9.2.4 总体离散程度的估计(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦“总体离散程度的估计”核心知识点，通过射击运动员成绩分析实例引入，系统梳理方差、标准差的概念及计算，衔接样本与总体离散程度参数的估计，延伸至分层随机抽样的方差计算，并结合统计图表综合应用，构建递进式学习支架。 以问题链驱动探究，如通过甲、乙射击成绩比较引出离散程度需求，知识梳理设填空引导主动建构，例题结合机床加工零件等实际情境，培养数据分析与数学运算素养。课中助力教师直观讲解统计含义，课后训练题与规律总结帮助学生巩固方法，查漏补缺提升数据处理能力。

9.2.4　总体离散程度的估计 1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差）（数据分析）. 2.理解离散程度参数的统计含义（数学运算）. 　　 知识点一｜方差、标准差 问题　有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲：7　8　7　9　5　4　9　10　7　4 乙：9　5　7　8　7　6　8　6　7　7 （1）你能用平均数、中位数、众数对甲、乙两位运动员的射击情况作出评价吗？ （2）如图，是甲、乙两人成绩的频率分布条形图，据图你又有什么发现？ （3）你还有其他方法说明甲、乙两人的射击情况有差异吗？ 【知识梳理】 1.平均距离：假设一组数据是x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数.我们用每个数据与平均数的差的　　　　作为“距离”，即｜xi－｜（i＝1，2，…，n）作为xi到的“距离”.可以得到这组数据x1，x2，…，xn到的“平均距离”为｜xi－｜. 2.方差、标准差：绝对值改用平方来代替，即（xi－）2＝　　　　　　　　，我们称为这组数据的　　　　.取它的算术平方根，即，我们称为这组数据的　　　　. 3.总体方差、总体标准差 如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称S2＝　　　　　　　为总体方差，S＝　　　　为总体标准差. 加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i＝1，2，…，k），则总体方差为S2＝　　　　　　　　　. 4.样本方差和标准差：如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝　　　　　　　　　为样本方差，s＝　　　　为样本标准差. 5.标准差的意义：标准差刻画了数据的　　　　　　或　　　　　　，标准差越大，数据的离散程度越　　　　；标准差越小，数据的离散程度越　　　　. 【例1】　甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中各抽取6件测量，数据如下： 甲：99　100　98　100　100　103 乙：99　100　102　99　100　100 （1）分别计算两组数据的平均数及方差； （2）根据计算结果，判断哪台机床加工零件的质量更稳定. 【规律方法】 1.计算方差常用公式 （1）定义法：s2＝[（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2]； （2）简化法：s2＝[（＋＋…＋）－n].　 2.具有线性关系的数据的平均数和方差 若数据x1，x2，…，xn与y1，y2，…，yn之间满足关系yi＝axi＋b，且数据x1，x2，…，xn的平均数和方差分别为和s2，那么y1，y2，…，yn的平均数为a＋b，方差为a2s2，标准差为｜as｜. 特别地，若yi＝xi±b，则y1，y2，…，yn的平均数为±b，方差为s2，标准差为s； 若yi＝kxi，则y1，y2，…，yn的平均数为k，方差为k2s2，标准差为｜ks｜. 训练1　（1）现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，那么这组数据的标准差是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 （2）（2025·开封月考）一组数据中的每一个数据都乘2，再都减80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，求原来数据的平均数和方差. 知识点二｜分层随机抽样的方差 【知识梳理】 假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为t2.则＝xi，s2＝（xi－x）2，＝yi，t2＝（yj－）2.若记样本平均数为，样本方差为b2，则可以算出＝（xi＋yi）＝，b2＝＝［（ms2＋nt2）＋（－）2］. 【例2】　（链接教材P213 例6）甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？ 【规律方法】 分层随机抽样的方差 设样本中不同层的平均数分别为，，…，，方差分别为，，…，，相应的权重分别为w1，w2，…，wn，则这个样本的方差为s2＝wi[＋（－）2]（为总样本平均数）. 训练2　（1）（2025·温州月考）在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如表： 班级 人数 平均分数 方差 甲 30 2 乙 20 3 其中＝，则甲、乙两个班数学成绩的方差为（　　） A.2.2　　　B.2.6 C.2.5　　　D.2.4 （2）某高校新增设的“人工智能”专业，共招收了两个班，其中甲班30人，乙班40人，在2025年高考中，甲班学生的平均分为665分，方差为131，乙班学生的平均分为658分，方差为208.则该专业所有学生在2025年高考中的方差为　　　　. 知识点三｜方差、标准差与统计图表的综合应用 【例3】　甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）的频数条形统计图如图所示.则甲、乙、丙三人训练成绩方差，，的大小关系是（　　） A.＜＜ B.＜＜ C.＜＜ D.＜＜ 【规律方法】 根据统计图表确定方差（标准差）的大小关系的两个方法 （1）根据统计图表中所提供的数据与方差（标准差）的计算公式求出其数值，然后比较大小； （2）若统计图表中没有反映出具体的数据或计算较为繁琐，可根据统计图表所反映的数据的波动性大小来比较大小. 训练3　（2025·周口月考）已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试中的成绩统计如图，则下列说法错误的是（　　） A.若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则＞ B.若甲、乙两组数据的方差分别为，，则＞ C.甲成绩的极差小于乙成绩的极差 D.甲成绩比乙成绩稳定 1.下列数字特征不能反映样本数据的分散程度、波动情况的是（　　） A.极差 B.平均数 C.方差 D.标准差 2.若数据x1，x2，…，x9的方差为2，则数据2x1，2x2，…，2x9的方差为（　　） A.2 B.4 C.6 D.8 3.张华和李明两名同学参加数学竞赛的预选赛，他们分别同时进行了5次模拟测试，测试成绩如表（单位：分）： 张华 100 80 90 90 90 李明 100 100 70 90 90 如果希望在张华、李明两人中选发挥比较稳定的1人入选，则入选的人应是　　　　. 4.某校为调查高三年级的体育成绩情况，随机调查了高三（1）班10名学生，体育成绩平均分是90，方差是3；高三（2）班15名学生，体育成绩平均分是85，方差是5，则这25名学生体育成绩的方差为　　　　. 1.理清单 （1）方差、标准差； （2）分层随机抽样的方差； （3）方差、标准差与统计图表的综合应用. 2.应体会 数据统计、数据分析. 3.避易错 方差、标准差易混淆. 提示：完成课后作业　第九章　9.2　9.2.4 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.2.4　总体离散程度的估计 知识点一 问题　（1）提示：计算可得甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数都是7，两名运动员没有差别. （2）提示：从图上看，甲的成绩比较分散，乙的成绩比较集中. （3）提示：①利用极差：根据甲、乙两人的射击成绩可以得到甲命中环数的极差＝10－4＝6，乙命中环数的极差＝9－5＝4.可以发现甲的成绩波动范围比乙的大.②利用“平均距离”：我们知道，如果射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远；相反，如果射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远.因此，我们可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度. 知识梳理 1.绝对值 2.－　方差　标准差 3.（Yi－）2　　fi（Yi－）2 4.（yi－）2　 5.离散程度　波动幅度　大　小 9.2.4　总体离散程度的估计 【例1】　解：（1）＝×（99＋100＋98＋100＋100＋103）＝100， ＝×（99＋100＋102＋99＋100＋100）＝100. ＝×[（99－100）2＋（100－100）2＋（98－100）2＋（100－100）2＋（100－100）2＋（103－100）2]＝， ＝×[（99－100）2＋（100－100）2＋（102－100）2＋（99－100）2＋（100－100）2＋（100－100）2]＝1. （2）两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又＞，所以乙机床加工零件的质量更稳定. 训练1　（1）A　由s2＝－，得s2＝×100－32＝1，∴s＝1. （2）解：法一　设原来的数据为x1，x2，x3，…，xn，则新数据为2x1－80，2x2－80，2x3－80，…，2xn－80，所以＝1.2，所以＝1.2，则原来数据的平均数为＝40.6.[（2x1－80－1.2）2＋（2x2－80－1.2）2＋…＋（2xn－80－1.2）2]＝4.4，即[（2x1－81.2）2＋（2x2－81.2）2＋…＋（2xn－81.2）2]＝4.4，则原来数据的方差为[（x1－40.6）2＋（x2－40.6）2＋…＋（xn－40.6）2]＝[（2x1－81.2）2＋（2x2－81.2）2＋…＋（2xn－81.2）2]＝×4.4＝1.1. 法二　设原数据的平均数为，方差为s2，则数据中的每一个数都乘2，再都减80，得一组新数据后，新数据的平均数为2－80，方差为22s2，由题意得解得 【例2】　解：由题意可知＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为w甲＝＝， ＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为w乙＝＝， 则甲、乙两队全部队员的平均体重为 ＝w甲＋w乙＝×60＋×70＝68（kg）， 甲、乙两队全部队员的体重的方差为 s2＝w甲[＋（－）2]＋w乙[＋（－）2] ＝[200＋（60－68）2]＋[300＋（70－68）2]＝296. 训练2　（1）D　（2）187　解析：（1）由题意知，甲、乙两个班数学成绩的平均数为＝＝，则两个班数学成绩的方差为s2＝[2＋（－）2]＋[3＋（－）2]＝＋＝2.4.故选D. （2）由题意得甲班学生成绩的平均数＝665，方差＝131，乙班学生成绩的平均数＝658，方差＝208，则总体平均数＝＋＝661，方差s2＝×[131＋（665－661）2]＋×[208＋（658－661）2]＝187. 【例3】　A　方差表示数据稳定程度，越稳定方差越小，丙的成绩集中在6环，乙的成绩平均分散，甲的成绩分散在两边，所以丙的成绩最稳定，方差最小；甲的成绩最不稳定，方差最大，所以＜＜. 训练3　B　对于A，由折线图可知，甲同学的平均成绩高于乙同学的平均成绩，A正确；对于B，由折线图可知，甲同学的成绩较乙同学的成绩更稳定，所以＜，B错误；对于C，由折线图可知，甲成绩的极差小于乙成绩的极差，C正确；对于D，甲成绩比乙成绩稳定，D正确. 随堂检测 1.B　易知A、C、D都能反映样本数据的分散程度、波动情况. 2.D　数据x1，x2，…，x9的方差s2＝2，则数据2x1，2x2，…，2x9的方差为22s2＝8.故选D. 3.张华　解析：张华成绩的平均分为＝＝90，方差为＝＝40，李明成绩的平均分为＝＝90，方差为＝＝120，因为＜，所以张华、李明两人中发挥比较稳定的是张华，故入选的人应是张华. 4.10.2　解析：由题意可知，这25名学生体育成绩的平均数为＝＝87，所以这25名学生体育成绩的方差为s2＝×[3＋（90－87）2]＋×[5＋（85－87）2]＝10.2. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $