6.1 第1课时 两个计数原理及其简单应用(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

第一课时　两个计数原理及其简单应用 课标要求 1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理（数学抽象、逻辑推理）. 2.会用这两个计数原理分析和解决一些简单的实际计数问题（数学建模、数学运算）. 　　 情境导入 计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法.但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高.能否设计巧妙的“数法”以提高效率呢？ 知识点一｜分类加法计数原理 问题1　（1）用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 提示：因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26＋10＝36种不同的号码. （2）你能说一说问题（1）的特征吗？ 提示：首先，这里要完成的事情是“给一个座位编号”；其次是“或”字的出现：一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示.因为英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同.这两类号码数相加就得到号码的总数. 【知识梳理】 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝　m＋n　种不同的方法. 　　提醒：（1）分类加法计数原理中每类方案都能独立完成这件事，它是独立的、一次性的且每次得到的都是最后结果，只需一种方法就可完成这件事；（2）推广：完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法. 【例1】　（链接教材P3例1）某校高三年级共有三个班，各班人数如下表： 男生人数 女生人数 总人数 高三（1）班 30 20 50 高三（2）班 30 30 60 高三（3）班 35 20 55 （1）从三个班的学生中选1名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？ 解：（1）从三个班中任选1名学生担任学生会主席，共有三类不同的方案. 第1类，从高三（1）班中选出1名学生，有50种不同的选法； 第2类，从高三（2）班中选出1名学生，有60种不同的选法； 第3类，从高三（3）班中选出1名学生，有55种不同的选法. 根据分类加法计数原理知，从三个班中任选1名学生担任学生会主席，不同选法的种数为50＋60＋55＝165. （2）从高三（1）班、高三（2）班男生中或从高三（3）班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？ 解：（2）从高三（1）班男生、高三（2）班男生中或从高三（3）班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有三类不同的方案. 第1类，从高三（1）班男生中选出1名学生，有30种不同的选法； 第2类，从高三（2）班男生中选出1名学生，有30种不同的选法； 第3类，从高三（3）班女生中选出1名学生，有20种不同的选法. 根据分类加法计数原理知，从高三（1）班男生、高三（2）班男生中或从高三（3）班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，不同选法的种数为30＋30＋20＝80. 【规律方法】 利用分类加法计数原理的解题流程 训练1　（1）某中学需从2025年师范大学毕业的3名女大学生和2名男大学生中选聘1人，则不同的选法种数为（　B　） A.6 B.5 C.3 D.2 解析：（1）选取的方法可分为两类：从3名女大学生中选聘1人，有3种选法；从2名男大学生中选聘1人，有2种选法，根据分类加法计数原理，可知不同的选法种数为3＋2＝5，故选B. （2）某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中1本，则购买方式共有　7　种. 解析：（2）分3类：买1本书，买2本书和买3本书.各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7（种）. 知识点二｜分步乘法计数原理 问题2　（1）用前6个大写英文字母和1～9这9个阿拉伯数字，以A1，A2，…，A9，B1，B2，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 提示：这里要完成的事情仍然是“给一个座位编号”，但与前一问题的要求不同.在前一问题中，用26个英文字母中的任意一个或10个阿拉伯数字中的任意一个，都可以给出一个座位号码.但在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤.用如图所示的方法可以列出所有可能的号码. 也可以这样思考：由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有6×9＝54种不同的号码. （2）你能说一说这个问题的特征吗？ 提示：上述问题要完成的一件事情仍然是“给一个座位编号”，其中最重要的特征是“和”字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成.因此得到一个座位号要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这两个步骤，每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的. 【知识梳理】 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝　m×n　种不同的方法. 　　提醒：（1）分步乘法计数原理中每一步得到的只是其中某一步的结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事；（2）推广：完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法. 【例2】　（链接教材P4例2）从－2，－1，0，1，2，3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，则可以组成抛物线的条数为（　　） A.50 B.100 C.150 D.200 解析：B　由题意知a不能为0，故a的值有5种选法，b的值也有5种选法，c的值有4种选法.由分步乘法计数原理得，可以组成抛物线的条数为5×5×4＝100. 变式　（1）本例中若二次函数图象开口向下，则可以组成抛物线的条数为多少？ 解：（1）需分三步完成，第一步确定a有2种方法，第二步确定b有5种方法，第三步确定c有4种方法，故可组成2×5×4＝40（条）抛物线. （2）若从本例的六个数字中选2个作为椭圆＋＝1的参数m，n.则可以组成椭圆的个数是多少？ 解：（2）据条件知m＞0，n＞0，且m≠n，故需分两步完成，第一步确定m，有3种方法，第二步确定n，有2种方法，故可以组成椭圆的个数为3×2＝6. 【规律方法】 利用分步乘法计数原理的解题流程 训练2　（1）若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（　D　） A.6种 B.24种 C.64种 D.81种 解析：（1）每位学生都有3种选择，则4位学生的报名方式共有34＝81（种）.故选D. （2）在如图所示的电路（规定只能闭合其中2个开关）中，接通电源使灯泡发光的方法有　　6　　种. 解析：（2）由题意可知，在该电路中，只有先闭合A组2个开关中的任意1个，再闭合B组3个开关中的任意1个后，接通电源，灯泡才能发光.因此要完成这件事，需要分两步，所以接通电源使灯泡发光的方法种数为2×3＝6. 知识点三｜两个计数原理的简单应用 【例3】　（链接教材P5例3）现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画. （1）从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？ 解：（1）分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法.根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14（种）不同的选法. （2）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？ 解：（2）分为三步：国画、油画、水彩画各有5种，2种，7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70（种）不同的选法. （3）从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？ 解：（3）分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10（种）不同的选法； 第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35（种）不同的选法； 第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14（种）不同的选法. 所以共有10＋35＋14＝59（种）不同的选法. 【规律方法】 使用两个计数原理的原则 使用两个计数原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手.“分类”是把较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决；“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后逐步解决. 训练3　集合A＝{1，2，－3}，B＝{－1，－2，3，4}.现从A，B中各取一个元素作为点P（x，y）的坐标. （1）可以得到多少个不同的点？ 解：（1）一个点的坐标由x，y两个元素确定，若它们有一个不同，则表示不同的点，可分为两类： 第一类：选A中的元素为x，B中的元素为y，有3×4＝12（个）不同的点； 第二类：选A中的元素为y，B中的元素为x，有4×3＝12（个）不同的点. 由分类加法计数原理得不同的点的个数为12＋12＝24. （2）在这些点中，位于第一象限的有几个？ 解：（2）第一象限内的点x，y必须为正数，从而只能取A，B中的正数，同样可分为两类，类似于（1），得适合题意的不同点的个数为2×2＋2×2＝8. 1.从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为（　　） A.3 B.9 C.24 D.以上都不对 解析：B　根据分类加法计数原理可得，一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为3＋4＋2＝9. 2.已知A机器中有7个娃娃，B机器中有8个娃娃，且这15个娃娃互不相同，某人从A，B机器中分别抓取1个娃娃，则此人抓取娃娃的不同情况共有（　　） A.15种 B.30种 C.45种 D.56种 解析：D　已知A机器中有7个娃娃，那么从A机器中抓取1个娃娃，就有7种不同的情况.已知B机器中有8个娃娃，那么从B机器中抓取1个娃娃，就有8种不同的情况.根据分步乘法计数原理，得到总的不同情况数为7×8＝56（种）.故选D. 3.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的1个讲座，不同选法的种数是（　　） A.56 B.65 C.30 D.11 解析：A　第一名同学有5种选择方法，第二名有5种选择方法，…，第六名同学有5种选择方法，综上，根据分步乘法计数原理，6名同学共有56种不同的选法. 4.如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有4条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路.则从甲地到丁地共有　16　条不同的路. 解析：如果由甲地经乙地到丁地，则有2×4＝8种不同的路线；如果由甲地经丙地到丁地，则有4×2＝8种不同的路线.因此，从甲地到丁地共有8＋8＝16种不同的路线. 课堂小结 1.理清单 （1）分类加法计数原理； （2）分步乘法计数原理； （3）两个计数原理的简单应用. 2.应体会 利用两个计数原理解决实际问题时，要注意分类讨论思想的应用. 3.避易错 “分类”与“分步”不清，导致计数错误. 1.音乐播放器里存有10首中文歌曲，8首英文歌曲，3首法文歌曲，任选一首歌曲进行播放，不同的选法种数为（　　） A.21 B.30 C.160 D.240 解析：A　依题意一共有10＋8＋3＝21种选法. 2.现有3名老师、8名男生和5名女生共16人.