7.4.2 超几何分布-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教用课件（人教A版）

该高中数学课件系统梳理了超几何分布的概念、概率及分布列、均值等核心内容，通过情境导入、对比辨析（如与二项分布的区别）及知识框架图，构建“定义-计算-应用”的逻辑脉络，帮助学生建立完整的概率模型知识体系。 其亮点在于以“问题情境-概念辨析-分层训练”为主线，如通过自主招生答题情境引入，设计“判断是否为超几何分布”“求分布列与均值”等例题，培养数学抽象和数学建模能力。分层作业（基础巩固、综合运用、拓展探究）满足不同学生需求，助力教师精准复习，提升学生知识应用与运算能力。

7.4.2　超几何分布 1 1. 通过具体实例，了解超几何分布及其均值（数学抽象）. 2. 能用超几何分布解决简单的实际问题（数学建模、数学运算）. 课标要求 某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行 作答，至少答对3个才能通过初试，已知在这8个试题中甲能答对6个. 　　如何求出甲通过自主招生初试的概率？若记甲答对试题的个数为X， 那么如何构建适当的概率模型刻画其分布？ 情境导入 知识点一 超几何分布的概念 01 知识点二 超几何分布的概率及分布列 02 知识点三 超几何分布的均值 03 课时作业 04 目录 4 知识点一 超几何分布的概念 01 PART 目 录 问题1　（1）已知在10件产品中有4件次品，采取有放回的方式随机抽取3 件，设抽取的3件产品中次品数为X，试写出X的分布列. 提示：采用有放回抽样时X服从二项分布，即X～B（3，0.4），其分布 列为P（X＝k）＝ （0.4）k（1－0.4）3－k，k＝0，1，2，3. 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）已知在10件产品中有4件次品，采取不放回的方式随机抽取3件， 设抽取的3件产品中次品数为X，X还服从二项分布吗？你能求P（X＝ 2）吗？ 提示：若采取不放回抽样时X不服从二项分布；“X＝2”，表示“取出的 3件产品中恰有2件次品”，这意味着，从4件次品中取出2件，再从6件正 品中取出1件，共有 种取法，故P（X＝2）＝ . 数学·选择性必修第三册 目 录 【知识梳理】 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽 取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 P（X＝k）＝ ，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N， M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}， 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何 分布. 　　提醒：超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实 质是古典概型. 　 数学·选择性必修第三册 目 录 【例1】　下列问题中，哪些属于超几何分布问题，并说明理由： （1）抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分 布列； 解：中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题. （2）有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发 芽的种子的个数记为X，求X的分布列； 解： 中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题. 数学·选择性必修第三册 目 录 （4）某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动， 班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列. 解：（3）（4）符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表 示抽取n件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布. （3）盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红色的 球的个数记为X，求X的分布列； 数学·选择性必修第三册 目 录 【规律方法】 判断一个随机变量是否服从超几何分布的方法 （1）总体是否分为两类明确的对象； （2）是否为不放回抽样； （3）随机变量是否为样本中其中一类个体的个数. 数学·选择性必修第三册 目 录 训练1　〔多选〕下列随机变量中，服从超几何分布的有（　　） A. 在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到 的次品数为X B. 从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲 型彩电的台数 C. 一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的次数 为随机变量X D. 从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X √ √ √ 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 　依据超几何分布模型定义可知，A、B、D中随机变量X服从 超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服 从超几何分布. 数学·选择性必修第三册 目 录 知识点二 超几何分布的概率及分布列 02 PART 目 录 【例2】　 （链接教材P79例6）一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小 球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1 个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球，记取得1号球的个数为随机变 量X，求随机变量X的分布列. 数学·选择性必修第三册 目 录 解：由题意知X＝0，1，2，3. P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ， P（X＝2）＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ . 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P ​ ​ ​ ​ 数学·选择性必修第三册 目 录 变式　（1）在本例条件下，若记取到白球的个数为随机变量η，求随机变 量η的分布列； 解： 由题意可知η＝0，1，服从两点分布.又P（η＝1）＝ ＝ ，所 以η的分布列为 η 0 1 P ​ ​ 数学·选择性必修第三册 目 录 法一　P（X＝0）＝ ＝ ， P（X＝1）＝ ＝ ， P（X＝2）＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ . （2）将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次，每 次抽取1个球”，其他条件不变，结果又如何？ 解： 由题意知X＝0，1，2，3. 数学·选择性必修第三册 目 录 法二　根据X～B（ 3， ），由P（X＝k）＝ （ 1－ （ ）k求 出各式概率， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P ​ ​ ​ ​ 数学·选择性必修第三册 目 录 【规律方法】 求超几何分布的概率的步骤 （1）验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值； （2）根据超几何分布的概率计算公式P（X＝k）＝ 计算出随机变 量取某一个值k时的概率. 数学·选择性必修第三册 目 录 训练2　从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动. （1）求所选3人中恰有一名男生的概率； 解： 所选3人中恰有一名男生的概率 P＝ ＝ . 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）求所选3人中男生人数X的分布列. 解： X的可能取值为0，1，2，3，且X服从超几何分布， 则P（X＝0）＝ ＝ ， P（X＝1）＝ ＝ ， P（X＝2）＝ ＝ ， P（X＝3）＝ ＝ . 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P ​ ​ ​ ​ 数学·选择性必修第三册 目 录 知识点三 超几何分布的均值 03 PART 目 录 问题2　若随机变量X服从超几何分布，那么X的均值是什么？ 提示：设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的 N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p＝ ，则p是N 件产品的次品率，而 是抽取的n件产品的次品率，我们猜想E（ ）＝ p，即E（X）＝np. 实际上，令m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，由随机变量均值 的定义：当m＞0时， 数学·选择性必修第三册 目 录 E（X）＝ k ＝M .（1） 因为 ＝ ， 所以E（X）＝ ＝ ＝ ＝np. 当m＝0时，注意到（1）式中间求和的第一项为0，类似可以证明结论依 然成立. 数学·选择性必修第三册 目 录 【知识梳理】 设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产 品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p＝ ，则p是N件产品 的次品率，而 是抽取的n件产品的次品率，则E（X）＝ ⁠. np　 数学·选择性必修第三册 目 录 【例3】　某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中， 3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七 个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动 （每位同学被选到的可能性相同）. （1）求选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率； 解： 设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A，则P （A）＝ ＝ . 所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为 . 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列及 均值. 解： 依据条件，随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝4， n＝3，且随机变量X的可能取值为0，1，2，3.P（X＝k）＝ ，k ＝0，1，2，3. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P ​ ​ ​ ​ 所以随机变量X的均值E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ （ 或E （X）＝ ＝ ）. 数学·选择性必修第三册 目 录 【规律方法】 解决超几何分布问题的三个关键点 （1）超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围 及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不要机械地记忆； （2）超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同 k值的概率P（X＝k），从而求出X的分布列； （3）求与超几何分布有关的均值问题时，可利用均值公式，也可直接利 用E（X）＝ 求解. 数学·选择性必修第三册 目 录 训练3　端午节吃粽子是我国的传统习俗，一盘中有8个粽子，其中豆沙粽 2个，蜜枣粽6个，这两种粽子的外观完全相同，从中随机取出3个. （1）求既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率； 解： 依题意，既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率为 ＝ . 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）设X表示取到豆沙粽的个数，求随机变量X的分布列与均值. 解： X的可能取值为0，1，2， 则P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，P（X＝2）＝ ＝ ， 所以X的分布列如下： X 0 1 2 P ​ ​ ​ 所以E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＝ . 数学·选择性必修第三册 目 录 1. 下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（　　） A. 将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B. 从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次 品数为X C. 某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D. 盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出 黑球时的总次数 √ 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 　对于A：将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X，是二项分 布，A选项错误；对于B：从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放 回地任取3件，取得的次品数为X，是超几何分布，B选项正确；对于C： 某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X，是两 点分布，C选项错误；对于D：盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1 球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数，不是超几何分布，D选项错 误.故选B. 数学·选择性必修第三册 目 录 2. 在100张奖券中，有4张能中奖，从这100张奖券中任取2张，则2张都能 中奖的概率是（　　） A. B. C. D. 解析： 　记X为2张奖券中的中奖数，则P（X＝2）＝ ＝ . √ 数学·选择性必修第三册 目 录 3. 某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞 赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则当X取 时，对应的 概率为 . 解析：由题意可知，X服从超几何分布，由概率值中的 可以看出“从5 名三好学生中选取了3名”. 3 数学·选择性必修第三册 目 录 4. （2025·连云港月考）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设 随机变量X表示所选3人中女生的人数，则X的均值E（X）＝ 　　1 　　. 解析：由题意，X的可能取值为0，1，2，P（X＝k）＝ ，k＝0， 1，2.X的分布列为 X 0 1 2 P ​ ​ ​ 所以E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＝1. 1 数学·选择性必修第三册 目 录 课堂小结 1. 理清单 （1）超几何分布的概念； （2）超几何分布的概率及分布列； （3）超几何分布的均值. 2. 应体会 利用公式法求超几何分布的概率及分布列与均值. 3. 避易错 超几何分布的判断错误. 数学·选择性必修第三册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1. 国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应.某县有7个自然村，其中有 4个自然村根据自身特点推出乡村旅游，被评为“旅游示范村”.现要从该 县7个自然村里选出3个作宣传，则恰有2个村是“旅游示范村”的概率为 （　　） A. B. √ C. D. 解析： 　由题可得，恰有2个村是“旅游示范村”的概率为P＝ ＝ .故选B. 数学·选择性必修第三册 目 录 2. 从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的 概率为（　　） A. B. C. 1－ D. 解析： 设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则P（X≥3）＝P（X ＝3）＋P（X＝4）＝ ＋ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 3. 一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球，至 少得到1个白球的概率是 .从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为 X，则P（X＝2）＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　设袋中白球个数为x，由题意得1－ ＝ ，解得x＝5.X服从 超几何分布，其中P（X＝2）＝ ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 4. 现有语文、数学课本共7本（其中语文课本不少于2本），从中任取2 本，至多有1本语文课本的概率是 ，则语文课本有（　　） A. 2本 B. 3本 C. 4本 D. 5本 解析： 　设语文课本有n（n≥2）本，则数学课本有（7－n）本，则从 中任取2本，2本都是语文课本的概率是 ＝ .所以n2－n－12＝0，解 得n＝4或n＝－3（舍去），所以n＝4. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 5. 《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化， 阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在 左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10 个数中任取3个数，则这3个数中至多有1个阴数的概率为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 　由题意知，10个数中，1，3，5，7，9为阳数，2，4，6，8，10 为阴数，若任取的3个数中有0个阴数，则概率为 ＝ ；若任取的3个数 中有1个阴数，则概率为 ＝ ，故这3个数中至多有1个阴数的概率为P ＝ ＋ ＝ .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 6. 〔多选〕一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6， 还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，下列变 量服从超几何分布的是（　　） A. X表示取出的最大号码 B. X表示取出的最小号码 C. 取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得 分 D. X表示取出的黑球个数 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 　选项A、B不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数 学模型计算概率，即A、B错；选项C、D符合超几何分布的定义，将黑球 视作次品，白球视作正品，则可以用超几何分布的数学模型计算概率，即 C、D正确.故选C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 7. 〔多选〕某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道. 现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2道题才算合 格，则下列说法正确的是（　　） A. 答对0道题和答对3道题的概率相同，都为 B. 答对1道题的概率为 C. 答对2道题的概率为 D. 合格的概率为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 　对于A，答对0道题的概率为P0＝ ＝ ，答对3道题的概率 为P3＝ ＝ ，故A错误；对于B，答对1道题的概率为P1＝ ＝ ， 故B错误；对于C，答对2道题的概率为P2＝ ＝ ，故C正确；对于D， 合格的概率为P＝ ＋ ＝ ，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 8. 有10件产品，其中4件是次品，从中任取3件，若X表示取得次品的个 数，则E（2X＋1）＝ ⁠. 解析：由题意可得：X服从超几何分布，E（X）＝ ＝ .所以E（2X ＋1）＝2E（X）＋1＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 9. 某学校有一个体育运动社团，该社团中篮球、足球都会的有2人，从该 社团中任取2人，设X为选出的人中篮球、足球都会的人数，若P（X＞ 0）＝ ，则该社团的人数为 ⁠. 解析：设该社团的人数为n，∴P（X＝0）＝ ＝ .∵P （X＝0）＝1－P（X＞0）＝ ，∴ ＝ ， 即（11n－18） （n－7）＝0，又∵n∈N*，解得n＝7. 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 10. 从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛，设随机变量ξ表示 所选3人中男生的人数. （1）求ξ的分布列； 解： 由题知ξ的可能取值为0，1，2， P（ξ＝0）＝ ＝ ，P（ξ＝1）＝ ＝ ， P（ξ＝2）＝ ＝ ， 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P ​ ​ ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）求ξ的均值和方差. 解： 由（1）可得E（ξ）＝0× ＋1× ＋2× ＝ ， D（ξ）＝（0－ ）2× ＋（1－ ）2× ＋（2－ ）2× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 11. 已知在10件产品中存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为ζ，已 知P（ζ＝1）＝ ，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品 率为（　　） A. 10% B. 20% C. 30% D. 40% 解析： 　设10件产品中有x件次品，则P（ζ＝1）＝ ＝ ＝ ，所以x＝2或x＝8.因为次品率不超过40%，所以x＝2，所以这10件 产品的次品率为 ＝20%. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 12. 〔多选〕盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以X表示取到白 球的个数，η表示取到黑球的个数，则下列说法中正确的是（　　） A. E（X）＝ ，E（η）＝ B. E（X2）＝E（η） C. E（η2）＝E（X） D. D（X）＝D（η）＝ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 　由题意可知X服从超几何分布，η也服从超几何分布.∴E （X）＝ ＝ ，E（η）＝ ＝ .由题意知X的分布列为 X 0 1 2 P 110 35 310 ∴E（X2）＝02× ＋12× ＋22× ＝ ，D（X）＝E（X2）－（E （X））2＝ －（ ）2＝ .η的分布列为 η 1 2 3 P ​ ​ ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 ∴E（η2）＝12× ＋22× ＋32× ＝ ，D（η）＝E（η2）－（E （η））2＝ －（ ）2＝ .∴E（X2）＝E（η），E（η2）≠E （X），D（X）＝D（η）＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 13. 把半圆弧分成4等份，以这些分点（包括直径的两端点）为顶点，作出 三角形，从中任取3个不同的三角形，则这3个不同的三角形中钝角三角形 的个数X不少于2的概率为 ⁠. ​ 解析：如图所示，设AB为半圆弧的直径，C，D，E为 半圆弧另外的三个四等分点，从A，B，C，D，E这5 个点中任取3个点构成三角形，一共能组成三角形的个数 为 ＝10.其中直角三角形有：△ABC、△ABD、△ABE，共3个，钝角三角形的个数为10－3＝7，由题意可知X∈{0，1，2，3}，P（X＝2）＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ ，因此，所求概率为P＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 14. 新高考模式下，数学试卷不分文理卷，学生想得高分比较困难.为了调 动学生学习数学的积极性，提高学生的学习成绩，张老师对自己的教学方 法进行改革，经过一学期的教学实验， 张老师所教的80名学生参加一次数 学测试，成绩都在[50，100]内，按区间分组为[50，60），[60，70）， [70，80），[80，90），[90，100]，绘制成如图所示的频率分布直方 图，规定不低于80分（百分制）为优秀. （1）求这80名学生的平均成绩（同一区间的数 据用该区间中点值作代表）； 解： 80名学生的平均成绩为（55×0.01＋65× 0.03＋75×0.03＋85×0.025＋95×0.005）×10 ＝73.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）按优秀与非优秀用按比例分配的分层随机抽样方法随机抽取10名学 生座谈，再在这10名学生中，选3名学生发言，记优秀学生发言的人数为 随机变量X，求X的分布列和均值. 解： 根据频率分布直方图知，优秀学生对 应的频率为（0.025＋0.005）×10＝0.3， 则非优秀学员对应的频率为1－0.3＝0.7， 所以抽取的10名学生中，有优秀学生10×0.3＝ 3（人），非优秀学生10×0.7＝7（人）. 则X所有可能的取值为0，1，2，3， P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 P（X＝2）＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ . 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P ​ ​ ​ ​ 所以E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 15. 根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验一 种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为： 若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则 认为该药无效. （1）如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机 选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为X，求X的分布列及 均值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 解： X的所有可能取值为0，1，2， P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，P（X＝2）＝ ＝ ， ∴X的分布列为 X 0 1 2 P ​ ​ ​ E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＝1（或E（X）＝n× ＝2× ＝1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效 的概率p，并根据p的值解释该试验方案的合理性. （参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件为小概率事件） 解： 新药无效的情况有10人中1人痊愈、10人中0人痊愈， ∴p＝ （ ）0×（ ）10＋ （ ）×（ ）9＝ ≈0.01＜0.05. 故实验方案合理. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 $