8.3.2 独立性检验(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

8.3.2　独立性检验

课标要求

1.理解利用2×2列联表可以检验两个随机变量的独立性（数学抽象）.

2.掌握运用2×2列联表的方法解决独立性检验的简单实际问题（数学运算）.  　　

情境导入

最新研究发现，花太多时间玩电脑游戏的儿童，患多动症的风险会加倍.青少年的大脑会很快习惯闪烁的屏幕、变幻莫测的电脑游戏，一旦如此，他们在教室等视觉刺激较少的地方，就很难集中注意力.研究人员对1 323名年龄在7岁到10岁的儿童进行调查，并在孩子父母的帮助下记录了他们在13个月里玩电脑游戏的习惯.同时，教师记下这些孩子出现的注意力不集中问题.统计获得下列数据：

从这则新闻中可以得出哪些结论？ 有多大把握认为你所得出的结论正确？

知识点一｜独立性检验的理解

问题　有人说：“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟和患肺癌有关，是指每100个吸烟者中就会有99个患肺癌的.”你认为这种观点正确吗？为什么？

提示：观点不正确.犯错误的概率不超过0.01说明的是吸烟与患肺癌有关的程度，不是患肺癌的百分数.

【知识梳理】

1.分类变量X和Y独立：如果{X＝0}与{Y＝0}独立；{X＝0}与{Y＝1}独立；{X＝1}与{Y＝0}独立；{X＝1}与{Y＝1}独立.我们就称分类变量X和Y独立.

2.独立性检验

（1）利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称　独立性检验　；

（2）χ2＝　　，其中n＝a＋b＋c＋d.

3.对于零假设H0：分类变量X和Y独立，基于小概率值α的检验规则：

（1）当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过　α　；

（2）当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y　独立　.

4.χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.

【例1】　（1）〔多选〕某机构通过抽样调查，利用2×2列联表和χ2统计量研究患肺病是否与吸烟有关，计算得χ2＝3.305，经查对临界值表知P（χ2≥2.706）≈0.10，P（χ2≥3.841）≈0.05，现给出四个结论，其中正确的是（　AD　）

A.因为χ2＞2.706，故依据小概率值α＝0.1的独立性检验，我们认为“患肺病与吸烟有关”

B.因为χ2＜3.841，故依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“患肺病与吸烟有关”

C.因为χ2＞2.706，故依据小概率值α＝0.1的独立性检验，我们认为“患肺病与吸烟无关”

D.因为χ2＜3.841，故依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“患肺病与吸烟无关”

解析：（1）因为χ2＝3.305，且3.305＞2.706，由临界值表知，P（χ2≥2.706）≈0.10，所以依据小概率值α＝0.1的独立性检验，认为“患肺病与吸烟有关”，则A正确，C不正确；因为临界值3.841＞3.305，则依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“患肺病与吸烟无关”，即B不正确，D正确.

（2）为了解某城市居民对冰雪运动的关注情况，随机抽取了该市100人进行调查统计，得到如下2×2列联表：

则下列说法正确的是（　A　）

参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

附表：

A.依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“关注冰雪运动与性别有关”

B.依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“关注冰雪运动与性别无关”

C.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别无关”

D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别有关”

解析：（2）依题意，χ2＝≈8.129＞6.635＝x0.01，所以依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“关注冰雪运动与性别有关”，A正确，B、C不正确；而8.129＜10.828＝x0.001，在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，没有充分的证据认为“关注冰雪运动与性别有关”，D不正确.

【规律方法】

根据所给的观测值，与所给的临界值表中的数据进行比较，即可得出结论.

训练1　〔多选〕某研究所为了检验新开发的疫苗的预防作用，对1 000名注射了疫苗的人与另外1 000名未注射疫苗的人的一年的健康记录进行比较，并提出假设：这种疫苗不能起到预防该疾病的作用，并计算出P（χ2≥6.635）≈0.01，则下列说法正确的是（　CD　）

A.这种疫苗能起到预防该疾病的作用的有效率为1%

B.若某人未使用该疫苗，则他在半年内有99%的可能性得该疾病

C.依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为这种疫苗能起到预防该疾病的作用

D.在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为这种疫苗能起到预防该疾病的作用

解析：　由P（χ2≥6.635）≈0.01可知，C、D正确，A、B不正确.

知识点二｜有关“相关的检验”