若需1名老师和1名学生参加评选会议，则不同的选法种数为（　　） A.39 B.24 C.15 D.16 解析：A　先从3名老师中任选1名，有3种选法，再从13名学生中任选1名，有13种选法.由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为3×13＝39. 3.从集合{－1，0，1，2}中任取两个不同的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有（　　） A.4个 B.9个 C.12个 D.16个 解析：B　根据题意可知，若复数a＋bi表示虚数，则b≠0；第一步，从{－1，1，2}中任取一个数作为b，共有3种选法；第二步，再从剩余的三个数任取一个作为a，共有3种选法，因此共有3×3＝9种.故选B. 4.某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比赛，如果每班每项限报1人，则这3名学生参赛的不同方法有（　　） A.24种 B.48种 C.64种 D.81种 解析：A　由于每班每项限报1人，故当前面的学生报了某项之后，后面的学生不能再报，由分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24种不同的参赛方法.故选A. 5.某同学有4件不同颜色的衬衣、3件不同花样的半裙，另有2套不同样式的连衣裙.参加学校活动需选择一套服装参加歌舞演出，则该同学不同的穿衣服的方式有（　　） A.24种 B.14种 C.10种 D.9种 解析：B　其穿衣方式分两类，第一类，不选连衣裙有4×3＝12（种）方式，第二类，选连衣裙有2种方式，由分类加法计数原理知，共有12＋2＝14（种）不同的穿衣服的方式. 6.〔多选〕设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2，3，3，4条，只从一面上山，而从其他任意一面下山，不同的走法种数可能为（　　） A.20　　　　B.27 C.32　　　　D.30 解析：ABC　东面上山的种数为2×（3＋3＋4）＝20，西面上山的种数为3×（2＋3＋4）＝27，南面上山的种数为3×（2＋3＋4）＝27，北面上山的种数为4×（2＋3＋3）＝32，故只从一面上山，而从其他任意一面下山的走法种数可能为20，27，32. 7.某校高三教学大楼共有四层，每层均有两个楼梯，一学生由该楼第一层走到第四层的方法共有　8　种（用数字作答）. 解析：学生由该楼第一层走到第四层共分为三步：即一层到二层，二层到三层，三层到四层，∵每层均有两个楼梯，即每层都有2种走法，∴学生由该楼第一层走到第四层的方法共有2×2×2＝23＝8种. 8.甲、乙、丙3个班各有3名、5名、2名三好学生，现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有　31　种推选方法. 解析：分为三类：①甲班选1名，乙班选1名，根据分步乘法计数原理，有3×5＝15（种）选法；②甲班选1名，丙班选1名，根据分步乘法计数原理，有3×2＝6（种）选法；③乙班选1名，丙班选1名，根据分步乘法计数原理，有5×2＝10（种）选法.综上，根据分类加法计数原理，共有15＋6＋10＝31（种）推选方法. 9.现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营. （1）若从中选1人作总负责人，共有多少种不同的选法？ （2）若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？ （3）若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种选法？ 解：（1）从高一选1人作总负责人有50种选法； 从高二选1人作总负责人有42种选法； 从高三选1人作总负责人有30种选法. 由分类加法计数原理，共有50＋42＋30＝122（种）选法. （2）从高一选1名负责人有50种选法； 从高二选1名负责人有42种选法； 从高三选1名负责人有30种选法. 由分步乘法计数原理，可知共有50×42×30＝63 000（种）选法. （3）①高一和高二各选1人作为中心发言人， 有50×42＝2 100（种）选法； ②高二和高三各选1人作为中心发言人， 有42×30＝1 260（种）选法； ③高一和高三各选1人作为中心发言人， 有50×30＝1 500（种）选法. 故共有2 100＋1 260＋1 500＝4 860（种）选法. 10.〔多选〕如图，标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递消息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示他们有网线相连，则单位时间内传递的信息量可以为（　　） A.18 B.19 C.24 D.26 解析：AB　第一条线路单位时间内传递的最大信息量为3；第二条线路单位时间内传递的最大信息量为4；第三条线路单位时间内传递的最大信息量为6；第四条线路单位时间内传递的最大信息量为6.因此该段网线单位时间内可以通过的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19，故选A、B. 11.某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，则有　　20　　种不同的选法. 解析：由题意可知，有1人既会钢琴又会小号（记为甲），只会钢琴的有6人，只会小号的有2人.本题可分两类：第1类，甲入选，此时，只需从其他8人中任选1人，故这类选法共有8种.第2类，甲不入选，此时，选法共有6×2＝12（种）.因此共有8＋12＝20（种）不同的选法. 12.用1，2，3，4四个数字（可重复）排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}. （1）写出这个数列的前11项； （2）这个数列共有多少项？ （3）若an＝341，求n. 解：（1）111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133. （2）这个数列的项数就是用1，2，3，4排成的三位数的个数，每个数位上都有4种排法，则共有4×4×4＝64（项）. （3）比an＝341小的数有两类： ① 1 × × 2 × × ② 3 1 × 3 2 × 3 3 × 共有2×4×4＋1×3×4＝44（项）. 所以n＝44＋1＝45. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $