8.3.2 独立性检验(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“独立性检验”核心知识点，系统梳理分类变量独立的概念、χ²统计量计算公式及2×2列联表应用，构建从概念理解到方法掌握再到实际问题解决的学习支架，帮助学生逐步掌握独立性检验的完整流程。 该资料以“儿童玩电脑游戏与注意力集中”等真实情境导入，通过问题辨析纠正常见误解，例题涵盖相关与无关检验，培养数学抽象与数学运算素养。课中助力教师引导学生分析数据，课后训练题可帮助学生巩固方法，查漏补缺，提升用数学语言解决实际问题的能力。

8.3.2　独立性检验 课标要求 1.理解利用2×2列联表可以检验两个随机变量的独立性（数学抽象）. 2.掌握运用2×2列联表的方法解决独立性检验的简单实际问题（数学运算）. 　　 情境导入 最新研究发现，花太多时间玩电脑游戏的儿童，患多动症的风险会加倍.青少年的大脑会很快习惯闪烁的屏幕、变幻莫测的电脑游戏，一旦如此，他们在教室等视觉刺激较少的地方，就很难集中注意力.研究人员对1 323名年龄在7岁到10岁的儿童进行调查，并在孩子父母的帮助下记录了他们在13个月里玩电脑游戏的习惯.同时，教师记下这些孩子出现的注意力不集中问题.统计获得下列数据： 是否玩 电脑游戏 注意力是否集中 合计 注意力不集中 注意力集中 不玩电脑游戏 268 357 625 玩电脑游戏 489 209 698 合计 757 566 1 323 从这则新闻中可以得出哪些结论？ 有多大把握认为你所得出的结论正确？ 知识点一｜独立性检验的理解 问题　有人说：“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟和患肺癌有关，是指每100个吸烟者中就会有99个患肺癌的.”你认为这种观点正确吗？为什么？ 提示：观点不正确.犯错误的概率不超过0.01说明的是吸烟与患肺癌有关的程度，不是患肺癌的百分数. 【知识梳理】 1.分类变量X和Y独立：如果{X＝0}与{Y＝0}独立；{X＝0}与{Y＝1}独立；{X＝1}与{Y＝0}独立；{X＝1}与{Y＝1}独立.我们就称分类变量X和Y独立. 2.独立性检验 （1）利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称　独立性检验　； （2）χ2＝　　，其中n＝a＋b＋c＋d. 3.对于零假设H0：分类变量X和Y独立，基于小概率值α的检验规则： （1）当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过　α　； （2）当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y　独立　. 4.χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【例1】　（1）〔多选〕某机构通过抽样调查，利用2×2列联表和χ2统计量研究患肺病是否与吸烟有关，计算得χ2＝3.305，经查对临界值表知P（χ2≥2.706）≈0.10，P（χ2≥3.841）≈0.05，现给出四个结论，其中正确的是（　AD　） A.因为χ2＞2.706，故依据小概率值α＝0.1的独立性检验，我们认为“患肺病与吸烟有关” B.因为χ2＜3.841，故依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“患肺病与吸烟有关” C.因为χ2＞2.706，故依据小概率值α＝0.1的独立性检验，我们认为“患肺病与吸烟无关” D.因为χ2＜3.841，故依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“患肺病与吸烟无关” 解析：（1）因为χ2＝3.305，且3.305＞2.706，由临界值表知，P（χ2≥2.706）≈0.10，所以依据小概率值α＝0.1的独立性检验，认为“患肺病与吸烟有关”，则A正确，C不正确；因为临界值3.841＞3.305，则依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“患肺病与吸烟无关”，即B不正确，D正确. （2）为了解某城市居民对冰雪运动的关注情况，随机抽取了该市100人进行调查统计，得到如下2×2列联表： 性别 冰雪运动 合计 关注 不关注 男 45 10 55 女 25 20 45 合计 70 30 100 则下列说法正确的是（　A　） 参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 附表： α 0.100 0.050 0.010 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 A.依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“关注冰雪运动与性别有关” B.依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“关注冰雪运动与性别无关” C.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别无关” D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别有关” 解析：（2）依题意，χ2＝≈8.129＞6.635＝x0.01，所以依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“关注冰雪运动与性别有关”，A正确，B、C不正确；而8.129＜10.828＝x0.001，在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，没有充分的证据认为“关注冰雪运动与性别有关”，D不正确. 【规律方法】 根据所给的观测值，与所给的临界值表中的数据进行比较，即可得出结论. 训练1　〔多选〕某研究所为了检验新开发的疫苗的预防作用，对1 000名注射了疫苗的人与另外1 000名未注射疫苗的人的一年的健康记录进行比较，并提出假设：这种疫苗不能起到预防该疾病的作用，并计算出P（χ2≥6.635）≈0.01，则下列说法正确的是（　CD　） A.这种疫苗能起到预防该疾病的作用的有效率为1% B.若某人未使用该疫苗，则他在半年内有99%的可能性得该疾病 C.依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为这种疫苗能起到预防该疾病的作用 D.在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为这种疫苗能起到预防该疾病的作用 解析：　由P（χ2≥6.635）≈0.01可知，C、D正确，A、B不正确. 知识点二｜有关“相关的检验” 【例2】　（链接教材P133例4）为了了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班45人进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表： 性别 打篮球 合计 喜爱 不喜爱 男 5 女 5 合计 45 已知在45人中随机抽取1人，是男同学的概率为. （1）请将上面的2×2列联表补充完整； （2）根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析喜爱打篮球是否与性别有关. 参考公式：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解：（1）依题意，男同学有45×＝25（人）， 女同学有45－25＝20（人）. 补充2×2列联表如下： 性别 打篮球 合计 喜爱 不喜爱 男 20 5 25 女 5 15 20 合计 25 20 45 （2）零假设为H0：喜爱打篮球与性别无关. 根据表中数据，计算χ2＝＝≈13.613＞10.828＝x0.001， 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为喜爱打篮球与性别有关，该推断犯错误的概率不超过0.001. 【规律方法】 分类变量χ2独立性检验的步骤 （1）提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释； （2）根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值； （3）查临界值表，结合所给小概率值 α，比较χ2与xα的大小； （4）根据检验规则得出结论. 训练2　打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患心脏病有关.下表是一次调查所得的数据： 打鼾 心脏病 合计 患病 未患病 每晚都打鼾 30 224 254 不打鼾 24 1 355 1 379 合计 54 1 579 1 633 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为每晚都打鼾与患心脏病有关系？ 解：零假设为H0：每晚都打鼾与患心脏病没有关系. 由列联表中的数据， 得χ2＝≈68.033＞10.828＝x0.001. 根据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为每晚都打鼾与患心脏病有关系，此推断犯错误的概率不大于0.001. 知识点三｜有关“无关的检验” 【例3】　（链接教材P131例2）某省进行高中新课程改革，为了解教师对新课程教学模式的使用情况，某一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查，共调查了50人，其中有老年教师20人，青年教师30人.老年教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人. （1）根据以上数据建立一个2×2列联表； 解：（1）2×2列联表如下表所示： 教师年龄 对新课程教学模式 合计 赞同 不赞同 老年教师 10 10 20 青年教师 24 6 30 合计 34 16 50 （2）试根据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄是否有关系. 解：（2）零假设为H0：对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关. 由公式得χ2＝≈4.963＜6.635＝， 根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关. 【规律方法】 独立性检验的关注点 （1）χ2计算公式较复杂，一是公式要清楚；二是代入数值时不能张冠李戴；三是计算时要细心； （2）判断时把计算结果与临界值进行比较，其值越大，有关的可信度越高. 训练3　下表是某校某届本科志愿报名时，对其中304名学生进入高校时是否知道想学专业的调查表： 性别 是否知道想学专业 合计 知道想学专业 不知道想学专业 男生 63 117 180 女生 42 82 124 合计 105 199 304 根据表中数据，下列说法正确的是　②　　.（填序号） ①性别与知道想学专业有关； ②性别与知道想学专业无关； ③女生比男生更易知道所学专业. 解析：χ2＝≈0.041＜2.706＝x0.1，根据小概率值α＝0.1的χ2独立性检验，知性别与知道想学专业无关，故①错误，②正确；男生知道想学专业的概率为P1＝＝，女生知道想学专业的概率为P2＝＝，P1＞P2，故③错误. 1.调查中学生的视力情况时发现，某校160名男生中有90名近视，150名女生中有75名近视，在检验这些中学生的眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力（　　） A.平均数 B.方差 C.回归分析 D.独立性检验 解析：D　近视与性别是两类变量，在检验两个随机事件是否相关时，最有说服力的方法是独立性检验.故选D. 2.依据α＝0.05的独立性检验，下列选项中，认为“A与B有关系”的χ2的值为（参考数据：P（χ2≥3.841）＝0.05）（　　） A.2.700 B.2.710 C.3.765 D.5.014 解析：D　∵5.014＞3.841，∴D正确. 3.〔多选〕为考察一种新型药物预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的2×2列联表中，由列联表中的数据计算得χ2≈9.616.参照附表，下列结论正确的是（　　） 附表： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A.根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析认为“药物有效” B.根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析认为“药物无效” C.根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析认为“药物有效” D.根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析认为“药物无效” 解析：BC　因为χ2≈9.616，所以7.879＜χ2＜10.828，所以根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析认为“药物无效”；根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析认为“药物有效”.故选B、C. 4.考察棉花种子是否经过处理跟得病之间的关系，得如表所示的数据： 是否得病 种子是否经过处理 合计 种子经过处理 种子未处理 得病 32 101 133 不得病 61 213 274 合计 93 314 407 根据以上数据得χ2的值是　　0.164　　（精确到0.001）. 解析：依题意χ2＝＝≈0.164. 课堂小结 1.理清单 （1）独立性检验的理解； （2）独立性检验的应用. 2.应体会 利用公式法计算χ2的值. 3.避易错 对独立性检验的原理不理解，导致不会用χ2分析问题. 1.下列对两个分类变量A，B的说法中正确的个数为（　　） ①A与B无关，即A与B互不影响；②A与B关系越密切，则χ2的值就越大；③χ2的大小是判定A与B是否相关的唯一依据. A.0　　　　B.1 C.2　　　　D.3 解析：B　①正确，A与B无关即A与B相互独立；②不正确，χ2的值的大小只是用来检验A与B是否相互独立；③不正确，由等高堆积条形图也可判定A与B是否相关.故选B. 2.某校为了研究“学生的性别”和“对待某一活动的态度”是否有关，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2＝7.069，则认为“学生性别与支持某项活动有关系”的犯错误的概率不超过（　　） A.0.1% B.1% C.99% D.99.9% 解析：B　∵χ2＝7.069＞6.635＝x0.01，∴认为“学生性别与支持某项活动有关系”的犯错误的概率不超过1%. 3.在2×2列联表中，若每个数据变为原来的2倍，则χ2的值变为原来的倍数为（　　） A.8 B.4 C.2 D.不变 解析：C　由公式χ2＝中所有值变为原来的2倍，得（χ2）'＝＝＝2·＝2χ2，故χ2也变为原来的2倍.故选C. 4.根据分类变量x与y的观测数据，计算得到χ2＝3.974.依据α＝0.05的独立性检验，结论为（　　） α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A.变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01 B.变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 C.变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 D.变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01 解析：B　因为α＝0.05时xα＝3.841，所以χ2＝3.974＞xα＝3.841，所以变量x与y不独立，且这个结论犯错误的概率不超过0.05.故选B. 5.〔多选〕（2025·烟台一中高二月考）关于统计量χ2，下列说法正确的是（　　） A.统计量χ2的值越大，两个分类变量的线性相关程度越强 B.若求出统计量χ2＝6.31，由于6.31比较接近x0.01＝6.635，因此能推断两个分类变量有关系，且犯错误概率不超过0.01 C.独立性检验的本质是比较观测值与期望值之间的差异，由统计量χ2所代表的这种差异的大小是通过确定适当的小概率值来进行判断的 D.根据统计量χ2的构造过程可知，χ2的值越小，零假设H0成立的可能性越大 解析：CD　对于选项A，统计量χ2的值越大，两个分类变量相关的可能性越大，与线性相关程度无关，故A错误；对于选项B，因为χ2＝6.31＜6.635，在犯错误概率不超过0.01的前提下，没有足够条件推断两个分类变量有关系，故B错误；对于选项C，根据独立性检验思想可知，独立性检验的本质是比较观测值与期望值之间的差异，由统计量χ2所代表的这种差异的大小是通过确定适当的小概率值来进行判断的，故C正确；对于选项D，根据独立性检验思想可知，χ2的值越小，零假设H0成立的可能性越大，故D正确.故选C、D. 6.〔多选〕有两个分类变量X，Y，其一组的调查数据如表所示， X Y Y1 Y2 X1 a 20－a X2 15－a 30＋a 其中a，15－a均为大于5的整数，若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X，Y有关，则a的值可以为（　　） A.6 B.7 C.8 D.9 解析：CD　由列联表中数据，得χ2＝＝＞3.841，由a，15－a均为大于5的整数，得5＜a＜10，a∈Z，解得a＝8或a＝9.故选C、D. 7.为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠.照射14天后的结果如下表所示： 剂量 小白鼠 合计 死亡 存活 第一种剂量 14 11 25 第二种剂量 6 19 25 合计 20 30 50 进行独立性检验的零假设是　小白鼠的存活情况与电离辐射的剂量无关　，χ2≈　5.33　.（结果保留两位小数） 解析：由列联表中的数据得χ2＝≈5.33. 8.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系，运用2×2列联表进行独立性检验.整理所得数据后发现，若依据α＝0.010的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动无关；若依据α＝0.025的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动有关，则χ2可取的整数值为　6　. 附表： α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解析：由题知χ2∈[5.024，6.635），故χ2可取的整数值为6. 9.两个分类变量X和Y的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数分别是a＝10，b＝21，c＋d＝35.若X与Y有关系的可信程度不小于97.5%，则c＝（　　） A.3　　　　B.4 C.5　　　　D.6 附： α 0.05 0.025 xα 3.841 5.024 解析：A　列2×2列联表如下： X Y 合计 y1 y2 x1 10 21 31 x2 c d 35 合计 10＋c 21＋d 66 故χ2＝≥5.024.把选项A、B、C、D代入验证可知选A. 10.针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有　　12　　人. 参考数据及公式：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.05 0.01 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 解析：设男生人数为x，依题意可得2×2列联表如下： 性别 是否追星 合计 追星 不追星 男生 x 女生 合计 x 若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否追星和性别有关，则χ2≥3.841，由χ2＝＝x≥3.841，解得x≥10.24，因为，，均为整数，所以若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否追星和性别有关，则男生至少有12人. 11.在某校对有心理障碍的学生进行测试得到如下列联表： 性别 心理障碍 合计 焦虑 说谎 懒惰 女生 5 10 15 30 男生 20 10 50 80 合计 25 20 65 110 则在这三种心理障碍中　说谎　与性别关系最大. 解析：对于题中三种心理障碍分别构造三个随机变量，，.由表中数据列出焦虑是否与性别有关的2×2列联表： 性别 是否焦虑 合计 焦虑 不焦虑 女生 5 25 30 男生 20 60 80 合计 25 85 110 零假设为H0：焦虑与性别无关.可得＝≈0.863＜2.706＝x0.1，根据小概率值α＝0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为焦虑与性别无关.同理列出说谎是否与性别有关的2×2列联表： 性别 是否说谎 合计 说谎 不说谎 女生 10 20 30 男生 10 70 80 合计 20 90 110 ＝≈6.366＞3.841＝x0.05，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为说谎与性别有关.同理得＝≈1.410＜2.706＝x0.1.依据小概率值α＝0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为懒惰与性别无关.综上，三种心理障碍中说谎与性别关系最大. 12.某校组织在校学生观看学习“天宫课堂”，并对其中1 000名学生进行了一次“飞天宇航梦”的调查，得到如图所示的两个等高堆积条形图，其中被调查的男、女学生比例为3∶2. （1）求m，n的值（结果用分数表示）； 解：（1）由题可知被调查的男、女学生分别为600人，400人， 男生有飞天宇航梦的有600×0.7＝420人，无飞天宇航梦的有600×0.3＝180人， 女生有飞天宇航梦的有400×0.6＝240人，无飞天宇航梦的有400×0.4＝160人， 所以m＝＝，n＝＝. （2）完成以下表格，并根据表格数据，依据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验，能否判断学生性别和是否有飞天宇航梦有关？ 性别 有无飞天宇航梦 合计 有飞天宇航梦 无飞天宇航梦 男 女 合计 附临界值表及参考公式： α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. 解：（2）根据（1）中数据填表， 性别 有无飞天宇航梦 合计 有飞天宇航梦 无飞天宇航梦 男 420 180 600 女 240 160 400 合计 660 340 1 000 零假设为H0：学生性别和是否有飞天宇航梦无关.根据列联表中数据， 可得χ2＝＝≈10.695＜10.828＝x0.001， 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们没有充分证据推断H0不成立， 因此可以认为H0成立，即认为学生性别和是否有飞天宇航梦无关. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $