9.1.2 离散型随机变量分布列及其数字特征（教案）--北师大版《数学 拓展模块一下册》《上好课》

北师大版《数学拓展模块一 下册》 第九章 随机变量及其分布 9.1.2 离散型随机变量分布列及其数字特征 一、教材 北京师范大学出版社《数学》（拓展模块一下册） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 “离散型随机变量分布列及其数字特征”是随机变量及其分布章节的核心内容，核心知识点包括离散型随机变量分布列的定义与性质、离散型随机变量期望与方差的计算公式及意义，为后续学习二项分布、超几何分布等常见离散型分布奠定了关键的理论与方法基础。教材以随机现象的数据分析为逻辑主线，既衔接了学生对离散型随机变量的概念认知，又深化了“从分布规律到统计特征”的概率思维，提升学生利用分布列与数字特征分析随机现象、进行决策预测的能力。 五、学情分析 多数学生已具备离散型随机变量的定义、随机事件概率等基础知识，并且对简单随机现象的结果统计有明确认知，这为他们学习分布列及其数字特征打下了基础。但如果只采用纯公式推导的讲解可能无法引起学生的学习兴趣，还容易出现对分布列性质理解不全面、混淆期望与方差的物理意义、无法将实际问题转化为分布列模型的问题。因此可以通过生活中的随机实例分析帮助学生掌握相关知识，帮助他们突破思维难点。 六、教学目标 1.理解并掌握离散型随机变量分布列的定义、性质； 2.掌握离散型随机变量期望、方差的定义与计算公式； 3.借助分布列与数字特征的探究，深化对随机变量本质的理解，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算、数据分析的核心素养。 七、教学重点 1.离散型随机变量分布列的定义与性质； 2.离散型随机变量期望、方差的定义与计算公式。 八、教学难点 熟练计算简单离散型随机变量的期望与方差，规范书写解题步骤。 九、教学方法 案例法：通过案例帮助学生理解离散型随机变量分布列及其数字特征，激发学生的学习兴趣。 讲授法：对离散型随机变量分布列及其数字特征进行系统讲解，使学生准确理解和掌握。 探究法：引导学生自主探究离散型随机变量分布列及其数字特征，培养学生的推理能力。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 问题提出 我们在做掷骰子的大量随机试验中，令表示骰子掷出来的点数，即。这说明，的所有可能取值是，，，，，，对应着骰子掷出来的点数。取这些值时的概率值是多少？ 分析： 我们知道，“”表示“掷出1点”，“”表示“掷出2点”，“”表示“掷出3点”……而且我们知道，在骰子质地均匀的情况下，每个结果出现的概率都是，如表所示。 我们可以求出由表示的事件发生的概率。比如，在这个随机试验中，事件，由互斥事件的可加性，知 同理，事件发生的概率为 从上面的问题可以看出，如果知道了随机变量取值的概率情况，在各个范围取值的概率就可以通过计算得到，从而也就掌握了这个随机变量的规律。 通过生活举例分析推导出新知识点：离散型随机变量分布列及其数字特征。 新知讲授 离散型随机变量分布列及其数字特征 一般地，如果离散型随机变量可能取的不同值为，，，，，.取每一个值的概率，如表所示。 上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为的分布列.有时的分布列可以简单地表示为 把叫作离散型随机变量的数学期望（简称期望，或者均值），记作，即 把叫作离散型随机变量X的方差，记作，即 把离散型随机变量的方差的算术平方根叫作随机变量的标准差. 不难知道，在掷质地均匀的硬币的随机试验中，设，如果“正面向上”的概率为，那么随机变量的分布列如表所示. 我们称它服从两点分布.两点分布又称分布，在数学上由于只有两个可能结果的随机试验叫 作伯努利试验，所以两点分布也叫作伯努利分布. 它的应用非常广泛，彩票是否中奖，射门是否命中等，都可以用两点分布来研究. 两点分布的一般形式如表所示. 离散型随机变量的概率分布列还可以用图像表示. 例如，前面掷骰子的试验，掷出的点数的概率分布列就可以用平面直角坐标系来描绘，其中横坐标是随机变量的取值，纵坐标是概率，请试着在平面直角坐标系中画出掷骰子掷出的点数的概率分布列. 由此，我们知道离散型随机变量的概率分布列也像函数一样可以用解析式、表格或者图像来表示. 根据概率的性质，离散型随机变量的概率分布列具有下列性质. （1），，，，； （2）。 利用这个性质和概率的性质，可以计算离散型随机变量表示的事件发生的概率。 计算离散型随机变量的概率分布列的主要步骤为： 第1步，列出离散型随机变量的所有取值； 第2步，计算出各个离散型随机变量取值对应的事件发生的概率； 第3步，列表写出分布列。 计算离散型随机变量的概率分布列，一定要验证离散型随机变量的概率分布列的两个性质。 总结离散型随机变量分布列及其数字特征。 案例分析 【例题】一袋中装有编号为，，，，的个同样大小的球，现从该袋内随机取出个球，设被取出的球的最大号码为，求随机变量的分布列. 【解析】依题意可知，从袋内随机取出3个球的结果有种，可取3，4，5. 当时，从袋内随机地取出3个球的结果有 种，出现的概率为. 当时，从袋内随机地取出3个球的结果有 种，出现的概率为. 当时，从袋内随机地取出3个球的结果有 种，出现的概率为. 所以，随机变量的分布列如表所示. 检验：（1） ，，；（2） 。 【例题】某工厂生产一批产品，其中一等品占，每件产品可获利6元；二等品占，每件产品可获利3元；次品占，每件产品亏损3元. 从这批产品中任取一件产品，设为该产品的获利金额（单位：元）. 求： （1）随机变量的概率分布列； （2）随机变量的期望； （3）随机变量的方差； （4）随机变量的标准差. 【解析】(1)随机变量的所有取值为，，，取这些值对应的概率依次为，，，所以，随机变量的概率分布列如表所示. （2）. 所以，随机变量的期望为4，即该产品的获利金额的期望为4元. （3）随机变量的方差为 . （4）随机变量的标准差为. 通过案例来帮助学生更好地理解离散型随机变量分布列及其数字特征。 学以致用 【练习】某职业学校学生在技能训练中，需完成两次独立的零件加工任务，每次任务的结果只有“合格”和“不合格”两种，已知该学生第一次加工零件合格的概率为0.6，第二次加工零件合格的概率为0.7，且两次加工任务是否合格相互独立.记随机变量为该学生两次加工任务中合格的次数.求： (1)随机变量的分布列； (2)该学生两次加工任务中恰好有一次合格的概率. 【解析】（1）由题意知，随机变量的可能取值为0，1，2， 因为第一次加工零件合格的概率为0.6，第二次加工零件合格的概率为0.7， 所以第一次不合格的概率为，第二次不合格的概率为. 则当时，， 当时， ， 当时， ， 所以的分布列为 0 1 2 0.12 0.46 0.42 （2）由（1）得对应事件“恰好有一次合格”，则概率为 【练习】一袋中装有5个球，编号为，现从中同时取出3个球，以表示取出的3个球中最小号码，写出随机变量的分布列. 【解析】已知表示取出的3个球中最小号码， 所以的取值可能为， 则， ， ， 所以分布列为 1 2 3 同学们，我们已经完成了离散型随机变量分布列及其数字特征相关知识点的学习，那现在请同学们结合课堂中的案例以及练习思考：离散型随机变量的概率分布有什么意义？稍后请同学进行分享交流. 答案举例： 通过概率分布，我们可以预判大概率会发生的情况，从而提前做好准备、优化选择。比如生活中公交公司根据 “早高峰某站点候车人数” 的概率分布，决定是否增加班次，避免过度拥挤或资源浪费。 通过及时练习以及知识回顾，进一步加强学生对离散型随机变量分布列及其数字特征的记忆和运用。 课堂练习 【练习1】若随机变量的分布列如表所示： 4 6 8 则数学期望（ ） A． B． C．7 D． 【解析】如表格可知，， 即，解得或（舍去）， 所以. 故选：A. 【练习2】已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则m的值为（ ） 1 2 3 A． B． C． D． 【解析】根据分布列性质，所有概率之和为1， 即， 故选：C 【练习3】抛掷一枚质地均匀的骰子，规定“掷出1或2点”得1分，“掷出3或4点”得2分，“掷出5或6点”得3分，用表示得分，则的值为（ ） A．1.5 B．2.0 C．2.5 D．3.0 【解析】“掷出1或2点”得1分，则， “掷出3或4点”得2分，则， “掷出5或6点”得3分，则， 则. 故选：B. 【练习4】若离散型随机变量X的分布列为： 0 1 则的数学期望（ ） A．2 B．2或 C． D．1 【解析】由分布列可知，，解得（舍）或， 所以分布列为 0 1 则， 故选：. 【练习5】若离散型随机变量X的分布列为，，则a的值为（ ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【解析】因为离散型随机变量X的分布列为，， 所以，解得. 故选：B. 【练习6】随机变量的分布列为，，其中为常数，则 等于（ ） A． B． C． D． 【解析】根据离散型随机变量的性质有： ，解得：， 则． 故选：A. 通过练习及时掌握学生情况查漏补缺 知识梳理 离散型随机变量X的概率分布列： 离散型随机变量的数学期望记作，即 离散型随机变量X的方差记作，即 离散型随机变量的方差的算术平方根叫作随机变量的标准差 离散型随机变量的概率分布列的性质. （1），，，，； （2）。 计算离散型随机变量的概率分布列的主要步骤： 第1步，列出离散型随机变量的所有取值； 第2步，计算出各个离散型随机变量取值对应的事件发生的概率； 第3步，列表写出分布列。 培养学生总结学习过程能力. 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 离散型随机变量分布列及其数字特征 离散型随机变量X的概率分布列： 离散型随机变量的数学期望记作，即 离散型随机变量X的方差记作，即 离散型随机变量的方差的算术平方根叫作随机变量的标准差 离散型随机变量的概率分布列的性质. （1），，，，； （2）。 计算离散型随机变量的概率分布列的主要步骤： 第1步，列出离散型随机变量的所有取值； 第2步，计算出各个离散型随机变量取值对应的事件发生的概率； 第3步，列表写出分布列。 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注. 11、 教学反思 在本节教学中，通过随机现象实例引入分布列的构建，多数学生能初步理解分布列的形式与性质，掌握期望与方差的基本计算方法。但在课堂检测中也发现：个别学生在计算期望与方差时易因公式代入错误导致结果偏差，因此在课后练习中，需增加相关的专项练习，提升其对新知识的运用能力。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $