第8章 成对数据的统计分析 章末整合提升(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

该高中数学单元复习讲义通过知识框架系统梳理了回归分析与独立性检验的核心内容，以“概念-步骤-应用”为主线构建知识体系，用散点图、残差图直观呈现回归分析过程，通过2×2列联表清晰展示独立性检验的数据关系，突出最小二乘法、χ²公式等重难点的内在逻辑。 讲义亮点在于“考教衔接”的分层练习设计，如结合教材原题设置2024全国甲卷优级品率检验、2022新高考Ⅰ卷卫生习惯与疾病关系等真题变式，通过“反思感悟”提炼解题步骤，培养数学眼光（数据观察）、数学思维（逻辑推理）。基础题巩固公式应用，综合题提升建模能力，助力学生自主复习，也为教师提供精准教学依据。

一、回归分析 　　回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.其基本步骤为通过散点图和经验选择经验回归方程的类型：对于线性回归分析，直接根据最小二乘法求出经验回归方程；而非线性回归分析，则要通过换元，或取对数等代数变换转化为线性回归分析模型，最后应用于实际或对预报变量进行预测. 【例】　如图给出了根据我国2019—2025年水果人均占有量y（单位：kg）和年份代码x绘制的散点图和经验回归方程的残差图（2019—2025年的年份代码x为1—7）. （1）根据散点图分析y与x之间的相关关系； （2）根据散点图相应数据计算得yi＝1 074，xiyi＝4 517，求y关于x的经验回归方程（精确到0.01）； （3）根据经验回归方程的残差图，分析经验回归方程的拟合效果. 附：经验回归直线＝＋x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ＝，＝－. 【反思感悟】 解决回归分析问题的一般步骤 （1）画散点图：根据已知数据画出散点图； （2）判断变量的相关性并求经验回归方程：通过观察散点图，直观感知两个变量是否具有相关关系.在此基础上，利用最小二乘法求，，然后写出经验回归方程； （3）回归分析：画残差图或计算R2，进行残差分析； （4）实际应用：依据求得的经验回归方程解决实际问题. 二、独立性检验（考教衔接） 　　独立性检验研究的主要问题是讨论两个分类变量之间关联性问题.为此需先列出2×2列联表，从表格中可以直观地得到两个分类变量是否有关系.另外等高堆积条形图能更直观地反映两个分类变量之间的情况.独立性检验的思想是先假设二者无关系，求随机变量χ2的值，若χ2大于临界值，则拒绝假设，否则，接受假设. 教材原题　（教材P140复习参考题8题）为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表： 单位：只　 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 75 66 141 服用 112 47 159 合计 187 113 300 依据α＝0.05的独立性检验，能否认为药物有效呢？如何解释得到的结论？ 变式1　真题检验　独立性检验与概率的实际应用 （2024·全国甲卷理17题）某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 （1）填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？ （2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5.设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率，如果＞p＋1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（≈12.247） 附：K2＝， P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 . 变式2　真题检验　独立性检验与概率证明 （2022·新高考Ⅰ卷20题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 （1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ （2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R. ①证明：R＝·； ②利用该调查数据，给出P（A｜B），P（A｜）的估计值，并利用①的结果给出R的估计值. 附：K2＝， P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 . 【反思感悟】 解独立性检验应用问题的关注点 （1）两个明确：①明确两类主体；②明确研究的两个问题； （2）两个准确：①准确列出2×2列联表；②准确理解χ2. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 章末整合提升 【例】　解：（1）根据散点图可知y与x呈正线性相关. （2）由所给数据计算得 ＝×（1＋2＋…＋7）＝4， ＝＝＝≈7.89， ＝－≈－7.89×4≈121.87. 故所求经验回归方程为＝7.89x＋121.87. （3）由题中给出的残差图知历年数据的残差均在－2到2之间，说明经验回归方程的拟合效果较好. 变式1　解：（1）填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 则完整的2×2列联表如下： 优级品 非优级品 总计 甲车间 26 24 50 乙车间 70 30 100 总计 96 54 150 K2＝＝4.687 5. 因为K2＝4.687 5＞3.841，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异； 因为K2＝4.687 5＜6.635，所以没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异. （2）由题意可知＝＝0.64， 又p＋1.65＝0.5＋1.65×≈0.5＋1.65×≈0.57， 所以＞p＋1.65， 所以能认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. 变式2　解：（1）K2＝＝24＞6.635， 所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异. （2）①证明：R＝ ＝， 由题意知，证明＝即可， 左边＝ ＝， 右边＝ ＝. 左边＝右边，故R＝·. ②由调查数据可知P（A｜B）＝＝，P（A｜）＝＝， 且P（｜B）＝1－P（A｜B）＝， P（｜）＝1－P（A｜）＝， 所以R＝×＝6. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $