9.1.2 离散型随机变量分布列及其数字特征（课件）--北师大版《数学 拓展模块一下册》《上好课》

9.1.2 离散型随机变量分布列及其数字特征 第九章 随机变量及其分布 北师大版 拓展模块一 下册 学习目标 1.理解并掌握离散型随机变量分布列的定义、性质； 2.掌握离散型随机变量期望、方差的定义与计算公式； 3.借助分布列与数字特征的探究，深化对随机变量本质的理解，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算、数据分析的核心素养。 目 录 教学引入 01 新知讲授 02 学以致用 03 课堂练习 04 课堂小结 05 教学引入 9.1.2 离散型随机变量分布列及其数字特征 教学引入 教学引入 教学引入 教学引入 新知讲授 9.1.2 离散型随机变量分布列及其数字特征 新知讲授 ... ... ... ... 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知讲授 案例分析 案例分析 案例分析 案例分析 案例分析 案例分析 新知速记 1.什么是离散型随机变量X的概率分布列？ 2.离散型随机变量X的期望、方差和标准差如何表示？ 新知速记 3.离散型随机变量X的概率分布有哪些性质？ 4.计算离散型随机变量的概率分布列的主要步骤为？ 学以致用 9.1.2 离散型随机变量分布列及其数字特征 学以致用 学以致用 学以致用 学以致用 知识回顾 同学们，我们完成了离散型随机变量分布列及其数字特征相关知识点的学习，接下来咱们一起快速回顾一下刚学的内容，大家可以踊跃举手回答： 1.什么是离散型随机变量X的概率分布列？ 2.离散型随机变量X的概率分布列的方差公式？ 3.离散型随机变量X的概率分布列有哪些性质？ 师生交流 拓展思考互动 同学们，我们已经完成了离散型随机变量分布列及其数字特征相关知识点的学习，那现在请同学们结合课堂中的案例以及练习思考：离散型随机变量的概率分布有什么意义？稍后请同学进行分享交流. 答案举例： 通过概率分布，我们可以预判大概率会发生的情况，从而提前做好准备、优化选择。比如生活中公交公司根据 “早高峰某站点候车人数” 的概率分布，决定是否增加班次，避免过度拥挤或资源浪费。 课堂练习 9.1.2 离散型随机变量分布列及其数字特征 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂小结 9.1.2 离散型随机变量分布列及其数字特征 课堂小结 课堂小结 课堂小结 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 问题提出： 我们在做掷骰子的大量随机试验中，令表示 骰子掷出来的点数，即。这说明， 的所有可能取值是，，，，，，对应着骰 子掷出来的点数。取这些值时的概率值是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 分析： 我们知道，“”表示“掷出1点”，“”表示“掷出2点”，“”表示“掷出3点”……而且我们知道，在骰子质地均匀的情况下，每个结果出现的概率都是，如表所示。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 我们可以求出由表示的事件发生的概率。比如，在这个随机试验中，事件，由互斥事件的可加性，知 同理，事件发生的概率为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 从上面的问题可以看出： 如果知道了随机变量取值的概率情况，在各个范围取值的概率就可以通过计算得到，从而也就掌握了这个随机变量的规律。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 一般地，如果离散型随机变量可能取的不同值为，，，，，.取每一个值的概率，如表所示。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为的分布列.有时的分布列可以简单地表示为. 把叫作离散型随机变量的数学期望（简称期望，或者均值），记作，即 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 把叫作离散型随机变量X的方差，记作，即 . 把离散型随机变量的方差的算术平方根叫作随机变量的标准差. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 不难知道，在掷质地均匀的硬币的随机试验中，设，如果“正面向上”的概率为，那么随机变量的分布列如表所示. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 我们称它服从两点分布.两点分布又称分布，在数学上由于只有两个可能结果的随机试验叫作伯努利试验，所以两点分布也叫作伯努利分布. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 它的应用非常广泛，彩票是否中奖，射门是否命中等，都可以用两点分布来研究.两点分布的一般形式如表所示. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 离散型随机变量的概率分布列还可以用图像表示.例如，前面掷骰子的试验，掷出的点数的概率分布列就可以用平面直角坐标系来描绘，其中横坐标是随机变量的取值，纵坐标是概率。 由此，我们知道离散型随机变量的概率分布列也像函数一样可以用解析式、表格或者图像来表示. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 根据概率的性质，离散型随机变量的概率分布列具有下列性质. （1），，，，； （2）. 利用这个性质和概率的性质，可以计算离散型随机变量表示的事件发生的概率。计算离散型随机变量的概率分布列的主要步骤为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 第1步，列出离散型随机变量的所有取值； 第2步，计算出各个离散型随机变量取值对应的事件发生的概率； 第3步，列表写出分布列。 计算离散型随机变量的概率分布列，一定要验证离散型随机变量的概率分布列的两个性质。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】一袋中装有编号为，，，，的个同样大小的球，现从该袋内随机取出个球，设被取出的球的最大号码为，求随机变量的分布列. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 依题意可知，从袋内随机取出3个球的结果有种，可取3，4，5. 当时，从袋内随机地取出3个球的结果有 种，出现的概率为. 当时，从袋内随机地取出3个球的结果有 种，出现的概率为. 当时，从袋内随机地取出3个球的结果有 种，出现的概率为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 所以，随机变量的分布列如表所示. 检验：（1），，；（2）。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】某工厂生产一批产品，其中一等品占，每件产品可获利6元；二等品占，每件产品可获利3元；次品占，每件产品亏损3元. 从这批产品中任取一件产品，设为该产品的获利金额（单位：元）. 求： （1）随机变量的概率分布列； （2）随机变量的期望； （3）随机变量的方差； （4）随机变量的标准差. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 (1)随机变量的所有取值为，，，取这些值对应的概率依次为，，，所以，随机变量的概率分布列如表所示. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 （2）. 所以，随机变量的期望为4，即该产品的获利金额的期望为4元. （3）随机变量的方差为 . （4）随机变量的标准差为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 数学期望记作， 方差记作，即 算术平方根叫作随机变量的标准差. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1），，，，；（2）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 第1步，列出离散型随机变量的所有取值； 第2步，计算出各个离散型随机变量取值对应的事件发生的概率； 第3步，列表写出分布列。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】某职业学校学生在技能训练中，需完成两次独立的零件加工任务，每次任务的结果只有“合格”和“不合格”两种，已知该学生第一次加工零件合格的概率为0.6，第二次加工零件合格的概率为0.7，且两次加工任务是否合格相互独立.记随机变量为该学生两次加工任务中合格的次数.求： (1)随机变量的分布列； (2)该学生两次加工任务中恰好有一次合格的概率. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 （1）由题意知，随机变量的可能取值为0，1，2， 因为第一次加工零件合格的概率为0.6，第二次加工零件合格的概率为0.7， 所以第一次不合格的概率为，第二次不合格的概率为. 则当时，， 当时， ， 当时， ， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 所以的分布列为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）得对应事件“恰好有一次合格”，则概率为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】一袋中装有5个球，编号为，现从中同时取出3个球，以表示取出的3个球中最小号码，写出随机变量的分布列. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 已知表示取出的3个球中最小号码，所以的取值可能为， 则，，， 所以分布列为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习1】若随机变量的分布列如表所示，则数学期望（ ） A． B． C．7 D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 如表格可知，，即，解得或（舍去）， 所以. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习2】已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则m的值为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 根据分布列性质，所有概率之和为1， 即， 故选：C 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习3】抛掷一枚质地均匀的骰子，规定“掷出1或2点”得1分，“掷出3或4点”得2分，“掷出5或6点”得3分，用表示得分，则的值为（ ） A．1.5 B．2.0 C．2.5 D．3.0 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 “掷出1或2点”得1分，则，“掷出3或4点”得2分，则，“掷出5或6点”得3分，则， 则. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习4】若离散型随机变量X的分布列如表所示，的数学期望（ ） A．2 B．2或 C． D．1 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由分布列可知，，解得（舍）或， 所以分布列如表，则， 故选：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习5】若离散型随机变量X的分布列为，，则a的值为（ ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为离散型随机变量X的分布列为，， 所以，解得. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习6】随机变量的分布列为，，其中为常数，则 等于（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 根据离散型随机变量的性质有：，解得：，则． 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 离散型随机变量的概率分布列的性质： （1），，，，；（2） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 离散型随机变量X的概率分布列： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 离散型随机变量的数学期望记作，即 离散型随机变量X的方差记作，即 离散型随机变量的标准差记作. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 计算离散型随机变量的概率分布列的主要步骤： 第1步，列出离散型随机变量的所有取值； 第2步，计算出各个离散型随机变量取值对应的事件发生的概率； 第3步，列表写出分布列。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $