11.1三角形内角和定理第1课时（教学课件）数学新教材鲁教版五四制七年级下册

第十一章 三角形的证明及其应用 11.1 三角形内角和定理 第1课时 章节导读 我们曾经探索过三角形与特殊三角形的一些性质，如三角形三个内角的和等于 180°、等腰三角形“三线合一”的性质等。你还记得这些结论的探索过程吗?你能根据已有的基本事实和定理证明这些结论吗? 本章将在“平行线的证明”的基础上，进一步证明:三角形内角和定理及其推论，等腰三角形、直角三角形的性质定理和判定定理，线段的垂直平分线和角平分线的有关性质定理。还将研究直角三角形全等的特殊判定方法。在这一过程中，你将深化对几何证明的认识，体会数学证明的力量，逐步养成重论据、合乎逻辑的思考和表达习惯，发展几何直观、推理能力等。 学 习 目 标 1.掌握三角形内角和等于180°的探索及证明过程; 2.掌握三角形的内角和等于180°，并会据此解决简单的问题;(难点) 情境引入 在“证明”一章中，我们给出了8条基本事实，并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论。运用这些基本事实和已经学习过的定义、定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。 1.两点确定一条直线； 2.两点之间线段最短； 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 4.同位角相等，两直线平行； 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(SAS)； 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(ASA)； 8.三边分别相等的两个三角形全等(SSS). 你还记得哪8条基本事实吗？ 情境引入 思考：我们已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的形状、大小无关.除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢? 还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？ 折叠 你能根据已有的基本事实和定理证明三角形内角和吗? (1)如图，如果只把∠A移动到∠1的位置，那么你能说明这个结论的正确性吗？ 新知探究 探究：三角形的内角和定理的证明 我们知道,三角形三个内角的和等于180°.你还记得这个结论的探索过程吗？ 如图，由操作可知∠A=∠1，可以利用“内错角相等，两直线平行”证明一组平行线，进而利用平行线的性质及平角的定义说明结论是正确的. 新知探究 E D (2)如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果? 如果不移动∠A，那么可以思考构造平行线将等角进行转移. 如图，可以构造CE∥AB，这样同样可以达到将∠A转移到∠1的位置的效果. 新知探究 (3)你能说说这个结论的证明思路吗？请试着写出证明过程，并与同伴进行交流。 已知：如图，△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 分析：你学过哪些与180°有关的结论？曾经的撕角拼图活动对你有什么启发？ 新知探究 证明：如图，延长BC至D，过点C作射线CE，使CE∥BA， 则∠1=∠A，∠2=∠B. ∵ 点B，C，D在同一条直线上， ∴ ∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴ ∠A+∠B+∠ACB=180°. 这里的CD,CE称为辅助线,辅助线通常画成虚线. 新知探究 三角形内角和定理： 知识归纳 符号表述：在△ABC中，∠A ，∠B ，∠C为△ABC的三个内角，则∠A +∠B +∠C = 180°. A B C 三角形三个内角的和等于180°. 新知探究 (1) 如图，在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个内角“凑”到点A处，过点A作直线PQ，使PQ∥BC，他的想法可行吗?如果可行，你能写出证明过程吗? 可行. ∵ PQ∥BC(已知)， ∴ ∠PAB=∠ABC，∠QAC=∠ACB(两直线平行，内错角相等). 又∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°(平角的定义)， ∴ ∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°(等量代换). 新知探究 (2) 对于三角形内角和定理，你还有其他证明方法吗? (2)证明：在BC上任取一点D，过点D分别作MD∥ AC交AB于点M，ND∥ AB交AC于点N， ∵ MD∥ AC ， ND∥ AB， ∴ ∠1=∠C，∠3=∠B ， ∠2=∠BMD=∠A . 又∠1+∠2+∠3=180°， ∴ ∠C+∠A+∠B=180°. 新知探究 借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角. 思考：上述多种方法证明三角形内角和定理的核心是什么？ 新知探究 作辅助线： 知识归纳 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 思路总结: 为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. 新知探究 1.在△ABC中，∠A-∠B=35°，∠C=55°，则∠B=（　　） A.50° B.55° C.45° D.40° C 解析：由三角形内角和定理，得∠A+∠B=180°-∠C=180°-55°=125°，又∵∠A-∠B=35°，∴∠B=45°. 如图所示，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. 例1 典例分析 解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形内角和定理) ∵ ∠B=38°，∠C=62°（已知）， ∴ ∠BAC=180°-38°-62°=80°（等式的性质）. ∵ AD平分∠BAC（已知）, ∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC=×80°=40°(角平分线的定义) 在△ADB中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°. ∵∠B=38°（已知），∠BAD=40°（已证）， ∴∠ADB=180°-38°-40°=102°（等式的性质）. 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D. 例2 典例分析 解：∵DE⊥AB， ∴∠FEA＝90°． ∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°， ∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°. 又∵∠CFD＝∠AFE， ∴∠CFD＝60°. ∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°， ∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°. 巩固练习 1.已知△ABC中，∠A=20°，∠B=∠C，那么三角形△ABC是（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.正三角形 2.一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（　　） A.75° B.65° C.165° D.155° A C 3.如图，△ABC中，AE是∠BAC的平分线，AD是BC边上的高线，且∠B=50°，∠C=60°，则∠EAD的度数为（　　） A.35° B.5° C.15° D.25° B 巩固练习 6.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=_______ . B A C D 4 1 3 2 E 40° （ 280 ° 4.在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是______三角形 . 5.在△ABC中， ∠A= ∠B+10°, ∠C= ∠A + 10°, 则∠A= ， ∠ B= ，∠ C= . 直角 60° 50° 70° 巩固练习 7.如图，四边形ABCD中，点E在BC上,∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数． 解：∵∠A+∠ADE=180°， ∴AB∥DE， ∴∠CED=∠B=78°． 又∵∠C=60°， ∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C） =180°-（78°+60°） =42°． 课堂小结 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°. 感谢聆听! $