湖南省常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高三上学期第六次周考数学试卷

湖南省常德市汉寿县第一中学2025—2026学年 高三上学期第六次周考数学试卷 一、单选题 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．为虚数单位，复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 4．新能源汽车的核心部件是动力电池，电池成本占了新能源整车成本很大的比例，而其中的原材料碳酸锂又是电池的主要成分.从2020年底开始，碳酸锂的价格一路水涨船高，下表是2021年我国江西某企业的前5个月碳酸锂价格与月份的统计数据： 月份代码 1 2 3 4 5 碳酸锂价格（万元/kg） 0.5 0.6 1 1.4 1.5 由上表可知其线性回归方程为，则（    ） A．0.16 B．0.18 C．0.30 D．0.32 5．已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，且母线与下底面所成的角的正切值为2，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．已知数列的前n项和为，且．设，则＝（   ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知为定义在上的奇函数，当时，.若在上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有（ ） A．A与B相互独立 B． C． D． 10．如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点，在底面内（包括边界），则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．当时，点的轨迹长度为 C．存在唯一，使 D．若，则三棱锥外接球的半径为 11．已知是各项均不为的等差数列的前项和，则下列命题正确的是（    ） A．若数列是等差数列，则 B．若数列是等差数列，则 C．若数列是等差数列，则 D．若数列是等差数列，则 三、填空题 12．在Rt△ABC中，，，D为中点，则等于_______. 13．设椭圆E：的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为______. 14．已知，，，，则________. 四、解答题 15．在①；②，两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题． 在中，内角所对的边分别是，三角形面积为S，若为边上一点，满足，且_________． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． (1)求角； (2)求的取值范围． 16．在空间直角坐标系中，已知向量（其中a、b、c不同时为0），点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，将其整理为一般式方程为，其中. (1)已知直线的方程为，直线的方程为，求直线与所成角的余弦值； (2)若直线与直线都在平面内，求平面的一般方程； (3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求实数m的值. 17．已知函数，． (1)若，求在上的最大值和最小值； (2)若无极值点，证明：． 18．为了了解某市空气质量，某小组从往年每天的某项空气污染指标的数据中随机抽取40天的数据，制成了频率分布直方图如图所示．现将该项空气污染指标的值划分为如下等级． 污染指标 等级 一级 二级 三级 四级 程度 轻度污染 中度污染 重度污染 (1)从样本中按照分层随机抽样的方法从空气污染指标等级为一级、三级、四级的数据中抽取10天的数据，再从这10个数据中随机抽取3个，求空气污染指标等级在有1天为四级的条件下，另外两天中至少有1天为一级的概率． (2)该市气象预报预计在未来三天内空气会持续重度污染，提醒广大市民非必要不外出．根据以往经验，若前一天的空气污染指标等级是四级，则第二天空气污染指标等级是四级的概率为，是三级的概率为；若前一天的空气污染指标等级是三级，则第二天是四级的概率为，是三级的概率为．现已知某天的空气污染指标等级为三级，设未来三天中空气污染指标等级是四级的天数为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 19．已知点在抛物线上． (1)求抛物线的方程； (2)直线与抛物线交于两点，求弦长； (3)过点的直线交抛物线于两点，设直线的斜率分别为为坐标原点，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C A D C D D ABD BCD 题号 11 答案 BC 1．C 【分析】根据集合的交并运算得出元素需要满足的特征性质进而求得元素，或利用集合中元素的几何意义数形结合得出答案. 【详解】所求中的元素需满足或解得 或，所以共有两个元素满足. 故选：C. 2．B 【分析】先利用复数的除法运算化简复数，再根据虚部的定义即可求解. 【详解】， 所以的虚部为， 故选：B. 3．C 【分析】利用向量的夹角公式和垂直的充要条件即可求解. 【详解】因为，所以，即， 因此. 故选：C. 4．A 【分析】先求得样本点的中心坐标，代入线性回归方程，解之即得的值 【详解】由表中数据可得，， 则其样本点的中心为，代入线性回归方程得，解之得， 故选：A. 5．D 【分析】先根据圆台的轴截面得出圆台的高及母线，最后应用圆台的表面积公式计算求解. 【详解】依题意，圆台的上、下底面半径分别为2和4，则， 因为底角的正切值为2， 设圆台的高为，即该等腰梯形的高， 则母线， 所以圆台的表面积. 故选：D. 6．C 【分析】先根据与的关系求数列的通项公式，再利用裂项相消求和. 【详解】当n＝1时，，∴＝2． 当时，，①，，② ∴①－②得，即. ∴数列是首项为2，公比为3的等比数列， ∴． ∴. 所以 ． 故选：C 7．D 【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程. 【详解】抛物线的准线方程为，则，则、， 不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点， 因为且，则为等腰直角三角形， 且，即，可得， 所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为. 故选：D. 8．D 【分析】根据函数的奇偶性、单调性列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】因为为定义在R上的奇函数，所以， 若在上单调递减，故只需，即， 故选：D． 9．ABD 【分析】由已知及概率的性质可得，根据独立事件的判定、全概率公式、条件概率公式依次判断各项的正误即可. 【详解】由题设，，，， 由，且， 所以，则，解得， 对于A选项，因为，所以A与B相互独立，A对； 对于B选项，由，则，B对； 对于C选项，由，C错； 对于D选项，由，则，D对. 故选：ABD. 10．BCD 【分析】作关于平面的对称点，则，根据长度及勾股定理，即可判断A的正误；过点作于，则为在平面上的射影，根据条件可证，即可得为的中点，分析求解，即可判断B的正误；如图建系，求得各点坐标，进而可得，坐标，根据，求得P点坐标，可判断C的正误；因为，，所以三棱锥外接球的直径为，求出长度，即可判断D的正误. 【详解】选项A：作关于平面的对称点， 则， 所以的最小值为，故A项错误； 选项B：过点作于，则为在平面上的射影， 若要，只要即可， 因为四边形为正方形，是棱的中点，且， 所以， 所以，又， 所以， 所以，即为的中点，又， 所以点的轨迹的中位线，长度为，故B项正确； 选项C：以为原点，以，，所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，设， 则， 所以， 所以，即为的中点，故C项正确； 选项D：因为，，所以三棱锥外接球的直径为， 又，所以外接球的半径为，故D项正确． 故选：BCD 11．BC 【分析】根据等差数列通项和求和公式可得，根据等差数列定义可确定AB中的之间的关系，从而得到之间关系，知AB正误；根据等差数列通项公式的一次函数性可设，，根据等式恒成立可构造方程组，通过求解方程组的解可确定之间的关系，从而得到之间关系，知CD正误. 【详解】设等差数列的公差为，则，； 对于A，，， 即等差数列的公差为，，即， ，又不恒成立，不恒成立，A错误； 对于B，，， 数列为等差数列，，即，，B正确； 对于C，为等差数列，可设， ，，解得：， 即，，C正确； 对于D，为等差数列，可设， ，； 当时，，； 当时，，若，则，，不合题意； 若，则，，，，满足题意，； 综上所述：不成立，D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列通项公式和求和公式的综合应用问题，判断CD正误的关键是能够熟练应用等差数列通项公式的一次函数性，通过待定系数的方式来构造方程，确定之间的关系. 12．/0.28 【分析】建立平面直角坐标系，求出相关点坐标，求得向量、的坐标，利用向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】由题意可知，D为中点， 如图，以B为坐标原点，以为轴， 建立平面直角坐标系，由于，则， 即，， ∵∠BDC为的夹角， ∴， 故答案为： 13． 【分析】设，则，结合向量关系以及椭圆定义，由表示出、、、，结合直角三角形的关系以及椭圆中a、b、c的关系，以及离心率进行化简，解方程得出相关的三角函数值，进而求得. 【详解】设，由于，则. 即 解得，同理， 同理， 则， 同理， 由于，则， 则，即， 同理， 两式相加可得，即，即， 由于，即，即，即 则，即， 解得（负值已舍去）， 则， 则. 14．/ 【分析】根据题意，分别求得，再由余弦的差角公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为且，则， 又，所以，且， 所以，则， ， 所以 . 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）选择①，结合面积公式、正弦定理及两角和的正弦公式化简可得，进而求解即可；选择②，结合二倍角公式平方关系及正弦定理化简可得，进而结合余弦定理求解； （2）在中由正弦定理可得，在中，可得，进而得到，结合三角恒等变化公式化简可得，进而结合正弦函数的图象及性质求解即可. 【详解】（1）选择①，， ，即， 由正弦定理得，， ， ， ，，即. 选择②，， ， ， ， ， 由正弦定理得，， 即， 所以，，即. （2）由（1）知，， 因为，所以，， 在中，由正弦定理得， 即， 在中，， ， ，, ， ，，， 所以的取值范围为.    16．(1) (2) (3) 【分析】（1）由直线的方程，得到直线的一个方向向量，由直线的方程，得到的一个方向向量，再利用夹角公式求解. （2）先求得平面的一个法向量，再根据直线过点，写出平面的方程. （3）先求得平面的法向量，易知平面的一个法向量为，再求得平面与平面的交线（即直线）的方向向量，由平面可知平面的一个法向量为，然后根据，由求解. 【详解】（1）由直线的方程为， 可知直线的一个方向向量坐标为， 由直线的方程为， 可知的一个方向向量为， 设直线与所成角为， 所以， 即直线与所成角的余弦值为. （2）由题意可知，直线的一个方向向量为， 直线的一个方向向量为， 设平面的法向量为，则， 解得，取，则， 易知直线过点，所以，平面的方程为. 即. （3）因平面经过三点，可得， 设侧面所在平面的法向量为， 则，取， 由平面可知平面的一个法向量为， 设平面与平面的交线（即直线）的方向向量为， 则，取， 由平面可知平面的一个法向量为， 由，则，解得. 17．(1)最大值、最小值分别为； (2)证明见解析. 【分析】（1）应用导数研究在给定区间上的单调性，进而求最值； （2）对函数求导，根据无极值点得到，再构造并应用导数研究其单调性，进而判断区间函数值符号，即可证结论. 【详解】（1）由题设，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 由，，故上最大值、最小值分别为； （2）对函数求导得，又无极值点， 所以不存在变号零点，而，则不存在变号零点， 当时，显然在R上存在变号零点，不符； 当时，只需，即，此时， 令，则，故在R上单调递减， 又，故时，时，则恒成立， 所以，得证. 18．(1)； (2)分布列见解析，﹒ 【分析】(1)根据频率分布直方图求出空气污染指标等级为一级、三级、四级的数据的频率及它们的比值，从而确定按分层抽样抽取的数据空气污染指标等级为一级、三级、四级的天数，从这10个数据中随机抽取3个，设事件A为“空气污染指标等级有一天为四级”，事件B为“另外两天中至少有一天空气污染指标等级为一级”，求出、，根据条件概率公式即可计算； (2)根据题意可知X的可能取值为0，1，2，3，根据独立事件概率计算方法即可求出X的分布列，从而求出其数学期望． 【详解】（1）空气污染指标等级为一级、三级、四级的数据的频率依次为： ， 则按照分层随机抽样的方法从中抽取十天的数据，数据来自一级、三级、四级的比例为： ， 数据来自一级的有天，数据来自三级的有4天，数据来自四级的有2天． 从这10个数据中随机抽取3个，设事件A为“空气污染指标等级有一天为四级”，事件B为“另外两天中至少有一天空气污染指标等级为一级”， 则，， 从而． ∴所求概率为． （2）依题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，则： ， ， ， ． 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 数学期望． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）由点在抛物线上代入即可求解； （2）由焦点弦长公式即可求解； （3）设直线方程为，联立抛物线方程，结合韦达定理及斜率公式即可求解. 【详解】（1）由点在上， 可得：，即， 所以抛物线方程为：； （2）由方程知，直线过抛物线焦点， 联立消去可得：， 即，则， 所以 （3）由已知直线的斜率不为0，又因为过点，故设其方程为，设. 由得，显然， ，， 则， 所以．    答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $