弹簧伸长的长度和所挂物体的质量之间的关系。弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成( )比例。如果挂上6kg的物体，那么弹簧将伸长( )cm。 【练4】下表是小麦的质量与磨出面粉的质量之间的变化情况。 小麦的质量/kg 20 30 40 50 60 磨出面粉的质量/kg 16 24 32 40 48 （1）写出磨出面粉的质量和小麦的质量的比，求出比值，你有什么发现？ （2）磨出面粉的质量和小麦的质量是否成正比例？请说明理由。 题型五：反比例的意义 【例5】把一张100元的人民币分别换成同一种面值的零钱。 （1）完成下表并填一填。 零钱面值 50元 20元 10元 5元 1元 张数 （2）观察上表，零钱的面值越小，换的张数就越（    ）；零钱的面值越（    ），换的张数就越少。零钱的面值×张数＝（    ）元，这两个量成（    ）比例。 【练5】 某公司有一批电脑需要组装，每天组装的数量和需要的天数如下表。 每天组装的数量/台 60 50 15 12 … 需要的天数 5 6 20 25 … （1）如果用a表示每天组装的数量，t表示需要的天数，那么a与t成（    ）比例关系，这个关系用式子表示是（    ）。 （2）如果每天组装75台，组装完这批电脑需要多少天？ 题型六：用比例解决问题 【例6】古代我国沿海居民利用海水制食盐，将海水引入盐田，晒干后得到海盐，此法称为“盐田法”。已知500千克海水能晒制15千克海盐，那么引入17500吨海水，可以晒制多少吨海盐？（用比例解） 【练5】 小冬和小丁是乐于探究和实验的一对好朋友。为了测量一座教学楼的高度，在天气晴朗的一天，他们带着尺子来到教学楼旁边，做了以下试验，并收集了一些信息。 步骤1：小冬测得小丁的身高是150厘米； 步骤2：小冬让小丁站在教学楼旁边，测得小丁的影子的长度是30厘米； 步骤3：小冬测得教学楼的影子的长度是2.7米。 根据以上信息，请你计算这座教学楼的实际高度。（用比例解） 一、填空题 1．42∶0.6的比值是( )，12∶2的比值是( )，这两个比的比值( )，所以这两个比( )（填“能”或“不能”）组成比例。 2．比例7∶3＝21∶9的内项3增加6，要使比例仍然成立，外项9应该增加( )。 3．音乐老师让同学们用12的因数来创作音乐节奏，要求选出4个数组成一个比例，这个比例可能是( )。 4．已知a∶b＝c∶d，现将a扩大到原来的2倍，b缩小到原来的，不变，d应( )，比例仍然成立。 5．已知、（均不为0）能满足＝，那么∶＝( )∶( )。 6．科学小组的同学做实验，在弹簧的弹性限度内，所挂物体的质量与弹簧伸长的长度情况如下表： 物体质量（kg） 0 1 2 3 4 5 6 … 10 弹簧伸长长度（cm） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 5 根据科学小组测量的数据，在弹簧的弹性限度内，所挂物体的质量与弹簧伸长的长度成( )比例关系，在下面简要说明理由：( )。 7．如图，张明在数学实践课中，利用硬纸条做了一个平衡支架开展数学实验。如果在支架左侧第4个孔挂3颗珠，右侧第2个孔应挂( )颗珠，支架才能保持平衡。 二、判断题 8．长方体的高一定，它的体积与底面积成正比例．( ) 9．如果A∶＝6.5∶B（A、B都不为0），那么A和B成反比例。( ) 三、选择题 10．能与∶组成比例的比是（    ） A．2∶3 B．6∶9 C．∶ D．∶ 11．两个圆柱形容器内原来的水面高度都是，它们的底面直径都是。①号容器内放一个小球后，水面高度为。②号容器内放入一个小球和一个大球后，水面高度为。两个容器内的小球完全相同，小球的体积与大球的体积的比是（    ）。 A． B． C． D． 12．仔细观察下表，表中相对应的两个量（    ）。 单价（元） 1 2 3 4 5 6 件数（件） 600 300 200 150 120 100 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 13．下列两种量成反比例关系的是（    ）。 A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．圆柱的体积一定，它的底面半径和高 C．正方体的表面积一定，它的棱长和棱的数量 D．三角形的面积一定，它的底边的长度和对应的高 14．在一个比例中，一个外项缩小到原来的，要使比例成立，下面说法正确的有（    ）个。 ①另一个外项扩大6倍        ②其中一个内项缩小到原来的 ③其中一个内项扩大6倍        ④两个内项分别缩小到原来的和 A．1 B．2 C．3 D．4 15．六（1）班四个同学根据下表的配比调制蜂蜜水，并写出了比例式，其中正确的有（    ）个。 调制蜂蜜水配比情况表 蜂蜜水A 蜂蜜水B 蜂蜜/杯 2 3 水/杯 12 18 ①琳琳：18∶3＝12∶2    ②东东：2∶3＝12∶18 ③云云：2∶12＝3∶18    ④俊俊：12∶3＝18∶2 A．1 B．2 C．3 D．4 16．丽丽调制了两杯蜂蜜水，第一杯用了25ml蜂蜜和200ml水，第二杯用了30ml蜂蜜和xml水。下面哪个比例不能说明两杯蜂蜜水一样甜？（    ） A．200∶225＝x∶（30＋x） B．225∶25＝（30＋x）∶30 C．25∶200＝30∶x D．25∶225＝30∶x 17．把一根木料锯成3段需6分钟，照这样计算，若锯成5段需x分钟，列式正确的是（    ）。 A． B． C． D． 四、计算题 18．应用比例的基本性质，判断下面哪组中的两个比能组成比例，并把能组成的比例写出来。 （1）4∶6和6∶8        （2）和      （3）和 19．解比例。 （1）       （2）       （3） 五、解答题 20．我国风能资源丰富，风力发电架随处可见。数学实践小组测得一座风力发电架在阳光下的影长是64米。同时把一根长2米的竹竿直立在地上，测得在阳光下的影长是1.6米，风力发电架高多少米？（用比例知识解答问题） 21．一间房子，如果用边长4分米的方砖铺地，需要108块铺满，如果改用边长是6分米的方砖铺地，需要多少块才能铺满？（用比例解） 22．五年级同学研究“曹冲称象”中的数学问题。把一袋饼干放在“小船”上，“小船”下沉0.5厘米；把一袋葡萄干放在“小船”上，“小船”下沉0.8厘米。已知这袋饼干的质量是150克，这袋葡萄干的质量是多少克？（用比例解答） 23．一辆客车从甲地开往乙地，每小时行70千米，2小时可到达。如果每小时行80千米，多少小时可到达？（用比例解） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $