【填空题专项】04平面向量、复数-2026年河北省对口升学考试《数学》专项冲刺练习（原卷版+解析版）

2026年河北省对口升学考试 数学 专项冲刺练习 填空题专项 （四） 平面向量、复数 1．，则向量的夹角为 . 2．已知向量，则__________． 3．已知向量，且，则 ． 4．已知点，，，则点的坐标是 . 5.已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则 ； .    6.（2020·河北对口升学） 向量，，若向量与相互垂直，则__________． 7. （2022·河北对口升学）已知向量，，且与垂直，则__________. 8. （2023·河北对口升学） 若，，且，则_______. 9．已知向量，，且两向量夹角为钝角，则取值范围 . 10. （2024·河北对口升学）设向量，，且，则实数x的取值范围是__ _． 11．已知向量与，且，则 . 12．已知向量，为单位向量，且，则 ． 13．已知向量，，，则 . 14．已知向量，，，那么 ． 15．已知复数，化简得 . 16．已知，，，计算 ． 17．若为实数，则实数 ． 18．已知复数，则 . 19．若复数（是虚数单位，）是纯虚数，则 . 20．已知复数的实部与复数的虚部相等，则实数 ． 21．已知复数在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是 ． 22．设，，且，则 . 23．已知是实系数一元二次方程的两根，则 ， ． 24.（2021·河北对口升学） 已知向量，，且， 则__________. 25．如图是由六个边长为1的正六边形组成的蜂巢图形，其中正六边形的顶点称为“晶格点”，若四个不同的点均为“晶格点”，两点的位置如图所示， 给出下列三个结论： ①；②的最大值为25；③的最大值为． 其中所有正确结论的序号是 . 试卷第1页，共3页 试卷第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北省对口升学考试 数学 专项冲刺练习 填空题专项 （四） 平面向量、复数 1．，则向量的夹角为 . 【答案】 【分析】利用向量夹角的坐标公式求夹角余弦值，进而确定夹角大小. 【详解】由题设，而，所以. 故答案为： 2．已知向量，则__________． 【答案】 【分析】根据向量内积的公式，分析求解即可. 【详解】因为，所以，又因为，所以方向相反，即夹角为，所以. 故答案为：． 3．已知向量，且，则 ． 【答案】 【分析】应用向量垂直的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由，则，可得. 故答案为： 4．已知点，，，则点的坐标是 . 【答案】 【分析】设，表示出、，再根据向量相等得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】依题意，设，因为，， 所以，， 因为，所以，则，解得， 所以点的坐标为. 故答案为： 5.已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则 ； .    【答案】2 ； 【分析】向量的模长即向量起点至终点的距离，由图可知结果；向量的数量积等于向量的模乘以另一个向量在这个向量上的投影，由图可知结果. 【详解】由图可知，，其中为在上的投影， 由图可知投影长度为1，且方向与相反，故. 故答案为：2；. 6.（2020·河北对口升学） 向量，，若向量与相互垂直，则__________． 【答案】 【分析】根据向量垂直的坐标公式求解即可. 【详解】因为，且，所以，解得. 故答案为： 7. （2022·河北对口升学）已知向量，，且与垂直，则__________. 【答案】3 【分析】先根据向量的加法运算法则，求出，又与垂直，根据横纵坐标的关系，即可求解. 【详解】由题意可知，，又因为与垂直， 所以. 故答案为：3 8. （2023·河北对口升学） 若，，且，则_______. 【答案】 【分析】根据向量平行关系，求出m的值，再计算的值即可. 【详解】由题意得, 解得，所以，， 所以，所以. 故答案为：. 9．已知向量，，且两向量夹角为钝角，则取值范围 . 【答案】 【分析】根据向量夹角为钝角得到向量内积小于0，结合向量内积的坐标公式即可求解. 【详解】设向量夹角为.因为.所以. 因为向量夹角为钝角.所以且不共线.所以且.解得且. 故m取值范围为. 故答案为：. 10. （2024·河北对口升学）设向量，，且，则实数x的取值范围是__ _． 【答案】 【分析】由题意可得，结合数量积的坐标表示，解不等式即可. 【详解】∵向量，，且， ∴，即，∴，解得， ∴实数x的取值范围是. 故答案为：. 11．已知向量与，且，则 【答案】2或. 【分析】由向量内积的坐标运算求解参数即可. 【详解】因为向量与，且，所以，解得或. 故答案为：2或. 12．已知向量，为单位向量，且，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合向量的垂直及向量内积的定义，即可求解. 【详解】因为向量，为单位向量，且，所以，所以. 故答案为：. 13．已知向量，，，则 . 【答案】 【分析】由向量线性关系坐标表示得，根据向量垂直的坐标表示列方程求参数，进而应用坐标公式求模. 【详解】由，又，所以，可得. 所以，故 故答案为： 14．已知向量，，，那么 ． 【答案】 【分析】利用向量的内积进行求解. 【详解】由题意，，，， ，解得：， ， 又，． 故答案为：. 15．已知复数，化简得 . 【答案】 【分析】根据两个复数代数形式的除法，即可化简. 【详解】， 故答案为： 16．已知，，，计算 ． 【答案】 【分析】利用复数的加减运算法则即可得解. 【详解】因为，，， 所以． 故答案为： 17．若为实数，则实数 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合复数的类型，即可列式求解. 【详解】因为为实数，所以，解得. 故答案为：. 18．已知复数，则 . 【答案】5 【分析】利用复数的运算法则可知，并利用复数模的公式求解. 【详解】因为复数，，所以， 利用复数模的公式可得. 故答案为：5. 19．若复数（是虚数单位，）是纯虚数，则 . 【答案】 【分析】根据题意，结合纯虚数的定义，及复数的运算，即可求解. 【详解】因为复数（是虚数单位，）是纯虚数，又，所以，解得. 故答案为：. 20．已知复数的实部与复数的虚部相等，则实数 ． 【答案】 【分析】找出的实部和和虚部，进行求解. 【详解】的实部为2，的虚部为，由题意，所以. 故答案为：. 21．已知复数在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据复数在复平面内对应的点所在象限，列不等式组求解. 【详解】由题意得复数在复平面内对应的点的坐标为．∵位于第三象限， ∴解得，∴实数的取值范围是． 故答案为：． 22．设，，且，则 . 【答案】 【分析】利用复数相等的概念求出，再利用复数减法法则求出. 【详解】，又，所以，解得， ，，. 故答案为：. 23．已知是实系数一元二次方程的两根，则 ， ． 【答案】；5 【分析】由根与系数的关系即可求解的值，代入即可求解的值. 【详解】因为是实系数一元二次方程的两根， 则， ， 又因为是实系数一元二次方程，所以，， 所以，即，. 故答案为：；. 24.（2021·河北对口升学） 已知向量，，且， 则__________. 【答案】 【分析】先根据向量数量积的坐标运算求出的关系式，再结合两角差的余弦公式求解即可. 【详解】因为，由向量的数量积的坐标运算可知 ，所以. 故答案为：. 25．如图是由六个边长为1的正六边形组成的蜂巢图形，其中正六边形的顶点称为“晶格点”，若四个不同的点均为“晶格点”，两点的位置如图所示， 给出下列三个结论： ①；②的最大值为25；③的最大值为． 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②③ 【分析】本题可通过建立平面直角坐标系，结合蜂巢的图形并利用向量的坐标运算来逐一分析三个结论． 【详解】①因为正六边形边长为1，由图形可知，该六边形最长的对角线为2，到在竖直方向上间隔2个最长对角线以及1个正六边形边长对应的距离，最长对角线， 故，①正确． ②建立如图所示平面直角坐标系，由且AB在竖直方向， 可得，则，设，那么，则， 要使最大，需要最大，结合图形，的最大值可达到5（例如当处于图中M点时）， 此时，即的最大值为25，②正确． ③同样基于②建立的平面直角坐标系，虽然C、D两点异于A、B两点，但因为图中蜂巢的对称性， C、D两点距离最远的问题仍可以等价为蜂巢中任意两点间距离最远的问题， 为使得C、D两点相距最远，两点之间应靠近边界，根据对称性，可假设C点位于原点A， 此时根据对称性只需要考虑D点位于y轴左边即可，所以. 由图观察可见，离C点最远的顶点应是六边形的顶点， 而对于正六边形MNPQRS，其中，U为PR中点，，， ，在正六边形MNPQRS中，外边界四点P、N、M、S离C点相对较远， 对应坐标为，即，，即， ，即，，即， 可知，，所以外边界四点P、N、M、S中，只需要考虑M、N两点，因、，故应取更大的，③正确． 故答案为：①②③． 试卷第1页，共3页 试卷第2页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $