9.3 正态分布（练习）--北师大版《数学 拓展模块一下册》《上好课》

北师大版《数学拓展模块一 下册》 第九章 随机变量及其分布 9.3 正态分布 一、单选题 1．已知随机变量和的正态曲线如图所示，下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．这两条正态曲线均为标准正态曲线 2．某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ） A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于的概率为 C．该物理量在一次测量中小于与大于的概率相等 D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 3．某项测量结果ξ服从正态分布，若ξ在内取值的概率为，则ξ在内的取值的概率为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 4．若随机变量，且，则______． 5．某校1000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，其密度函数曲线如图所示，则成绩 X 位于区间52，68的人数大约是________.(参考数据：若随机变量 服从正态分布则P 0.6826，P 2 2 0.9544，P 3 3 0.9974 三、解答题 6．某篮球队在某赛季已结束的场比赛中，队员甲得分分别为7，8，10，15，17，19，21，23. (1)根据这8场比赛，估计甲每场比赛中得分的均值和标准差； (2)假设甲在每场比赛的得分服从正态分布，且各场比赛间相互没有影响，依此估计甲在场比赛中得分在不低于分的平均场数(结果保留整数)． 参考数据：，，.正态总体在区间内取值的概率约为. 一、单选题 1．设随机变量，则X的密度函数为（ ） A． B． C． D． 2．设随机变量服从正态分布，若，则的值为（ ） A．9 B．7 C．5 D．4 3．某市高三联考后，统一调查研究本次考试的数学成绩，得出全体考生的数学成绩（单位：分）近似服从正态分布，则下列说法错误的是（ ） A．本次联考的数学平均分近似为90分 B．本次联考数学成绩的方差近似为50 C．随机抽取一名学生的成绩， D．随机抽取一名学生的成绩， 4．近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布和，则下列选项不正确的是（ ） 附：若随机变量服从正态分布，则. A．若红玫瑰日销售量范围在的概率是，则红玫瑰日销售量的平均数约为 B．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中 C．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中 D．白玫瑰日销售量范围在的概率约为 二、填空题 5．已知随机变量X服从正态分布，若，，则______． 6．已知某学校高三数学期末考试成绩服从正态分布，已知成绩落在的概率为0.4，数学考试满分150分，该学校高三有学生800人，则考试成绩140分以上的学生大约有________人． 7．已知随机变量，，且，，则______．. 三、解答题 8．已知某车间工人完成某道工序的时间（单位：）.求 (1)从该车间工人中任选1人，其完成该道工序的时间至少为的概率； (2)为了保证生产连续进行，要求以的概率保证该道工序上工人完成工作时间不超过.这个要求能否得到保证？ 9．假设某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布（单位：），该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐，称得其质量均大于. (1)求正常情况下，任意抽取一包食盐，质量大于的概率为多少； (2)检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版《数学拓展模块一 下册》 第九章 随机变量及其分布 9.3 正态分布 一、单选题 1．已知随机变量和的正态曲线如图所示，下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．这两条正态曲线均为标准正态曲线 【答案】B 【分析】根据正态曲线的性质，即正态曲线关于直线对称，且越小，曲线越“瘦高”；越大，曲线越“矮胖”，由此判断选项即可. 【详解】∵正态曲线关于直线对称， ∴由图中可知，，故A错误； ∵Y对应的正态曲线更“瘦高”，X对应的正态曲线更“矮胖”， ∴，故B正确，C错误； ∵标准正态曲线是，故D选项错误. 故选：B. 2．某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ） A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于的概率为 C．该物理量在一次测量中小于与大于的概率相等 D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 【答案】D 【分析】利用正态分布曲线的特点以及曲线所表示的意义对四个选项逐一分析判断即可. 【详解】为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中， 所以测量结果落在内的概率越大，故选项A正确； 由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于的概率为，故选项B正确； 由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率 与小于的概率相等，故选项C正确； 因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同， 所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故选项D错误. 故选：D. 3．某项测量结果ξ服从正态分布，若ξ在内取值的概率为，则ξ在内的取值的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正态分布的特点可知正态分布，曲线的对称轴为直线，则ξ在内取值的概率与ξ在内的取值的概率相等，由此即可解答. 【详解】已知某项测量结果ξ服从正态分布， 则曲线的对称轴为直线， 且与关于直线对称， 所以ξ在内取值的概率与ξ在内的取值的概率相等， 因为ξ在内取值的概率为， 所以ξ在内的取值的概率为， 故选：A. 二、填空题 4．若随机变量，且，则______． 【答案】/ 【分析】利用正态曲线的对称性求出的值，然后根据正态密度曲线的对称性可得出，代值计算即可得解. 【详解】因为，且，则， 所以，. 故答案为：. 5．某校1000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，其密度函数曲线如图所示，则成绩 X 位于区间52，68的人数大约是________.(参考数据：若随机变量 服从正态分布则P 0.6826，P 2 2 0.9544，P 3 3 0.9974 【答案】683 【分析】由图知：，利用3 原则可求出成绩位于区间的概率，进而可得出大约人数. 【详解】解：由题图知，其中，， ． 所以 1000 名学生成绩位于区间的人数大约有（人）． 故答案为：683． .三、解答题 6．某篮球队在某赛季已结束的场比赛中，队员甲得分分别为7，8，10，15，17，19，21，23. (1)根据这8场比赛，估计甲每场比赛中得分的均值和标准差； (2)假设甲在每场比赛的得分服从正态分布，且各场比赛间相互没有影响，依此估计甲在场比赛中得分在不低于分的平均场数(结果保留整数)． 参考数据：，，.正态总体在区间内取值的概率约为. 【答案】(1)估计甲每场比赛中得分的均值为，标准差为. (2)估计甲在场比赛中得分在不低于分的平均场数为. 【分析】（1）代入公式计算均值与方差，即可求解答案；（2）计算每场比赛中得分不低于分的概率，设甲在场比赛中得分在不低于分的场数为，根据服从二项分布即可代入期望公式求解. 【详解】（1）由题意可得， ， 所以. 所以估计甲每场比赛中得分的均值为，标准差为. （2）设甲每场比赛中的得分为随机变量， 由（1）得甲在每场比赛中得分不低于分的概率 ， 设在场比赛中，甲得分不低于分的次数为，则． 的均值. 由此估计甲在场比赛中得分在不低于分的平均场数为. 一、单选题 1．设随机变量，则X的密度函数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正态分布的定义可求得，从而可求X的密度函数. 【详解】因为，所以，即， 所以X的密度函数为A. 故选：A 2．设随机变量服从正态分布，若，则的值为（ ） A．9 B．7 C．5 D．4 【答案】B 【分析】由正态分布曲线的对称性可列方程求解. 【详解】因为随机变量服从正态分布，若， 所以，解得. 故选：B. 3．某市高三联考后，统一调查研究本次考试的数学成绩，得出全体考生的数学成绩（单位：分）近似服从正态分布，则下列说法错误的是（ ） A．本次联考的数学平均分近似为90分 B．本次联考数学成绩的方差近似为50 C．随机抽取一名学生的成绩， D．随机抽取一名学生的成绩， 【答案】D 【分析】对于AB，由分析判断，对于CD，由正态分布的对称性分析判断. 【详解】对于AB，因为全体考生的数学成绩（单位：分）近似服从正态分布，所以，所以AB正确； 对于C，因为，所以，故C正确， 对于D，因为，所以，所以D错， 故选：D. 4．近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布和，则下列选项不正确的是（ ） 附：若随机变量服从正态分布，则. A．若红玫瑰日销售量范围在的概率是，则红玫瑰日销售量的平均数约为 B．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中 C．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中 D．白玫瑰日销售量范围在的概率约为 【答案】C 【分析】求出的值，可判断A选项的正误；比较红玫瑰日销售量和白玫瑰日销售量方差的大小，可判断BC选项的正误；计算的值，可判断D选项的正误. 【详解】若红玫瑰的日销售量范围在的概率是，则，解得，A对； 红玫瑰日销售量的方差为，白玫瑰日销售量的方差为，且， 故红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中，B对C错； 因为，所以，，D对. 故选：C. 二、填空题 5．已知随机变量X服从正态分布，若，，则______． 【答案】 【分析】先求出的概率，然后根据正态分布的特征求解即可. 【详解】解：由题意得： ∵ ∴与关于对称 ∴． 故答案为： 6．已知某学校高三数学期末考试成绩服从正态分布，已知成绩落在的概率为0.4，数学考试满分150分，该学校高三有学生800人，则考试成绩140分以上的学生大约有________人． 【答案】 【分析】根据正态分布的对称性求出考试成绩140分以上的概率，再乘以即可得解. 【详解】设学生成绩为，则，则， 因为，所以 ， 所以 ， 则考试成绩140分以上的学生大约有（人）. 故答案为：. 7．已知随机变量，，且，，则______． 【答案】0.2/ 【分析】由二项分布与正态分布的性质计算即可. 【详解】因为随机变量且， 所以，所以， 故，由因为，所以， 则. 所以. 故答案为：0.2 三、解答题 8．已知某车间工人完成某道工序的时间（单位：）.求 (1)从该车间工人中任选1人，其完成该道工序的时间至少为的概率； (2)为了保证生产连续进行，要求以的概率保证该道工序上工人完成工作时间不超过.这个要求能否得到保证？ 【答案】(1) (2)能够以的概率保证该道工序上工人完成工作时间不超过 【分析】根据随机变量满足正态分布，进而求解指定区间概率，从而得解. 【详解】（1）由已知条件知，. . （2） . 因此能够以的概率保证该道工序上工人完成工作时间不超过. 9．假设某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布（单位：），该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐，称得其质量均大于. (1)求正常情况下，任意抽取一包食盐，质量大于的概率为多少； (2)检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由. 【答案】(1) (2)检测员的判断是合理的，理由见解析 【分析】（1）由正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布（单位：g），要求得 正常情况下,任意抽取一包食盐,质量大于的概率, 化为 的形式, 然后求解即可; （2）由（1）可知正常情况下，任意抽取一包食盐,质量大于的概率为,可求得随机抽取两包检查,质量都大于的概率几乎为零, 即可判定检测员的判断是合理的. 【详解】（1）设正常情况下，该生产线上包装出来的食盐质量为，由题意可知. 由于，所以根据正态分布的对称性与“原则”可知， . （2）检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常的话，由（1）可知，随机抽取两包检查，质量都大于的概率约为： ， 几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现了异常，检测员的判断是合理的. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $