7.3 复数的三角表示(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

7.3*　复数的三角表示 1.若a＜0，则a的三角形式为（　　） A.a（cos 0＋isin 0） B.a（cos π＋isin π） C.－a（cos π＋isin π） D.－a（cos π－isin π） 2.复数z＝－i的三角形式为（　　） A.2 B.2 C.2 D.2 3.复数（sin 10°＋icos 10°）（sin 10°＋icos 10°）的三角形式是（　　） A.sin 30°＋icos 30° B.cos 160°＋isin 160° C.cos 30°＋isin 30° D.sin 160°＋icos 160° 4.将复数i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是（　　） A.＋i B.－＋i C.－－i D.－i 5.〔多选〕已知复数z＝1＋i（i为虚数单位），则下列说法中正确的是（　　） A.z的共轭复数为＝－1＋I B.｜z｜＝ C.z的辐角主值是 D.＝1＋i 6.〔多选〕已知单位向量，分别对应复数z1，z2，且·＝0，则可能为（　　） A.i B.1 C.－1 D.－i 7.复数cos＋isin的辐角主值是　　　　. 8.计算（cos 40°＋isin 40°）÷（cos 10°＋isin 10°）＝　　　　. 9.已知复数z－1的一个辐角为，z＋1的一个辐角为，则复数z＝　　　　. 10.计算： （1）2×； （2）2（cos－isin）÷［（cos＋isin）］. 11.如果θ∈，那么复数（1＋i）（cos θ＋isin θ）的辐角主值是（　　） A.θ＋ B.θ＋ C.θ－ D.θ＋ 12.〔多选〕1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式eix＝cos x＋isin x（x∈R，i为虚数单位），这个公式在复变函数中有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，据此公式，则有（　　） A.eiπ＋1＝0 B.（＋i）2 025＝－1 C.｜eix＋e－ix｜≤2 D.－2≤eix－e－ix≤2 13.在复平面上，一个正方形的四个顶点按逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O（其中O是原点），已知Z1对应复数z1＝1＋i.若Z3对应的复数为z3，则Z1和Z3对应的复数的乘积z1z3＝　　　　. 14.设z＝－i对应的向量为，将绕原点O按逆时针方向和顺时针方向分别旋转60°和30°，求所得两个向量对应的复数（用代数形式表示）. 15.已知复数z＝（m＋3）－（m＋1）i在复平面内对应的点在第一象限，i是虚数单位. （1）求实数m的取值范围； （2）当m＝－2时，求复数z的三角表示式； （3）若在复平面内，向量对应（2）中的复数z，把绕点O按顺时针方向旋转60°得到，求向量对应的复数z1（结果用代数形式表示）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3*　复数的三角表示 1.C　因为a＜0，所以辐角主值为π，故其三角形式为－a（cos π＋isin π）.故选C. 2.D　因为r＝2，所以cos θ＝，因为z＝－i对应的点在第四象限，所以arg（－i）＝，故z＝－i＝2. 3.B　（sin 10°＋icos 10°）（sin 10°＋icos 10°）＝（cos 80°＋isin 80°）（cos 80°＋isin 80°）＝cos 160°＋isin 160°.故选B. 4.A　i＝cos＋isin，将绕原点按顺时针方向旋转得到对应的复数为cos＋isin＝＋i. 5.BCD　因为z＝1＋i，所以＝1－i，故A错误；｜z｜＝＝，故B正确；z＝（cos ＋isin ），所以arg z＝，故C正确；＝＝＝1＋i，故D正确.故选B、C、D. 6.AD　因为单位向量，分别对应复数z1，z2，设复数z1＝cos θ1＋isin θ1，z2＝cos θ2＋isin θ2，因为·＝0，所以⊥，即θ1－θ2＝kπ＋，k∈Z，所以＝＝cos（θ1－θ2）＋isin（θ1－θ2）＝cos（kπ＋）＋isin（kπ＋）＝±i.故选A、D. 7.　解析：原式＝cos＋isin＝cos＋isin，故其辐角主值为. 8.＋i　解析：（cos 40°＋isin 40°）÷（cos 10°＋isin 10°）＝ cos（40°－10°）＋isin（40°－10°）＝cos 30°＋isin 30°＝＋i. 9.－＋i　解析：设z＝a＋bi（a，b∈R），∵z－1＝a－1＋bi的一个辐角为，∴＝tan ＝－①，∵z＋1＝a＋1＋bi的一个辐角为，∴＝tan ＝②，联立①②，得∴z＝－＋i. 10.解：（1）原式＝2×［cos（＋π）＋isin（＋π）］＝（cosπ＋isinπ）＝－＋i. （2）原式＝2［cos＋isin］÷［（cos＋isin）］＝2［cos＋isin］＝2［cos（－）＋isin］＝－2i. 11.B　（1＋i）（cos θ＋isin θ）＝（cos＋isin）（cos θ＋isin θ）＝［cos（θ＋）＋isin（θ＋）］，∵θ∈，∴θ＋∈，∴该复数的辐角主值是θ＋.故选B. 12.ABC　对于A，当x＝π时，因为eiπ＝cos π＋isin π＝－1，所以eiπ＋1＝0，故A正确；对于B，（＋i）2 025＝（cos ＋isin ）2 025＝（）2 025＝e675πi＝cos 675π＋isin 675π＝－1，故B正确；对于C，由eix＝cos x＋isin x，e－ix＝cos（－x）＋isin（－x）＝cos x－isin x，所以eix＋e－ix＝2cos x，得出｜eix＋e－ix｜＝｜2cos x｜≤2，故C正确；对于D，由C分析得eix－e－ix＝2isin x，推不出－2≤eix－e－ix≤2，故D错误.故选A、B、C. 13.－2－2i　解析：由题意得｜z3｜＝｜z1｜＝2，复平面上线段OZ1与x轴正半轴的夹角为，则线段OZ3与x轴正半轴的夹角为，所以z3＝2（cos ＋isin ）＝－＋i，所以z1z3＝（1＋i）（－＋i）＝－2－2i. 14.解：绕原点O按逆时针方向旋转60°所得向量对应的复数为（－i）（cos 60°＋isin 60°）＝（－i）·（＋i）＝1； 绕原点O按顺时针方向旋转30°所得向量对应的复数为（－i）·[cos（－30°）＋isin（－30°）] ＝（－i）（－i）＝－i. 15.解：（1）因为复数z＝（m＋3）－（m＋1）i在复平面内对应的点在第一象限， 所以解得－3＜m＜－1，所以实数m的取值范围为（－3，－1）. （2）当m＝－2时，z＝1＋i，所以r＝＝，cos θ＝sin θ＝＝， 所以θ＝45°， 所以z＝（cos 45°＋isin 45°）. （3）根据题意得z＝1＋i在复平面内对应的向量＝（1，1），将其顺时针旋转60°后得到向量，则对应的复数z1＝＝＝＋i. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $