8.5.2 二项式系数的性质（课件）--北师大版《数学 拓展模块一下册》《上好课》

8.5.2 二项式系数的性质 第八章 排列组合 北师大版 拓展模块一 下册 学习目标 1.理解并掌握二项式系数的核心性质； 2.能熟练运用性质求解二项式系数的和、差问题，确定展开式中系数最大的项； 3.借助二项式系数性质的探究，深化对组合恒等式的理解，提升逻辑推理、数学运算、数学抽象的核心素养。 目 录 教学引入 01 新知讲授 02 学以致用 03 课堂练习 04 课堂小结 05 教学引入 8.5.2 二项式系数的性质 教学引入 教学引入 教学引入 新知讲授 8.5.2 二项式系数的性质 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知讲授 案例分析 案例分析 案例分析 新知速记 1.二项式系数的性质有哪些？ 新知速记 1.二项式系数的性质有哪些？ 学以致用 8.5.2 二项式系数的性质 学以致用 学以致用 知识回顾 同学们，我们完成了二项式系数的性质相关知识点的学习，接下来咱们一起快速回顾一下刚学的内容，大家可以踊跃举手回答： 1.二项式系数的性质有哪些？ 2.如何证明二项式系数的性质3？ 师生交流 拓展思考互动 课堂练习 8.5.2 二项式系数的性质 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂小结 8.5.2 二项式系数的性质 课堂小结 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 同学们，上一节内容我们学习了二项式定理的内容以及二项式展开式的通项公式，接下来让我们进行一个简单的回顾： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1.二项式定理： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2.二项展开式的通项公式： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 二项式系数 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 二项式展开式的通项 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 我们把展开式中各项的二项式系数按如下方式排列. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1 1 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1 2 1 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1 3 3 1 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1 4 6 4 1 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1 5 10 10 5 1 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 .................. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 右边的二项式系数称为 “杨辉三角” 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 分析：杨辉三角直观地呈现了二项展开式中二项式系数的性质. 从横向看，每一行的二项式系数的排列规律由1逐渐增大再逐渐减小为1，居中的二项式系数最大，而且数值呈中心对称排列； 从纵向看，除了最外侧的数值为1外，其余任意一个数值均为其上一行离其最近的两数之和. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 一般地，的展开式中的二项式系数具有如下性质. 性质1 对称性： 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 性质2 增减性与最大值： 二项式系数先由1逐渐增至最大，再逐渐减小为1，居中的二项式系数最大. 因此，当为偶数时，中间一项的二项式系数最大，为； 当为奇数时，中间两项的二项式系数最大，为与. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 性质3 所有的二项式系数之和为，即. 证明： 在中，取，，即可得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 性质3 所有奇数项的二项式系数之和等于所有偶数项的二项式系数之和，即 . 证明：在中，取，， 可得，移项即可得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】求的展开式中二项式系数最大的项. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 二项式系数最大的项为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】若，求. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 取，. 取，. 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】已知的展开式中所有二项式系数之和为128，求含的项. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由题意可得，所以. 由，得， 所以，含的项为。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 性质1 对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即. 性质2 增减性与最大值：二项式系数先由1逐渐增至最大，再逐渐减小为1，居中的二项式系数最大. 因此，当为偶数时，中间一项的二项式系数最大，为；当为奇数时，中间两项的二项式系数最大，为与. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 性质3 所有的二项式系数之和为， 即. 性质4 所有奇数项的二项式系数之和等于所有偶数项的二项式系数之和， 即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】展开式的系数之和为32，求展开式的第2项和常数项． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 依题意得：令，则，所以.， ， 展开式的第2项为； 令，， 常数项为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】已知二项式的展开式中只有第七项的二项式系数最大，求展开式的常数项. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 二项式的展开式共有项.因为只有第七项的二项式系数最大. 所以展开式有项.所以. . 令,解得.. 所以常数项为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 同学们，刚刚我们完成了二项式定理相关知识点的学习。现在请同学们结合所学的性质解决下列问题：已知，求偶数项系数的和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 答案：令得，①； 令得，② 则得，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习1】展开式中所有二项式系数之和为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 展开式中所有二项式系数之和为. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习2】已知的展开式中有且只有第6项的二项式系数最大，则n为（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为的展开式中有且只有第6项的二项式系数最大， 所以，解得. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习3】若在的展开式中，第4项是常数项，则二项式系数最大的项是第（ ）项. A．10 B．9 C．8 D．7 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 二项式的通项为， 因为第4项是常数项，所以当时，的指数为，即，解得， 所以二项式系数最大的项是第10项， 故选：A． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习4】的展开式的各项系数之和为（ ） A．32 B．243 C．81 D．64 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由题意，令，则， 即的展开式的各项系数之和为81. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习5】已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为的展开式的通项为， 又第4项与第8项的二项式系数相等， 所以，所以，即二项式系数和为， 因为二项式中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等， 所以二项式中奇数项的二项式系数和为. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习6】若的展开式中各项的系数和为32，则该展开式中含项的系数为（ ） A．1 B．5 C．10 D．20 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 的展开式中各项的系数和为32， 令，则，解得， 所以的通项公式为， 令，解得， 故该展开式中含项的系数为. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 二项式系数的性质 性质1 对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即. 性质2 增减性与最大值：二项式系数先由1逐渐增至最大，再逐渐减小为1，居中的二项式系数最大. 性质3 所有的二项式系数之和为，即. 性质4 所有奇数项的二项式系数之和等于所有偶数项的二项式系数之和，即 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $