【选择题专项】16计数原理-2026年河北省对口升学考试《数学》专项冲刺练习（原卷版+解析版）

2026年河北省对口升学考试 数学 专项冲刺练习 选择题专项 （十六）计数原理 1.从5位老师中任意选出3位参加志愿者活动，不同的选法共有（ ） A. 5种 B. 10种 C. 15种 D. 20种 2. 从5位候选人中选2位，分别担任班长和团支部书记，不同选法的种数为（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 20 3．从甲地到乙地，有直达汽车3班，从乙地到丙地，有直达汽车6班，从丙地到丁地，有直达汽车3班，那么从甲地到丁地的乘车方案有（   ） A．12种 B．21种 C．27种 D．54种 4．从“1，2，3，4，5”中任选3个数组成无重复数字的三位数，其中奇数有（    ） A．120个 B．64个 C．36个 D．24个 5．某社区有4个快递站，小明将3个包裹通过快递站寄出，共有不同的方法种数为（    ） A． B． C． D．7 6．现有身高不同的5人站成一排照相，要求从中间到两边由高到低排序，则不同的站法共（    ） A．36种 B．24种 C．12种 D．6种 7．某人用这个数字来设定6位数的支付宝密码，则此人最多有（    ）个密码可供选择． A． B． C． D． 8．已知某宿舍的7位学生站成一排合照留念，若中间位置只能站7位学生中的甲或乙．则不同的站队方法种数是（   ） A．464 B．576 C．720 D．1440 9．中国古乐中以“宫、商、角、羽”为五个基本音阶，故有“五音不全”之说，若用这五个基本音阶排成五音阶的所有音序，则“宫”、“羽”两音阶不相邻排法共有（     ） A．72种 B．36种 C．48种 D．24种 10. （2021·河北对口升学） 国家派5支医疗队到4个地区支援抗疫工作，每个地区至少分配1值医疗队，则不同的分配方案有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 11. （2023·河北对口升学） 现有语、数、外、历史四本书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本书，则甲分到数学书的方案有（ ）种. A. 6 B. 9 C. 12 D. 24 12. （2024·河北对口升学）“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如212，34743等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”的个数为（ ） A. 100 B. 125 C. 225 D. 250 13. （2025·河北对口升学）《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》《周髀算经》《五曹算经》是我国古代数学的重要著作，将这5部著作排成一排，则《九章算术》与《孙子算经》之间恰有2部著作的排法种数为（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 36 14. 将5名实习老师安排到高一年级的3个班实习，每班至少1人，至多2人，则不同的安排方法有（ ） A. 90种 B. 120种 C. 150种 D. 18种 15.如图五个多面体从左到右排成一列，有三角形面的几何体需要相邻，排列方法有（ ）种 A. 120 B. 48 C. 36 D. 12 16.身穿红、黄两种颜色衣服的各有2人，现将这4人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，不同的排法共有（ ）. A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 17. 将四大名著《水浒传》《三国演义》《西游记》《红楼梦》四部长篇小说分给甲、乙、丙三人，每人至少一本书，则甲分到《红楼梦》的方案有（ ） A. 6种 B. 9种 C. 12种 D. 24种 18．某年级举办线上小型音乐会，由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目丙必须排在节目乙的下一个，则该小型音乐会节目演出顺序的编排方案共有（     ）种. A．72 B．24 C．25 D．42 19．从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法共有（ ）种 A． B． C． D． 20．某职业高中的六个社团排练“风采展演”节目．安排出场顺序时，要求朗诵社团的节目排第一位，武术社团的节目不排第二位，剪纸社团的节目不排最后一位．则所有不同的排法种数是（   ） A．72 B．78 C．84 D．108 21．某职业学校在“职教宣传周”期间，把2件教师作品和编号为1~5的5件学生作品摆成一排进行展览，若将教师作品摆放在两端，1号学生作品摆放在正中间，则所有不同摆放方法的种数是 (　　) A．24 B．48 C．72 D．96 22．在6个不同元素进行全排列，若其中两个元素必须排两端，且两元素必须相邻，那么排法种数有（    ） A． B． C． D． 23．某商务中心的大屏幕连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告.若要求最后播放的必须是公益宣传广告，且2个公益宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有（   ） A．120种 B．48种 C．36种 D．18种 24．某运动员队准备参加米接力赛，队中共有5名运动员，其中甲运动员不能跑第一棒，教练从这5人中安排4人分别跑第一至第四棒，则所有不同安排方法的种数是 (　　) A．48 B．60 C．96 D．120 25．某学校安排甲、乙等6名同学到三个社区开展服务活动，每个社区均安排2名同学，其中甲乙二人必须安排在同一社区，则不同的安排的方法的个数为 (　　) A．6 B．18 C．36 D．90 26．三名数学教师教4个班的数学课，每名教师至少选教一个班，一个班只能选一名教师教，有种不同的任课方法（    ） A．12 B．24 C．36 D．18 27．小明所在的蓝球队共有10名同学，若从中选出包括小明在内的3名同学逐一上场参加投篮比赛，则不同的安排方法有（    ） A．108种 B．120种 C．216种 D．720种 28．从个工作人员中选人参加某公益活动，若不同选法的种数为，则等于（    ） A． B． C． D． 29．有三张卡片，第一张卡片的正反两面分别写有数字1，3，第二张卡片的正反两面分别写有数字2，4，第三张卡片的正反两面分别写有数字5，7，现从这三张卡片中任取两张并排放在桌面上，两张卡片朝上一面的数字组合成一个两位数，则所有不同两位数的个数是 (　　) A．8 B．12 C．18 D．24 30．从这6个数中任取3个不重复的数字作为二次函数的系数，则可以组成开口向上的二次函数的个数是（    ） A．60 B．100 C．40 D．20 试卷第1页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北省对口升学考试 数学 专项冲刺练习 选择题专项 （十六）计数原理 1.从5位老师中任意选出3位参加志愿者活动，不同的选法共有（ ） A. 5种 B. 10种 C. 15种 D. 20种 【答案】B 【分析】从5位老师中任意选出3位参加志愿者活动，与顺序无关，是组合问题，据此可求解. 【详解】从5位老师中任意选出3位参加志愿者活动，不同的选法有（种）. 故选：B. 2. 从5位候选人中选2位，分别担任班长和团支部书记，不同选法的种数为（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 20 【答案】D 【分析】由题意分析，利用排列数公式计算即可. 【详解】从5位候选人中选2位，分别担任班长和团支部书记，则不同选法的种数为. 故选：D. 3．从甲地到乙地，有直达汽车3班，从乙地到丙地，有直达汽车6班，从丙地到丁地，有直达汽车3班，那么从甲地到丁地的乘车方案有（   ） A．12种 B．21种 C．27种 D．54种 【答案】D 【分析】由分步计数原理的应用即可得解. 【详解】从甲地到丁地的乘车方案分三步：第一步，从甲地乘车到乙地，有3种； 第二步，从乙地乘车到丙地，有6种；第三步，从丙地乘车到丁地，有3种． 根据分步计数原理一共有（种）． 故选：D. 4．从“1，2，3，4，5”中任选3个数组成无重复数字的三位数，其中奇数有（    ） A．120个 B．64个 C．36个 D．24个 【答案】C 【分析】利用分步计数原理，依次排个位，十位，百位，据此可求解. 【详解】分步完成，第一步，先排个位，有3种排法；第二步，排十位，有4种排法； 第三步，排百位，有3种排法，所以符合条件的个数为：（个）. 故选：C. 5．某社区有4个快递站，小明将3个包裹通过快递站寄出，共有不同的方法种数为（    ） A． B． C． D．7 【答案】B 【分析】根据分步计数原理求解即可. 【详解】因为第一个包裹有4种选择，第二个包裹也有4个选择，同理，第三个包裹同样也有4种选择， 根据分布计数原理，可知将3个包裹通过快递站寄出，共有种不同的方法， 故选：B. 6．现有身高不同的5人站成一排照相，要求从中间到两边由高到低排序，则不同的站法共（    ） A．36种 B．24种 C．12种 D．6种 【答案】D 【分析】利用分步乘法计数原理，结合组合的相关知识即可得解. 【详解】因为5人站成一排，要求从中间到两边由高到低排序，所以中间的人是5人中最高的人，是确定的，再从剩下的4人中选出2人排在左边，另2人排在右边，其排序也是固定的，所以有种方法. 故选：D. 7．某人用这个数字来设定6位数的支付宝密码，则此人最多有（    ）个密码可供选择． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分步计数原理求解. 【详解】由题可知密码各位数字都可重复，则共有个密码可供选择， 故选：A. 8．已知某宿舍的7位学生站成一排合照留念，若中间位置只能站7位学生中的甲或乙．则不同的站队方法种数是（   ） A．464 B．576 C．720 D．1440 【答案】D 【分析】首先将其余同学进行排列，再安排甲或乙的位置即可. 【详解】将除甲或乙以外的同学进行排列，共有种，再将甲或乙插到队伍中间，有2种选择， 则共有种. 故选：D. 9．中国古乐中以“宫、商、角、羽”为五个基本音阶，故有“五音不全”之说，若用这五个基本音阶排成五音阶的所有音序，则“宫”、“羽”两音阶不相邻排法共有（     ） A．72种 B．36种 C．48种 D．24种 【答案】A 【分析】根据插空法，首先排列其余三个音阶，再插入“宫”、“羽”即可. 【详解】将五个基本音阶中除去“宫”、“羽”两音阶的排法有种，形成了四个空位.“宫”、“羽”两音阶不相邻的排法有.由乘法原理共有. 故选：A. 10. （2021·河北对口升学） 国家派5支医疗队到4个地区支援抗疫工作，每个地区至少分配1值医疗队，则不同的分配方案有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 【答案】C 【分析】先根据分组的方法将5支医疗队分成4组，再利用排列的方式求出将分好的4组分配到4个地区的方法，最后利用分步计数原理即可求解. 【详解】先将5支医疗队分成4组，其中有一组有2个人，其余四组各有1人，所以分组方式共有种，再将这派5支医疗队到4个地区，全排列共有种， 根据分步计数原理5支医疗队到4个地区共有种方案. 故选：C. 11. （2023·河北对口升学） 现有语、数、外、历史四本书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本书，则甲分到数学书的方案有（ ）种. A. 6 B. 9 C. 12 D. 24 【答案】C 【分析】首先分情况讨论，然后运用排列和分类计数原理计算出方案的种数. 【详解】当甲分到两本书时，则甲分到数学书的方案有种.当甲分到一本书时，乙丙二人中需有一人分到两本书，则甲分到数学书的方案有种.所以甲分到数学书的方案共有种. 故选：C. 12. （2024·河北对口升学）“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如212，34743等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”的个数为（ ） A. 100 B. 125 C. 225 D. 250 【答案】C 【分析】根据偶数数字的位置分类讨论，结合计数原理计算求解. 【详解】由题意，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”，则有以下情形： （1）第一位和第五位数字相同且为偶数，第二位和第四位数字相同且为奇数，第三位为奇数， 此时满足条件的“回文数”的个数为； （2）第二位和第四位数字相同且为偶数，第一位和第五位数字相同且为奇数，第三位为奇数， 此时满足条件的“回文数”的个数为， 故满足条件的“回文数”的个数为. 故选：C． 13. （2025·河北对口升学）《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》《周髀算经》《五曹算经》是我国古代数学的重要著作，将这5部著作排成一排，则《九章算术》与《孙子算经》之间恰有2部著作的排法种数为（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 36 【答案】C 【分析】利用捆绑法来计算满足条件的排法种数． 【详解】确定《九章算术》与《孙子算经》的排列顺序，有种方法；从剩下3部著作中选2部放在《九章算术》与《孙子算经》之间进行排列，有种方法；将《九章算术》、中间2部著作、《孙子算经》看作一个整体与剩下1部著作进行排列，有种方法，则《九章算术》与《孙子算经》之间恰有2部著作的排法种数为种． 故选：C． 14. 将5名实习老师安排到高一年级的3个班实习，每班至少1人，至多2人，则不同的安排方法有（ ） A. 90种 B. 120种 C. 150种 D. 18种 【答案】A 【分析】根据排列组合的问题结合乘法计数原理即可求解. 【详解】由题意得，先将5名实习老师按1人、2人、2人，分为三组，则有种方法， 把分好的三组安排到3个班中，则有种方法， 所以总共不同的安排方法有种. 故选：A. 15.如图五个多面体从左到右排成一列，有三角形面的几何体需要相邻，排列方法有（ ）种 A. 120 B. 48 C. 36 D. 12 【答案】C 【分析】先观察这几个几何体有几个三角形面，再根据排列数计算即可. 【详解】一共有5个几何体，其中从左至右第1、3、5个几何体有三角形面， 第一步，这3个有三角形面的几何体排在一起，排列方法有种，将其看作一个元素； 第二步，再与其余2个几何体一起共3个元素进行全排列，有种方法， 所以共有排列方法（种）. 故选：C. 16.身穿红、黄两种颜色衣服的各有2人，现将这4人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，不同的排法共有（ ）. A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】通过分步计数与插空法求解. 【详解】首先将两个穿红衣服的人排列，构成三个空，再把一个穿黄色衣服的人安排在最中间的空中， 把另一个穿黄色衣服的安排在两边的空中，所以共有种. 故选：C. 17. 将四大名著《水浒传》《三国演义》《西游记》《红楼梦》四部长篇小说分给甲、乙、丙三人，每人至少一本书，则甲分到《红楼梦》的方案有（ ） A. 6种 B. 9种 C. 12种 D. 24种 【答案】C 【分析】甲分到《红楼梦》有两种可能 “甲额外分到书”以及“甲仅分到《红楼梦》” ，分情况进行分析求解即可. 【详解】若甲额外分到书，则先将《红楼梦》分配给甲，则剩下的3本小说可给甲、乙、丙每人一本，有种方案；若甲仅分到《红楼梦》，则将剩下的3本按照1，2的分配方法分给乙、丙两人， 共有种方法，综上所述，甲分到《红楼梦》的方案共有（种）. 故选：C. 18．某年级举办线上小型音乐会，由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目丙必须排在节目乙的下一个，则该小型音乐会节目演出顺序的编排方案共有（     ）种. A．72 B．24 C．25 D．42 【答案】D 【分析】对甲分类讨论，利用排列数公式计数. 【详解】由题意知，甲的位置影响乙的排列，①甲排在第一位时，编排方案共有种， ②甲排在第二位时，编排方案共有种，∴故编排方案共有种， 故选：D． 19．从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法共有（ ）种 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合排列数、组合数的应用，先求出甲、乙两人都入选的选法，再从选法总数中减去甲、乙两人都入选的选法，即可求解. 【详解】由题意，甲、乙两人都入选的选法共有种,所以甲、乙两人不都入选的不同选法共有种. 故选：C. 20．某职业高中的六个社团排练“风采展演”节目．安排出场顺序时，要求朗诵社团的节目排第一位，武术社团的节目不排第二位，剪纸社团的节目不排最后一位．则所有不同的排法种数是（   ） A．72 B．78 C．84 D．108 【答案】B 【分析】先计算朗诵社团固定在第一位，剩余5个社团的排列总数，然后去除不符合条件的情形，即可得解． 【详解】朗诵社团固定在第一位，剩余5个社团的排列总数为种． 其中，武术社团在第二位的情况有种；剪纸社团在最后一位的情况有种； 同时满足武术社团在第二位且剪纸社团在最后一位的情况有种．所以不符合条件的总数为种，    因此符合条件的排列数为种． 故选：B． 21．某职业学校在“职教宣传周”期间，把2件教师作品和编号为1~5的5件学生作品摆成一排进行展览，若将教师作品摆放在两端，1号学生作品摆放在正中间，则所有不同摆放方法的种数是 (　　) A．24 B．48 C．72 D．96 【答案】B 【分析】根据分步计数原理即可求解. 【详解】1号学生作品摆放在正中间，有1种摆法，2件教师作品摆放在两端有种摆法， 剩下4件学生作品有种摆法，由分步计数原理可知，共有种摆法. 故选：B. 22．在6个不同元素进行全排列，若其中两个元素必须排两端，且两元素必须相邻，那么排法种数有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先对两个元素进行全排列，再运用捆绑法考虑和余下的元素，最后运用乘法计数原理计算即可得出结果. 【详解】已知必须在两端，所以先排列，共有种排法，且必须相邻，所以排列，共有种排法，最后将当成一个元素，和余下的两个元素一起排列，共有种排法， 综上所述，排法种数共有， 故选：B. 23．某商务中心的大屏幕连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告.若要求最后播放的必须是公益宣传广告，且2个公益宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有（   ） A．120种 B．48种 C．36种 D．18种 【答案】C 【分析】结合排列数与组合数的应用，利用特殊元素优先考虑和不相邻问题的插空法，即可求解. 【详解】由题意，第一步，先从2个不同的公益宣传广告中选1个排到最后，有种方法； 第二步，将3个不同的商业广告全排列，有种方法； 第三步，将剩下的一个公益宣传广告插到前3个空中的其中一个位置，有种方法； 故共有种不同的播放方式. 故选：C. 24．某运动员队准备参加米接力赛，队中共有5名运动员，其中甲运动员不能跑第一棒，教练从这5人中安排4人分别跑第一至第四棒，则所有不同安排方法的种数是 (　　) A．48 B．60 C．96 D．120 【答案】C 【分析】根据有无甲运动员进行分类计算，再将两种情况相加即可. 【详解】安排四人进行接力赛，可根据有无甲运动员分为两类： 第一类甲不参加接力赛，则安排方法有种； 第二类甲参加接力赛，则安排方法有种； 则所有不同安排有96种. 故选：C. 25．某学校安排甲、乙等6名同学到三个社区开展服务活动，每个社区均安排2名同学，其中甲乙二人必须安排在同一社区，则不同的安排的方法的个数为 (　　) A．6 B．18 C．36 D．90 【答案】B 【分析】根据组合的优先考虑法和捆绑法易得答案. 【详解】先排甲乙二人，所以有种情况，所以不同的安排的方法的个数为种. 故选：B. 26．三名数学教师教4个班的数学课，每名教师至少选教一个班，一个班只能选一名教师教，有种不同的任课方法（    ） A．12 B．24 C．36 D．18 【答案】C 【分析】利用排列组合公式，解决实际问题. 【详解】必定是一位老师教学两个班级，另外两位老师分别教学一个班级，故将四个班级分成三组，有种不同的组合，再对三位老师进行排列，有种不同的排列组合，故共有种不同的任课方法. 故选：C. 27．小明所在的蓝球队共有10名同学，若从中选出包括小明在内的3名同学逐一上场参加投篮比赛，则不同的安排方法有（    ） A．108种 B．120种 C．216种 D．720种 【答案】C 【分析】先选出除了小明之外的另外两名同学，再将这3名同学进行排序即可. 【详解】选出包括小明在内的3名同学的方法有种. 然后将这3名同学进行排序的方法有种. 依分步计数原理，不同的安排方法有种. 故选：C. 28．从个工作人员中选人参加某公益活动，若不同选法的种数为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由组合数的应用即可得解. 【详解】由题意得.整理得.解得或. 因为且.故． 故选：D. 29．有三张卡片，第一张卡片的正反两面分别写有数字1，3，第二张卡片的正反两面分别写有数字2，4，第三张卡片的正反两面分别写有数字5，7，现从这三张卡片中任取两张并排放在桌面上，两张卡片朝上一面的数字组合成一个两位数，则所有不同两位数的个数是 (　　) A．8 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【分析】由排列数公式和分步计数原理计算即可. 【详解】从三张卡片中任取两张按顺序并排放在桌面上有种不同的放法， 排放在十位数上的卡片又有种不同的数字， 排放在个位数上的卡片也有种不同的数字， 由分步计数原理得所有不同两位数的个数为. 故选：D. 30．从这6个数中任取3个不重复的数字作为二次函数的系数，则可以组成开口向上的二次函数的个数是（    ） A．60 B．100 C．40 D．20 【答案】C 【分析】根据题意。结合排列数的应用，即可求解. 【详解】由题意，二次函数开口向上，得， 所以二次项系数a可以从1和2中选择，共有2种不同的选择， 一次项系数b和常数项c可以从剩余的5个数字中任选2个，有种方法， 所以可以组成开口向上的二次函数的个数是种. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第8页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $