6.1 第1课时 两个计数原理及其简单应用(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

第一课时　两个计数原理及其简单应用

课标要求                                         

1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理（数学抽象、逻辑推理）.

2.会用这两个计数原理分析和解决一些简单的实际计数问题（数学建模、数学运算）.  　　

情境导入

计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法.但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高.能否设计巧妙的“数法”以提高效率呢？

知识点一｜分类加法计数原理

问题1　（1）用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？

提示：因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26＋10＝36种不同的号码.

（2）你能说一说问题（1）的特征吗？

提示：首先，这里要完成的事情是“给一个座位编号”；其次是“或”字的出现：一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示.因为英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同.这两类号码数相加就得到号码的总数.

【知识梳理】

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝　m＋n　种不同的方法.

　　提醒：（1）分类加法计数原理中每类方案都能独立完成这件事，它是独立的、一次性的且每次得到的都是最后结果，只需一种方法就可完成这件事；（2）推广：完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法.

【例1】　（链接教材P3例1）某校高三年级共有三个班，各班人数如下表：

（1）从三个班的学生中选1名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？

解：（1）从三个班中任选1名学生担任学生会主席，共有三类不同的方案.

第1类，从高三（1）班中选出1名学生，有50种不同的选法；

第2类，从高三（2）班中选出1名学生，有60种不同的选法；

第3类，从高三（3）班中选出1名学生，有55种不同的选法.

根据分类加法计数原理知，从三个班中任选1名学生担任学生会主席，不同选法的种数为50＋60＋55＝165.

（2）从高三（1）班、高三（2）班男生中或从高三（3）班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？

解：（2）从高三（1）班男生、高三（2）班男生中或从高三（3）班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有三类不同的方案.

第1类，从高三（1）班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；

第2类，从高三（2）班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；

第3类，从高三（3）班女生中选出1名学生，有20种不同的选法.

根据分类加法计数原理知，从高三（1）班男生、高三（2）班男生中或从高三（3）班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，不同选法的种数为30＋30＋20＝80.

【规律方法】

利用分类加法计数原理的解题流程

训练1　（1）某中学需从2025年师范大学毕业的3名女大学生和2名男大学生中选聘1人，则不同的选法种数为（　B　）

A.6 B.5

C.3 D.2

解析：（1）选取的方法可分为两类：从3名女大学生中选聘1人，有3种选法；从2名男大学生中选聘1人，有2种选法，根据分类加法计数原理，可知不同的选法种数为3＋2＝5，故选B.

（2）某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中1本，则购买方式共有　7　种.

解析：（2）分3类：买1本书，买2本书和买3本书.各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7（种）.

知识点二｜分步乘法计数原理

问题2　（1）用前6个大写英文字母和1～9这9个阿拉伯数字，以A1，A2，…，A9，B1，B2，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？

提示：这里要完成的事情仍然是“给一个座位编号”，但与前一问题的要求不同.在前一问题中，用26个英文字母中的任意一个或10个阿拉伯数字中的任意一个，都可以给出一个座位号码.但在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤.用如图所示的方法可以列出所有可能的号码.

也可以这样思考：由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有6×9＝54种不同的号码.

（2）你能说一说这个问题的特征吗？

提示：上述问题要完成的一件事情仍然是“给一个座位编号”，其中最重要的特征是“和”字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成.因此得到一个座位号要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这两个步骤，每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的.