9.2.3 总体集中趋势的估计(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦总体集中趋势的估计，系统梳理众数、中位数、平均数的定义及区别，通过实例分析构建从概念理解到用样本估计总体的学习支架，涵盖频率分布直方图中集中趋势参数的估计方法。 通过问题驱动（如产品寿命广告辨析）和实例探究（PM2.5数据、年龄特征分析），培养学生用数学眼光观察现实数据，用数学思维进行运算推理，用数学语言描述集中趋势。课中助力教师引导学生理解统计含义，课后通过训练题帮助学生查漏补缺，强化数据分析与数学建模能力。

9.2.3　总体集中趋势的估计 1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、众数）（数据分析、数学运算）. 2.理解集中趋势参数的统计含义（数学运算、数学建模）. 　　 知识点一｜众数、中位数、平均数 问题1　现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中，各抽取8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，其结果如下（单位：年） 甲：3，4，5，6，8，8，8，10 乙：4，6，6，6，8，9，12，13 丙：3，3，4，7，9，10，11，12 三家广告中都称其产品的使用寿命为8年，利用初中所学的知识，你能说明为什么吗？ 【知识梳理】 1.众数：一组数据中出现　　　　最多的数. 2.中位数：把一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，处在　　　　位置的数（或中间两个数的　　　　）叫做这组数据的中位数. 3.平均数：如果有n个数x1，x2，…，xn，那么＝　　　　　　　　　　叫做这n个数的平均数. 　　提醒：平均数、中位数、众数之间的区别： （1）一组数据中的平均数、中位数都是唯一的； （2）众数一定是原数据中的数，平均数和中位数都不一定是原数据中的数； （3）众数可以有一个，也可以有多个，也可以没有.如果在一组数据中有两个或两个以上的数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这几个数据都是这组数据的众数. 【例1】　〔多选〕PM2.5是衡量空气质量的重要指标.如图是某地9月1日到10日的PM2.5日均值（单位：μg/m3）的折线图，则下列说法正确的是（　　） A.这10天中PM2.5日均值的众数为33 B.这10天中PM2.5日均值的中位数是32 C.这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数 D.这10天中PM2.5日均值前4天的平均数大于后4天的平均数 【规律方法】 平均数、众数、中位数的计算方法 平均数一般是根据公式来计算的；计算中位数时，可先将这组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，再根据相关数据的总数是奇数还是偶数而定；众数是看出现次数最多的数. 训练1　〔多选〕某产品售后服务中心选取了20个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量（单位：次）： 63　38　25　42　56　48　53　39　28　47 45　52　59　48　41　62　48　50　52　27 则这组数据的（　　） A.众数是48 B.中位数是48 C.平均数是46 D.5％分位数是25 知识点二｜总体集中趋势的估计 问题2　什么样的问题可以用平均数描述？什么样的问题可以用中位数描述？什么样的问题可以用众数描述？ 【例2】　（链接教材P206 例5）某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄（单位：岁）如下： 甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17； 乙群：54，3，4，4，5，5，6，6，6，57. （1）甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？ （2）乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？ 【规律方法】 众数、中位数、平均数的意义 （1）样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大； （2）当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势. 训练2　据了解，某公司的33名职工月工资（单位：元）如下： 职务 董事长 副董事长 董事 总经理 人数 1 1 2 1 工资 11 000 10 000 9 000 8 000 职务 经理 管理员 职员 人数 5 3 20 工资 6 500 5 500 4 000 （1）求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数（精确到元）； （2）假设副董事长的工资从10 000元提升到20 000元，董事长的工资从11 000元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少（精确到元）？ （3）你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法. 知识点三｜利用频率分布直方图估计总体的集中趋势 问题3　我们知道平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.从下面的三幅图中，你能发现平均数和中位数的大小存在什么关系吗？ 【例3】　某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名，将其物理成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后，画出如图所示的频率分布直方图.观察图中的信息，回答下列问题： （1）估计这次考试的物理成绩的众数m与中位数n（结果保留一位小数）； （2）估计这次考试的物理成绩的及格率（60分及以上为及格）和平均分. 【规律方法】 用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数 （1）众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数； （2）中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数； （3）平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和. 训练3　〔多选〕（2025·济宁月考）随着生活水平的不断提高，我国居民的平均身高也在增长.某市为了调查本市小学一年级男生身高情况，从某小学一年级随机抽取了100名同学进行身高测量，得到频率分布直方图（如图），其中右侧三组小长方形面积满足2S2＝S1＋S3.则下列说法正确的是（　　） A.身高在[130，140）范围内的频率为0.18 B.身高的众数的估计值为115 cm C.身高的中位数的估计值为125 cm D.身高的平均数的估计值为121.8 cm 1.有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道13名同学成绩的（　　） A.平均数 B.众数 C.中位数 D.极差 2.某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是（　　） A.85，85，85 B.87，85，86 C.87，85，85 D.87，85，90 3.〔多选〕已知一组数据为－2，6，8，x，12，且这组数据的众数为6，那么下列说法正确的是（　　） A.数据的中位数是6 B.数据的平均数是6 C.x＝6 D.x＝8 4.某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩（单位：分）进行整理后分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05.求： （1）高一参赛学生成绩的众数； （2）高一参赛学生成绩的中位数. 1.理清单 （1）众数、中位数、平均数； （2）总体集中趋势的估计； （3）利用频率分布直方图估计总体的集中趋势. 2.应体会 利用频率分布直方图估计总体的集中趋势要注意数形结合思想的应用. 3.避易错 求中位数时要先对数据进行排序. 提示：完成课后作业　第九章　9.2　9.2.3 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.2.3　总体集中趋势的估计 知识点一 问题1　提示：三个厂家是从不同角度进行了说明，以宣传自己的产品.其中甲：众数为8年，乙：平均数为8年，丙：中位数为8年. 知识梳理 1.次数　2.中间　平均数　3.（x1＋x2＋…＋xn） 知识点二 问题2　提示：一般地，对数值型数据（如用水量、身高、收入、产量等）集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据（如校服规格、性别、产品质量等级等）集中趋势的描述，可以用众数. 知识点三 问题3　提示：一般来说，对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的（如图1），那么平均数和中位数应该大体上差不多；如果直方图在右边“拖尾”（如图2），那么平均数大于中位数；如果直方图在左边“拖尾”（如图3），那么平均数小于中位数.也就是说，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边. 9.2.3　总体集中趋势的估计 【例1】　AB　由题中折线图得，这10天中PM2.5日均值的众数为33，中位数为＝32，平均数为×（36＋26＋17＋23＋33＋128＋42＋31＋30＋33）＝39.9，中位数小于平均数，故A、B正确，C错误；前4天的平均数为＝25.5，后4天的平均数为＝34，故D错误. 训练1　AB　这组数据中48出现了3次，出现次数最多，因此众数是48，A正确；从小到大排列这20个数据为25，27，28，38，39，41，42，45，47，48，48，48，50，52，52，53，56，59，62，63，第10位数和第11位数均为48，两者的平均数也是48，因此中位数是48，B正确；这组数据的平均数是（63＋38＋25＋42＋56＋48＋53＋39＋28＋47＋45＋52＋59＋48＋41＋62＋48＋50＋52＋27）×＝46.15，故C错误；20×5％＝1是整数，5％分位数应取从小到大第1位与第2位的平均值，即25与27的平均值26，D错误.故选A、B. 【例2】　解：（1）甲群市民年龄的平均数为 ＝15（岁）， 中位数为15岁，众数为15岁，平均数、中位数和众数相等， 因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征. （2）乙群市民年龄的平均数为 ＝15（岁）， 中位数为5.5岁，众数为6岁. 由于乙群市民大多数是儿童， 所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差. 训练2　解：（1）平均数是＝4 000＋（7 000＋6 000＋5 000×2＋4 000＋2 500×5＋1 500×3＋0×20）≈4 000＋1 333＝5 333（元）. 中位数是4 000元，众数是4 000元. （2）平均数是＝4 000＋（26 000＋16 000＋5 000×2＋4 000＋2 500×5＋1 500×3＋0×20）≈4 000＋2 212＝6 212（元）. 中位数是4 000元，众数是4 000元. （3）在这个问题中，中位数和众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能准确反映这个公司员工的工资水平. 【例3】　解：（1）众数是频率分布直方图中最高小矩形底边中点的横坐标，所以众数m＝75.0. 前3个小矩形面积和为0.01×10＋0.015×10＋0.015×10＝0.4＜0.5， 前4个小矩形面积和为0.4＋0.03×10＝0.7＞0.5，所以中位数n＝70＋≈73.3. （2）依题意，60及以上的分数在第三、四、五、六组，频率和为（0.015＋0.03＋0.025＋0.005）×10＝0.75，所以估计这次考试的物理成绩的及格率是75％. 利用组中值估算抽样学生的平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.所以估计这次考试的物理成绩的平均分是71分. 训练3　ABD　∵前三组的频率分别为0.04，0.08，0.34，∴后三组的频率和为1－（0.04＋0.08＋0.34）＝0.54.∵右侧三组小长方形面积满足2S2＝S1＋S3，设[130，140）的频率为x，∴3x＝0.54，可得x＝0.18，而[140，150]的频率为0.06，则[120，130）的频率为0.3，A正确；由直方图知：频率最高的区间为[110，120），∴身高的众数的估计值为115 cm，B正确；设中位数为a，∵前三组的频率和为0.46，第四组的频率为0.3，∴中位数a在区间[120，130）内，由0.46＋（a－120）×0.03＝0.5得a＝120＋≈121.3 cm，C错误；由题意：身高的平均数为95×0.04＋105×0.08＋115×0.34＋125×0.3＋135×0.18＋145×0.06＝121.8 cm，D正确.故选A、B、D. 随堂检测 1.C　把13名同学成绩按由大到小排列，取成绩靠前的6个成绩进入决赛，即最中间的一个数之前的6个成绩进入决赛，13个成绩按由大到小排列时，最中间一个数即是中位数.故选C. 2.C　从小到大列出所有数学成绩：75，80，85，85，85，85，90，90，95，100，观察知众数和中位数均为85，计算得平均数为87.故选C. 3.ABC　众数是指出现次数最多的数据，所以x＝6，将这组数据按从小到大的顺序排列：－2，6，6，8，12，中位数是指处于中间位置的数，即为6，平均数为＝6.故选A、B、C. 4.解：（1）用频率分布直方图中最高矩形底边中点的横坐标作为众数的近似值，得成绩的众数为65分. （2）∵第一个小矩形的面积为0.3，第二个小矩形的面积为0.4，且0.3＋0.4＞0.5，∴可设第二个小矩形底边的一部分长为x，由0.3＋x×0.04＝0.5，解得x＝5，∴成绩的中位数为60＋5＝65（分）. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $