9.3 正态分布（教案）--北师大版《数学 拓展模块一下册》《上好课》

北师大版《数学拓展模块一 下册》 第九章 随机变量及其分布 9.3 正态分布 一、教材 北京师范大学出版社《数学》（拓展模块一下册） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 “正态分布”是随机变量及其分布章节的核心连续型分布内容，核心知识点包括正态分布的概念、正态曲线的形态特征、性质及其实际应用，为后续学习统计推断等内容奠定了重要的概率模型基础。教材以生活中的正态分布现象为逻辑主线，既衔接了学生对离散型随机变量分布、频率分布直方图的认知，又深化了“从样本数据到总体分布、从直观特征到概率意义”的统计思维，提升学生运用正态分布解释随机现象、解决实际概率问题的能力。 五、学情分析 多数学生已具备离散型随机变量分布、频率分布直方图等基础知识，并且对身高、成绩等近似服从正态分布的生活数据有明确认知，这为他们学习正态分布打下了基础。但如果只采用纯概念定义的讲解可能无法引起学生的学习兴趣，还容易出现对正态曲线的对称性、峰值意义理解不透彻，混淆正态分布与离散型分布的本质区别等问题。因此可以通过生活数据的直观分析帮助学生掌握正态分布的相关知识，帮助他们突破思维难点。 六、教学目标 1.理解并掌握正态分布的概念； 2.掌握正态曲线的对称性、分散程度等基本性质； 3.通过对正态分布的学习，深化对连续型随机变量分布规律的认识，提升数学抽象、直观想象、数据分析核心素养。 七、教学重点 1.正态分布的概念； 2.正态曲线的基本性质。 八、教学难点 能运用正态分布的特征解释和解决简单的实际应用问题。 九、教学方法 案例法：通过案例帮助学生理解正态分布的相关知识点，激发学生的学习兴趣。 讲授法：对正态分布进行系统讲解，使学生准确理解和掌握。 探究法：引导学生自主探究正态分布，培养学生的推理能力。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 某加工厂加工一批长度为25.40cm的管子，为了检验产品的质量，从一批产品中任取100件检测，测得它们的实际尺寸如下（单位：cm）。 思考：我们是否有合理的方法判断这批产品是否合格？ 分析： 面对这样的数据，我们可以借助频率直方图来帮助我们分析，把这批产品的长度尺寸看成一个总体，那么这100个产品的实际尺寸就是容量为100的样本，根据前面的知识可以得到这组样本数据的频率直方图.（如图） 通过生活举例分析推导出新知识点：正态分布。 新知讲授 正态分布 如果样本容量无限增大，组距无限缩小，那么频率直方图中的小矩形的顶部就会无限地接近一条光滑的曲线，我们把这条曲线叫作概率密度曲线. 如果知道了概率密度曲线，那么取值于某一范围的概率（如图中的），都可以通过计算曲线下方相应部分的面积而得到. 一般地，如果随机变量的概率密度曲线是，，其中，是常数，（是期望，是方差，是标准差），那么称随机变量服从参数，的正态分布，简记为。 这时，我们把随机变量的概率密度曲线叫作正态分布曲线或正态曲线，叫作正态随机变量。 正态分布曲线的函数表达式称为正态分布的密度函数。、是两个重要参数，一旦，给定了，就给定了一个具体的正态分布。如图所示的是，分别取，，的正态分布曲线。 请思考：如果，你能写出图中三条曲线的函数表达式吗？ 分析：根据正态分布曲线的函数表达式，可以求得： 当，时，曲线的函数表达式是 。 当，时，曲线的函数表达式是。 当，时，曲线的函数表达式是。 正态分布曲线具有以下性质。 （1）函数在处取得最大值，且关于直线对称，函数图像在轴上方； （2）当一定时，的大小决定函数图像的“高”“矮”“胖”“瘦”。越大，函数图像越“矮胖”；越小，函数图像越“高瘦”； （3）当一定时，函数图像的位置由决定，函数图像随着的增大而沿着轴的正方向平移；轴是正态分布曲线的渐近线. ，时的正态分布，即叫作标准正态分布，相应的曲线叫作标准正态分布曲线.（如图） 标准正态分布曲线的密度函数是，. 特别地，如图所示，对于正态分布曲线有以下性质： ， ， . 从上面的结论可以看到，随机变量服从正态分布，在区间外取值的概率小于. 因为这些概率值很小，在一次试验中几乎不可能发生，所以通常称这些事件为小概率事件. 在实际应用中，服从于正态分布的随机变量只取区间内的值，这就是企业管理中的“原则”. 总结正态分布的定义与性质。 案例分析 【例题】若工厂生产符合标准的某种配件的尺寸满足正态分布，质量检验员随机抽查了10个配件，测量得到它们的尺寸如下（单位：cm）． 请你根据“原则”，帮助质量检验员确定哪些配件应该判定为不符合标准． 【解析】根据“原则”，我们把尺寸落在区间，即之外的零配件判定为不符合标准的配件，所以尺寸为39.56和39.27的两个配件，符合落在区间之外这一条件，因此判定2号和5号配件是不符合标准的． 【例题】某校计划为名新生定制校服，学生身高（单位：）服从正态分布，试问：应为身高在区间内的学生定制多少套服装？ 【解析】据题意，服从正态分布， ，， 因为， ， 所以，定制身高在区间内的学生的服装约为， 套. 通过案例来帮助学生更好地理解正态分布的定义与性质。 学以致用 【练习】东盟某国与中国合作种植水稻，某稻田产量（单位：kg）记录如下：. (1)求样本均值； (2)若产量服从正态分布，且均值 kg，标准差kg，求产量在 490 kg 到520 kg 之间的概率.（参考数据：） 【解析】（1）由题意可得，样本均值为. （2）因为产量服从正态分布，且均值 kg，标准差kg， 可得， 所以产量在 490 kg 到520 kg 之间的概率。 . 【练习】已知某车间正常生产某种零件的尺寸（单位：mm）满足正态分布，质量检验员随机抽查了10个零件，测量得到它们的尺寸如下：27.34，27.49，27.55，27.23，27.40，27.46，27.38，27.58，27.54，27.68.请你根据正态分布的原则，帮助质量检验员确定哪些零件应该判定为是在非正常状态下生产的. 【解析】根据题意，，，. 故，， 故27.23，27.68在区间之外， 故根据正态分布的原则， 尺寸为27.23，27.68的零件应该判定是在非正常状态下生产的． 同学们，我们已经完成了正态分布相关知识点的学习，那现在请同学们结合案例想一想：生活中还有什么服从正态分布的随机变量的例子？ 答案： (1)某地区16岁男孩的身高分布可以近似看成服从正态分布; (2)某厂生产的某种型号的灯泡的使用寿命的分布可以近似看成服从正态分布. 通过及时练习以及知识回顾，进一步加强学生对正态分布的定义与性质的记忆和运用。 课堂练习 【练习1】已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A． B． C． D． 【解析】因为，所以， 则. 故选：C. 【练习2】某零件的尺寸服从正态分布，则尺寸在之外的概率为（ ）（参考 原则：） A． B． C． D． 【解析】已知零件尺寸，则. 即，， 又， 所以. 故选：B 【练习3】已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（ ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称 【解析】因为随机变量服从正态分布， 记函数， 所以， 即，所以， 故函数的图象关于点成中心对称． 故选：C． 【练习4】已知随机变量X服从正态分布，，则（ ） A． B． C． D． 【解析】由题可知：随机变量X服从正态分布，， 所以. 故选：D 【练习5】如图是当取三个不同值的三种正态曲线的图象，那么的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【解析】当时，正态曲线， 在时，取得最大值，故． 由正态曲线的特征，当一定时，曲线的形状由确定． 越小，曲线越“瘦高”；越大，曲线越“矮胖”， 于是有． 故选：D. 【练习6】某工厂生产的零件外直径（单位：）服从正态分布，今从该厂上午、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为和，则可认为（ ） A．上午生产情况异常，下午生产情况正常 B．上午生产情况正常，下午生产情况异常 C．上午、下午生产情况均正常 D．上午、下午生产情况均异常 【解析】因为零件外直径服从正态分布， 所以根据原则， 产品外直径在即时为正常． 因为， 所以可认为上午生产情况正常，下午生产情况异常． 故选：B. 通过练习及时掌握学生情况查漏补缺 知识梳理 正态分布： 一般地，如果随机变量的概率密度曲线是，，其中，是常数，（是期望，是方差，是标准差），那么称随机变量服从参数，的正态分布，简记为。 这时，我们把随机变量的概率密度曲线叫作正态分布曲线或正态曲线，叫作正态随机变量。 正态分布曲线的性质： （1）函数在处取得最大值，且关于直线对称，函数图像在轴上方； （2）当一定时，的大小决定函数图像的“高”“矮”“胖”“瘦”。越大，函数图像越“矮胖”；越小，函数图像越“高瘦”； （3）当一定时，函数图像的位置由决定，函数图像随着的增大而沿着轴的正方向平移；轴是正态分布曲线的渐近线. 培养学生总结学习过程能力. 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 正态分布： 一般地，如果随机变量的概率密度曲线是，，其中，是常数，（是期望，是方差，是标准差），那么称随机变量服从参数，的正态分布，简记为。 这时，我们把随机变量的概率密度曲线叫作正态分布曲线或正态曲线，叫作正态随机变量。 正态分布曲线的性质： （1）函数在处取得最大值，且关于直线对称，函数图像在轴上方； （2）当一定时，的大小决定函数图像的“高”“矮”“胖”“瘦”。越大，函数图像越“矮胖”；越小，函数图像越“高瘦”； （3）当一定时，函数图像的位置由决定，函数图像随着的增大而沿着轴的正方向平移；轴是正态分布曲线的渐近线. 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注. 11、 教学反思 在本节教学中，通过生活实例与频率分布直方图过渡引入正态分布的概念，多数学生能初步理解正态曲线的形态特征，掌握其基本内容与简单应用方法。但在课堂检测中也发现：个别学生对在运用3 原则分析实际问题时容易出现概率范围判断错误。因此在课后练习中，需增加相关的专项练习，提升其对新知识的运用能力。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $