【解答题专项】12数列综合-2026年湖北省技能高考文化素质考试《数学》专项冲刺练习（原卷版+解析版）

2026年湖北省技能高考文化素质考试 数学 专项冲刺练习 解答题专项 （十二）数列综合 一、解答题 1．已知等差数列满足. (1)求数列的首项和公差的值； (2)求数列的前10项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将，代入等差数列的通项公式中求出，，再用求出即可. （2）将（1）中所得的，代入等差数列的前项和中求值即可. 【详解】（1）已知为等差数列，且， 则，， 所以. 所以数列的首项和公差. （2）由（1）可知，， 根据， 可得. 数列的前10项和. 2．已知为等差数列，且， (1)求的通项公式． (2)若等比数列满足，，求的通项公式． (3)在（2）的条件下，求数列前项和 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式即可解得. （2）根据第（1）问等差数列通项公式结合等比数列通项公式即可解得. （3）根据分组求和结合等比数列和等差数列的求和公式即可解得. 【详解】（1）设的公差为，则， ，又知，则， 所以. （2）设的公比为，由（1）得， 则，即，又知， 所以，. （3） . 3．在等比数列中，已知求： (1)和q (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用等比数列的性质得到的方程组，求得，从而利用等比数列的通项公式即可得解； （2）利用等比数列的求和公式即可得解. 【详解】（1）因为是等比数列，，所以，， 则，解得或（舍去）， 所以，. （2）由（1）得，， 所以. 4．已知数列满足.等差数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）有题意可知是等比数列，根据等比数列的通项公式求解即可. （2）根据等差数列的前n项和公式求解即可. 【详解】（1）由题设，得数列成等比数列且公比为， 又因为，故数列的通项公式为. （2）由（1），得，， 数列的公差为且，所以， 故数列的前n项和. 5．在等差数列中，已知且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求解等差数列的首项和公差，再由等差数列的通项公式求解即可； （2）先表示出数列，再根据裂项相消求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， ∵且， 则，解得， ； （2）， ． 6．已知在等差数列中． (1)求的通项公式； (2)设的前n项和为，求的最大值； 【答案】(1) (2)36 【分析】（1）利用、求出等差数列的首项和公差，进而求解； （2）首先利用前n项和公式表示出该数列的前n项和，接下来利用二次函数的性质进行解答即可. 【详解】（1）因为在等差数列中， 即，解得， 所以的通项公式为. （2）由可知， 所以， 所以当时，的最大为36. 7．在递增等差数列中，，且4是与的等比中项． (1)求通项公式； (2)求此数列前8项的和． 【答案】(1) (2)72 【分析】（1）根据等比数列的性质结合等差数列的通项公式即可求解. （2）根据等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】（1）因为4是与的等比中项， 所以，又. 解得或. 因为数列是递增数列，所以. 则解得. 所以通项公式为：. （2）由（1）得，， 则. 8．已知数列是等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求． 【答案】(1) (2)50. 【分析】（1）利用等差数列的定义及通项公式即可求解. （2）根据求出数列的通项公式，再根据数列的特点即可求出前n项和. 【详解】（1）因为在等差数列中， 所以公差， 所以数列的通项公式为. （2）因为， 所以. 9．设正项等比数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)记的前n项积为，求使得取得最大值的n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式以及求和公式，建立方程组，求得首项与公比，可得答案； （2）由（1）可知数列的单调性，根据数列中项与1大小关系，可得答案. 【详解】（1）设数列的公比为q，由题意可得，解得， 则． （2）由（1）可知数列是递减数列，因为， 所以使得取得最大值的． 10．一个剧场，设置了20排座位，第一排有38个座位，往后每一排都比前一排多2个座位，求： (1)第15排共有多少个座位？ (2)这个剧场共设置了多少个座位？ 【答案】(1)66 (2)1140 【分析】(1)将各排座位数依次排列，构成等差数列，依等差数列通项公式可求解； (2)利用等差数列的求和公式，设置的座位数总数为，据此可求解. 【详解】（1）由题意知，各排座位数依次排列，构成等差数列， 其中公差，首项， 故，所以第15排共有66个座位. （2）由等差数列的求和公式可知， 故这个剧场共设置了1140个座位.. 11．在等差数列中，若， (1)求该数列的通项公式． (2)当n为何值时，取得最大值？求出最大值． 【答案】(1) (2)当或时，取得最大值为 【分析】（1）通过计算出公差，再由和算出，即可求出通项公式. （2）通过公差得出等差数列为递减数列，再由通项公式大于等于零算出非负项，非负项之和即最大值. 【详解】（1）设等差数列公差为， 则由可得：， 则， 则. 的通项公式为：. （2）由（1）可知，，则为单调递减数列， 且由可得：，即等差数列前项均大于等于零，且第18项为零， 则当或时，取得最大值， 最大值为：. 12．某工程队为支援抗旱，需连续作业打一口米深的井，工程队预计每打深1米与所需时间的对应关系如下表所示： 第1米 第2米 第3米 第4米 …… 分钟 分钟 分钟 分钟 …… 如果每打深1米所需时间按表中规律依次增加，问： (1)打最后1米需多少分钟？ (2)打完这口井共需多少分钟？ 【答案】(1)分钟． (2)分钟． 【分析】（1）根据等差数列的通项公式求值即可. （2）根据等差数列的前项和求值即可. 【详解】（1）设工程队打第n米所需时间为（分钟）， 由条件可得数列为等差数列，且， 故， （分钟），即打最后1米需136分钟． （2）由题意可知，打完这口并共需时间为数列的前30项和， ，即打完这口井共需要分钟. 13．已知数列的前项和为，满足. (1)求； (2)将中满足的第项取出，并按原顺序组成一个新的数列，求的前20项和. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出通项公式； （2）计算出，，故取出的项为原数列的偶数项，是以4为首项，4为公比的等比数列，利用求和公式求出答案. 【详解】（1）因为数列满足①， 当时，，解得； 当时，，② ①-②得，即 因，所以，从而， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 所以.故数列的通项公式为. （2）根据题意可知， 故，. 所以取出的项就是原数列的偶数项， 所以是以4为首项，4为公比的等比数列， 所以. 14．在等差数列中，已知，其前5项的和. (1)求数列的通项公式； (2)若数列为等比数列，且，，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过等差中项性质求出与的值，进而求出公差的值，即可求出数列的通项公式. （2）根据题目条件求出与的值，进而求出公比，即可求出数列的前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为在等差数列中，为与的等差中项， 所以由，得，即. 又由，得， 因为为与的等差中项， 所以， 即，则，解得， ， 故数列的通项公式为 . （2）由， 设等比数列的公比为， 则，即，解得 故数列的前项和. 15．已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式. (2)若，数列的前项和为. （i）求. （ii）若恒成立，求的最小值. 【答案】(1) (2)（i） ；（ii） 【分析】（1）根据前n项和与的关系求解即可. （2）（i）根据（1）得到的数列的通项公式，结合错位相减法和等比数列的求和公式，求解即可. （ii）根据（i）的结果进行分析求解即可. 【详解】（1）因为数列的前项和， 当时，，解得， 当时，， 化简得， 则，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为， 则. （2）（i）由（1）可知，所以， 则数列的前项和为 ① ①式两边同时乘以为： ② 将①②得：， 所以. （ii）因为，所以， 又恒成立，所以，的最小值为. 16．某房地产公司在2010年对某户型推出两种售房方案：第一种是一次性付款方案，购房的优惠价为28.5万元；第二种是分期付款方案，要求购房时缴纳首付款10万元，然后从第二年起连续十年，在每年的购房日向银行付款2.25万元.假设在此期间银行存款的年利率为3%，若不考虑其他因素，试问：对于购房者来说，采用哪种方案省钱？请计算说明. 【答案】选择方案一分期付款更省钱，理由见解析 【分析】由题分别计算出两种方案的10年的本息和即可解得. 【详解】选择方案二分期付款更省钱，理由如下： 由题，方案一：十年后本息和为万 方案二：还款结束时实际付款本息之和为： 万 ，故选方案一更省钱. 17．已知数列的前n项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用与的关系，分析求解即可； （2）根据（1）的结果得到，再利用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）因为，所以，则， 由知 所以， 即，从而， 所以数列是以1为首项，4为公比的等比数列， 故. （2）由（1）可知，所以，， 所以，， 故而， 所以. 18．某地政府支持当地老公房加装电梯，补贴其建设总费用的50%，另外50%由住户分摊．住户按如下步骤分摊费用： （一）先按楼层分摊，底层住户不出钱，从第二层起，每层都比下面一层增加费用k； （二）每层分摊到的费用再按户平均分摊． 现计划为某小区1号六层老公房加装电梯，建设总费用为48万元．（本题涉及的费用均以万元为单位） (1)设第n层住户分摊到的费用为，求k； (2)该号每层有8户，设第n层的每一户分摊到的费用为，求以及数列的通项公式． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由等差数列的前n项和公式计算即可. （2）由等差数列的通项公式计算即可得解. 【详解】（1）由已知得，数列是首项、公差的等差数列， 其前6项的和为， 由得，， 所以（万元）． （2）由已知得，数列是首项、公差的等差数列， 故（万元）， （万元） 19．已知等比数列的前项和为，对任意的，点均在函数（且，，均为常数）的图像上． (1)求的值； (2)当时，记，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接代入函数，再根据与的关系易得答案； （2）先求，再根据错位相减法易得答案. 【详解】（1）由题意得，当时，； 当时，． 又因为为等比数列，上式满足的情况， 所以， 所以． （2）当时，，， 则①， ①两边同乘以得②， ①－②得， 故． 20．已知数列满足，，求 (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由等差数列的定义判断数列为等差数列，并求出公差和首项，再求出的通项公式； （2）结合（1）数列的通项公式，表示出数列的通项公式，由等比数列的定义判断数列为等比数列，并求出公比和首项，再求出数列的前项和. 【详解】（1），即， ∴数列为等差数列，设首项为，公差为， 由得，， ， ∴的通项公式为. （2），， 数列为等比数列，首项，公比， ∴. 21．已知数列的通项公式为，前n项和为． (1)判断数列是否为等比数列，并说明理由； (2)若，求n的值． 【答案】(1)数列是等比数列，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据等比数列的定义即可判断。 （2）根据等比数列的前n项和公式即可求解. 【详解】（1）因为数列的通项公式为， 所以， 所以为常数， 所以数列是首项，公比的等比数列． （2）由（1）知数列是首项，公比的等比数列， 所以， 因为，即 即， 所以， 即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年湖北省技能高考文化素质考试 数学 专项冲刺练习 解答题专项 （十二）数列综合 一、解答题 1．已知等差数列满足. (1)求数列的首项和公差的值； (2)求数列的前10项和. 2．已知为等差数列，且， (1)求的通项公式． (2)若等比数列满足，，求的通项公式． (3)在（2）的条件下，求数列前项和 3．在等比数列中，已知求： (1)和q (2) 4．已知数列满足.等差数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 5．在等差数列中，已知且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 6．已知在等差数列中． (1)求的通项公式； (2)设的前n项和为，求的最大值； 7．在递增等差数列中，，且4是与的等比中项． (1)求通项公式； (2)求此数列前8项的和． 8．已知数列是等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求． 9．设正项等比数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)记的前n项积为，求使得取得最大值的n的值． 10．一个剧场，设置了20排座位，第一排有38个座位，往后每一排都比前一排多2个座位，求： (1)第15排共有多少个座位？ (2)这个剧场共设置了多少个座位？ 11．在等差数列中，若， (1)求该数列的通项公式． (2)当n为何值时，取得最大值？求出最大值． 12．某工程队为支援抗旱，需连续作业打一口米深的井，工程队预计每打深1米与所需时间的对应关系如下表所示： 第1米 第2米 第3米 第4米 …… 分钟 分钟 分钟 分钟 …… 如果每打深1米所需时间按表中规律依次增加，问： (1)打最后1米需多少分钟？ (2)打完这口井共需多少分钟？ 13．已知数列的前项和为，满足. (1)求； (2)将中满足的第项取出，并按原顺序组成一个新的数列，求的前20项和. 14．在等差数列中，已知，其前5项的和. (1)求数列的通项公式；. 15．已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式. (2)若，数列的前项和为. （i）求. （ii）若恒成立，求的最小值. 16．某房地产公司在2010年对某户型推出两种售房方案：第一种是一次性付款方案，购房的优惠价为28.5万元；第二种是分期付款方案，要求购房时缴纳首付款10万元，然后从第二年起连续十年，在每年的购房日向银行付款2.25万元.假设在此期间银行存款的年利率为3%，若不考虑其他因素，试问：对于购房者来说，采用哪种方案省钱？请计算说明. 17．已知数列的前n项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 18．某地政府支持当地老公房加装电梯，补贴其建设总费用的50%，另外50%由住户分摊．住户按如下步骤分摊费用： （一）先按楼层分摊，底层住户不出钱，从第二层起，每层都比下面一层增加费用k； （二）每层分摊到的费用再按户平均分摊． 现计划为某小区1号六层老公房加装电梯，建设总费用为48万元．（本题涉及的费用均以万元为单位） (1)设第n层住户分摊到的费用为，求k； (2)该号每层有8户，设第n层的每一户分摊到的费用为，求以及数列的通项公式． 19．已知等比数列的前项和为，对任意的，点均在函数（且，，均为常数）的图像上． (1)求的值； (2)当时，记，求数列的前项和． 20．已知数列满足，，求 (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 21．已知数列的通项公式为，前n项和为． (1)判断数列是否为等比数列，并说明理由； (2)若，求n的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $