7.5 正态分布(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦正态分布核心知识点，通过离散型与连续型随机变量对比引入，系统梳理正态曲线的定义、参数特征（μ、σ）及性质，构建从概念理解到概率计算（3σ原则）再到实际应用的学习支架。 资料以问题驱动结合几何直观，通过高尔顿板试验、频率分布直方图等培养直观想象，例题融入零件尺寸、成绩分析等实际情境发展数学建模，课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

7.5　正态分布 课标要求 1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量（数学抽象）. 2.通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征（直观想象）. 3.了解正态分布的均值、方差及其含义，并会用正态分布去解决实际问题（数学建模、数学运算）. 知识点一｜正态曲线及其特征 问题　（1）下列随机变量是离散型随机变量吗？ ①掷一枚骰子一次，用X表示所得点数； ②白炽灯的使用时间. （2）教材P74例2的高尔顿板试验中，随着重复次数的增加，频率分布直方图的形状会越来越像一条钟形曲线，那么这条曲线是否存在函数解析式呢？ 【知识梳理】 1.正态曲线：若f（x）＝，x∈R，其中μ∈R，σ＞0为参数，我们称f（x）为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线（如图）. 2.正态分布 （1）若随机变量X的概率分布密度函数为f（x），则称随机变量X服从正态分布，记为　　　　　　.当μ＝　　，σ＝　　时，称随机变量X服从标准正态分布； （2）若X～N（μ，σ2），则E（X）＝　　　　，D（X）＝　　　. 3.正态曲线的特点 （1）非负性：对∀x∈R，f（x）＞0，它的图象在x轴的　　　； （2）定值性：曲线与x轴之间的面积为　　　； （3）对称性：曲线是单峰的，它关于直线　　　对称； （4）最大值：曲线在　　　处达到峰值； （5）当｜x｜无限增大时，曲线无限接近　　　轴. 　　提醒：（1）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图1；（2）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图2. 【例1】　（1）〔多选〕已知三个正态密度函数φi（x）＝（x∈R，i＝1，2，3）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A.σ1＝σ2　　　　　　 B.μ1＞μ3 C.μ1＝μ2 D.σ2＜σ3 （2）已知正态曲线的函数解析式为f（x）＝（x∈R），则μ＝　　　　，σ＝　　　　. 【规律方法】 1.利用正态曲线的特点求参数μ，σ （1）正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此特点结合图象求出μ； （2）正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此特点结合图象可求出σ. 2.“σ”决定数据的集中程度的强弱，σ越大，数据集中程度越弱，正态曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”，数据越集中. 训练1　（1）〔多选〕下列关于标准正态分布N（0，1）的概率密度函数f（x）＝·的正确的描述是（　　） A.f（x）为偶函数 B.f（x）的最大值是 C.f（x）在（0，＋∞）上是单调递减 D.f（x）关于x＝1对称 （2）已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝　　　　，方差σ2＝　　　　. 知识点二｜利用正态分布的性质求概率 【知识梳理】 1.正态分布的几何意义：若X～N（μ，σ2），如图所示，X取值不超过x的概率P（X≤x）为图中区域A的面积，而P（a≤X≤b）为区域B的面积. 2.服从于正态分布N（μ，σ2）的随机变量X在三个特殊区间内取值的概率： P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.682 7， P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.954 5， P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.997 3. 　　提醒：（1）尽管随机变量的取值范围是（－∞，＋∞），但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生；（2）在实际应用中，通常认为服从于正态分布N（μ，σ2）的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 【例2】　设ξ～N（1，22），试求： （1）P（－1≤ξ≤3）； （2）P（3≤ξ≤5）. 变式　若本例条件不变，求P（ξ＞5）. 【规律方法】 利用正态分布求概率的两个方法 （1）对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等.如：①P（X＜a）＝1－P（X≥a）；②P（X＜μ－a）＝P（X＞μ＋a）. （2）“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解. 训练2　（1）随机变量X～N（8，σ2）.若P（7≤X≤9）＝0.4，则P（X＞9）＝（　　） A.0.6　　　　　　　　B.0.5 C.0.4 D.0.3 （2）已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X＞5）＝0.2，则P（1＜X＜3）＝（　　） A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 知识点三｜正态分布的实际应用 【例3】　（链接教材P86例）有一种精密零件，其尺寸X（单位：mm）服从正态分布N（20，4）.若这批零件共有5 000个，试求： （1）这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比； （2）若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？ 【规律方法】 求正态变量X在某区间内取值的概率的基本步骤 （1）根据题目中给出的条件确定μ与σ的值； （2）将待求问题向[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化； （3）利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果. 训练3　（1）某校高三学生的数学模考成绩X服从正态分布N（85，102），按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级.若小张的数学成绩为92分，则他的等级是（　　） A.优秀 B.良好 C.合格 D.基本合格 （2）在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N（80，52），现在已知该班同学中成绩在80～85分的有17人，该班成绩在90分以上的同学有多少人？ 1.如果ξ～N（μ，σ2），且E（ξ）＝3，D（ξ）＝1，那么P（2≤ξ≤4）的值约为（　　） A.0.5 B.0.682 7 C.0.954 5 D.0.997 3 2.某高中对高三年级的1 000名学生进行了一次数学测试，得到各同学的数学成绩（满分150分）X近似服从正态分布N（120，100），则得分在区间[130，140]内的学生大约有（参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.7，P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.96）（　　） A.324人 B.90人 C.130人 D.45人 3.〔多选〕一次数学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态曲线如图所示，下列说法中不正确的是（　　） A.甲科总体的标准差最小 B.丙科总体的平均数最小 C.乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大 D.甲、乙、丙总体的平均数不相同4.设随机变量X～N（2，σ2），若P（X≤1－a）＋P（X≤1＋2a）＝1，则实数a＝　　　　. 课堂小结 1.理清单 （1）正态曲线及其特征； （2）利用正态分布的性质求概率； （3）正态分布的实际应用. 2.应体会 （1）利用数形结合思想研究正态曲线的性质； （2）利用正态分布的性质求概率体现了转化与化归思想. 3.避易错 概率区间转化不等价. 提示：完成课后作业　第七章　7.5 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.5　正态分布 【例1】　（1）AD　（2）2　3　解析：（1）根据正态曲线关于直线x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，所以μ1＜μ2＝μ3，B、C错误；又σ越小数据越集中，图象越瘦高，所以σ1＝σ2＜σ3，A、D正确. （2）将所给的函数解析式与正态分布密度函数的解析式对照可得μ＝2，σ＝3. 训练1　（1）ABC　（2）20　2　解析：（1）由正态分布密度函数f（x）＝·，可得f（x）的图象关于x＝0对称，所以f（x）为偶函数，所以A正确，D不正确；根据正态分布曲线的性质得，当x＝0时，函数f（x）取得最大值f（0）＝·e0＝，所以B正确；根据正态分布曲线的性质，可得f（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）单调递减，所以C正确. （2）从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20，＝，解得σ＝，因此总体的均值μ＝20，方差σ2＝（）2＝2. 【例2】　解：∵ξ～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2. （1）P（－1≤ξ≤3）＝P（1－2≤ξ≤1＋2）＝P（μ－σ≤ξ≤μ＋σ）≈0.682 7. （2）∵P（3≤ξ≤5）＝P（－3≤ξ≤－1）， ∴P（3≤ξ≤5）＝[P（－3≤ξ≤5）－P（－1≤ξ≤3）]＝[P（1－4≤ξ≤1＋4）－P（1－2≤ξ≤1＋2）] ＝[P（μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ）－P（μ－σ≤ξ≤μ＋σ）]≈（0.954 5－0.682 7）＝0.135 9. 变式　解：P（ξ＞5）＝P（ξ＜－3）＝[1－P（－3≤ξ≤5）] ＝[1－P（1－4≤ξ≤1＋4）]＝[1－P（μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ）]≈（1－0.954 5）＝0.022 75. 训练2　（1）D　（2）C　解析：（1）∵随机变量X～N（8，σ2），P（7≤X≤9）＝0.4，∴P（X＞8）＝0.5，P（8≤X≤9）＝0.2，∴P（X＞9）＝0.3，故选D. （2）P（1＜X＜3）＝P（3＜X＜5）＝0.5－P（X＞5）＝0.5－0.2＝0.3. 【例3】　解：（1）∵X～N（20，4），∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22， 于是尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比大约是68.27%. （2）∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24， ∴尺寸在24～26 mm间的零件所占的百分比大约是＝2.14%. ∴尺寸在24～26 mm间的零件大约有5 000×2.14%＝107（个）. 训练3　（1）B　由题得μ＝85，σ＝10，所以μ＋σ＝95，μ－σ＝75，因为P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.682 7，所以P（X＞95）≈＝0.158 65≈16%，根据比例成绩大于95分为优秀，因为P（85＜X≤95）≈＝0.341 35≈34%，根据比例成绩在85到95之间的为良好，因为小张的数学成绩为92分，则他的等级是良好.故选B. （2）解：∵成绩服从正态分布N（80，52）， ∴μ＝80，σ＝5，则μ－σ＝75，μ＋σ＝85. ∴成绩在[75，85]内的同学占全班同学的68.27%，成绩在[80，85]内的同学占全班同学的34.135%. 设该班有x名同学，则x×34.135%＝17，解得x≈50. ∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90， ∴成绩在[70，90]内的同学占全班同学的95.45%，成绩在90分以上的同学占全班同学的2.275%. 即有50×2.275%≈1（人），即成绩在90分以上的仅有1人. 随堂检测 1.B　∵ξ～N（μ，σ2），且E（ξ）＝3，D（ξ）＝1，∴ξ～N（3，1），∴P（2≤ξ≤4）＝P（3－1≤ξ≤3＋1）＝P（μ－σ≤ξ≤μ＋σ）≈0.682 7. 2.C　由题意，μ＝120，σ＝10，则P（130≤x≤140）＝×[P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）－P（μ－σ≤X≤μ＋σ）]＝×（0.96－0.7）＝0.13，得分在区间[130，140]内的学生大约有1 000×0.13＝130（人）.故选C. 3.BCD　由题图可知三科总体的平均数（均值）相等，由正态曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”.故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙. 4.2　解析：因为P（X≤1－a）＋P（X≤1＋2a）＝1，所以＝2，所以a＝2. 7.5　正态分布 问题　（1）提示：①是，②不是. （2）提示：存在. 知识梳理 2.（1）X～N（μ，σ2）　0　1　（2）μ　σ2 3.（1）上方　（2）1　（3）x＝μ　（4）x＝μ　（5）x 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $